精品解析：河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级第二次月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角的定义可得. 【详解】由题意知直线的倾斜角为0． 故选：D． 2. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知， 所以. 故选：C 3 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 5. 已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线过定点，且直线与线段相交， 由图象知，或，则斜率的取值范围是． 故选：A 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 7. 已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定与距离为的直线，由题意这条直线与相切或没交点，联立方程，由韦达定理即可求解. 【详解】 设平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或（结合图象舍去） 设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为， 由整理，得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以与椭圆相切或没有交点， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以. 故选：C. 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式由得到点轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为椭圆的方程，则的值可以为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】将方程化为标准式，依题意可得，即可求出的取值范围，即可判断. 【详解】方程，即， 依题意可得，解得且， 即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意. 故选：AC 10. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD． 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，直线：，若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解. 【详解】由直线：与直线：平行，得，解得， 所以. 故答案为：2 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知、分别是椭圆的左､右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点，若的面积是，且，则的离心率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得且在线段上，从而得到，设，利用余弦定理及椭圆的定义得到，再由面积公式得到，即可求出，再由勾股定理求出、与的关系，最后在中利用勾股定理求出、的关系，即可得解. 【详解】因为，所以且在线段上， 所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 即， 又因为， 所以，即， 所以， 因，所以， 所以，又，所以，所以， 即． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. 【小问1详解】 由得所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． 【小问2详解】 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）直线平面，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直线平面，取的中点，连接，，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算可得结果. 【小问1详解】 直线平面，证明如下： 取的中点，连接，，因为为的中点，所以，且，又为的中点，，，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面. 【小问2详解】 因为，由已知得平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，得，，，，. 设异面直线与所成的角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先判断出与圆外切，从而得三点共线，则有圆心在直线，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线恒过点，从而得当时，取最小值，即可求出直线的方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为圆与图相切，且点在圆的外部， 所以圆与圆外切， 则三点共线， 图， 化为标准形式为：， 所以圆心， 故圆心在直线上， 设圆的标准方程为， 又圆过原点，则， 圆经过点，则，解得， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，圆的圆心坐标为， 由直线，化为， 所以直线恒过点， 易知点在圆的内部， 设点到直线的距离为，则， 要使取得最小值，则取得最大值，所以， 此时，所以， 则直线的方程为，即. 又圆心到直线的距离， 所以. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点． （1）求的方程； （2）若点是上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）若点是上不同于左､右顶点一点，点是的重心，点是圆上的一点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义求出的值，根据，求解即得椭圆方程； （2）利用点差法求出中点弦所在直线方程； （3）依题意，设，，根据，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知， 所以，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 设，又线段的中点为，且在椭圆内部， 所以，即， 又点是上的两点，所以， 两式相减得， 所以， 即直线的斜率为 所以直线的方程为，即． 【小问3详解】 设，因为点是的重心，所以， 所以，又点是上的一点，所以， 所以，即， 所以． 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最大值为． 19. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，， ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二年级第二次月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，若过定点直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为椭圆的方程，则的值可以为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 1 10. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，直线：，若，则_____. 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 14. 已知、分别是椭圆左､右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点，若的面积是，且，则的离心率是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17 已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点． （1）求的方程； （2）若点是上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）若点是上不同于左､右顶点的一点，点是的重心，点是圆上的一点，求的最大值． 19. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $