云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

Sheet1 玉溪一中2025-2026学年高 上学期期中考试双向细目表（样表） 题型 题号 主题 知识 模块 考 查 内 容 教材对应点 对应课标要求 情境创设 学科素养 关键能力 难度 易 中 难 1 集合与常用逻辑用语 集合运算 交、并、补集的基本运算 必修一 §1.2~1.3 理解集合的运算 数学情境 数学运算 运算求解能力 √ 2 直线与圆 圆的方程 点与圆的位置关系判断 选择性必修一 §2.5 能判断点与圆的位置关系 数学情境 数学运算 逻辑推理能力 √ 3 立体几何 空间向量应用 法向量的求解，线面角 选择性必修一 §1.4 能用向量方法解决线面夹角问题 数学情境 直观想象 空间想象能力 √ 4 函数 函数概念与性质 函数奇偶性、单调性的判断 必修一 §3.2 理解函数单调性、奇偶性的概念 数学情境 逻辑推理 运算求解能力 √ 5 圆锥曲线 椭圆 椭圆的定义与标准方程 选择性必修一 §3.1 掌握椭圆的定义、标准方程 数学情境 数学抽象 逻辑推理能力 √ 6 数列 等差数列 等差数列的通项公式与前n项和 选择性必修二 §4.2 掌握等差数列的通项与前n项和公式 生活情境 数学建模 建模与运算能力 √ 7 圆锥曲线 双曲线 双曲线的渐近线与离心率 选择性必修一 §3.2 了解双曲线的几何性质 数学情境 直观想象 逻辑推理能力 √ 8 函数 导数应用 利用导数研究函数的单调性 选择性必修二 §5.3 能利用导数研究函数的单调性 数学情境 逻辑推理 逻辑推理与运算能力 √ 9 直线与圆 直线方程 直线平行与垂直的判定，距离公式 选择性必修一 §2.1~2.2 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学情境 数学运算 逻辑推理能力 √ 10 空间向量 空间向量的基本定理 共面向量定理的理解与应用 选择性必修一 §1.2 了解空间向量基本定理及其意义 数学情境 逻辑推理 综合应用能力 √ 11 圆锥曲线 抛物线 抛物线的定义与焦点弦性质 选择性必修一 §3.3 了解抛物线的定义、标准方程及简单几何性质 数学情境 直观想象 逻辑推理与运算能力 √ 12 复数 复数的运算 复数的四则运算与模的计算 必修二 §7.2 掌握复数代数表示式的四则运算 数学情境 数学运算 运算求解能力 √ 13 直线与圆 圆的方程 直线与圆的位置关系判断 选择性必修一 §2.5 能判断直线与圆的位置关系 数学情境 直观想象 空间想象与运算能力 √ 14 数列 等比数列 等比数列的通项公式与性质 选择性必修二 §4.3 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 数学情境 逻辑推理 逻辑推理能力 √ 15 解三角形 正弦定理、余弦定理 正余弦定理的简单应用 必修二 §6.4 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 实际生活情境 数学建模 建模与运算能力 √ 16 立体几何 空间向量与立体几何 （柱体或椎体，易于建系） 线面关系的证明与空间角的计算 选择性必修一 §1.4 能用向量方法证明线面位置关系，并能解决空间角问题 实践情境 直观想象 空间想象与逻辑推理能力 √ 17 数列 数列求和与证明 （1）等差或等比数列的证明；（2）分组求和 选择性必修二 §4.2~4.3 掌握等差、等比数列的概念与求和公式，能进行数列的证明与求和 数学情境 逻辑推理 逻辑推理与综合运算能力 √ 18 圆锥曲线 抛物线 （1）基本量计算（方程、焦点）；（2）弦长问题；（3）直线与抛物线相交的其他问题（如面积、定点定值等） 选择性必修一 §3.3 掌握抛物线的标准方程，能处理直线与抛物线的位置关系 数学与探索情境 数学运算 逻辑推理与综合运算能力 √ 19 圆锥曲线 椭圆 （1）简单易得分（求方程、求离心率等）；（2）（3）直线与椭圆相交问题，有梯度（涉及弦长、面积、定点定值、范围问题等） 选择性必修一 §3.1 掌握椭圆的标准方程，能处理直线与椭圆的综合问题 数学与探索情境 数学运算，逻辑推理 逻辑推理与综合应用能力 √ 满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 预估均分：100分 $报告查询：登录hixue,.c成扫描一维码下我Ap 《用户名和初始密码均为准考迁号》 玉溪一中2027届高二上学期期中考 四、解答题：木题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或领 数学答题卡 算步骤 16(15分) 姓名： 班级： 考场/座位号： 15.(13分) 正确填涂 考号 注意事项 答前请将姓名、班 级，考场，准考证号填写清 01 [o][o1 缺考标记 1】 2,客夏愿答题，必须使用 [2] [2] [21 [2] 【2] [2] 2B铅笔填涂，悠改时用橡皮 【3] 3] 〔3] [3】 [3] 擦干净。 [4] [4] [4 [4] t] [41 3,必须在题号对应的答题 [5] [s] [5] 【5j 区域内作答，超出答置区域 [6] [6 [61 [61 书写无效。 [7] [?1 [] [] [] [a] [a) a 9] [9] [9] I9] [s1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分， 共0分，在每小题给出的四 个选项中，只有一一个选项是正确的 1[A][B】【c][D] 6[A)[B][c][D] 2[A][B]Ic][D] 7 [A)[B][c][D] 3[A][BJ【C][D] 8 CA][B][c][D] 4 [A][B][c][D] 5[A][B]【C】[D] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得零分 9 [A][B][c][D] 10 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三，填空题：木题共3小题，每小题5分，共15分 14 ■ 囚ㄖ■ 囚ㄖ■ ■ ■ ■ 17.(15分) 18(17分) ▣ 19.(17分) ■ ㄖ■ㄖ ▣■囚 ■参考答案 选择题 1 2 3 4 6 7 8 D B C Y c B D 8解：函数y=x-☒-1+1g,a>0,a≠1)有且仅有4个零点， 1-x0<8<1 即y=logx的图象与 2-x1≤x<2,的图象有且仅有4个公共点， V=1+-X= 3-x,2≤8<3 4-x,3≤x<4, 5-x4≤x<5, 作出y=1+[x]-x的图象， 易知当0<a<1时，y=logx与y=1+[x]-x的图象最多有1个公共点，故 a>1, 作出函数y=10g,x的大致图象，结合题意可得1og,4≤1，解得4≤a<5. 0g35>1, 故选：D 二、多选题 9.【答案】ACD 【详解】过点P(-2,0)的直线1与直线：x+y-2=0平行， 设直线1方程为l:x+y+m=0,P(-2,0)代入可得-2+0+m=0,解得：m=2,所以直线1的方程为： x+y+2=0,A正确 直线1的斜率k=-1,直线1的倾斜角为135°，则B错误， 1与直线的距离为d-2-25,c正确 V12+12 过点P且与直线1垂直的直线可设为：x-y+n=0,P(-2,0)代入可得-2-0+n=0,解得：n=2,则过点 P且与直线1垂直的直线为：x-y+2=0,D正确 10.【答案】BC 【详解】在正方体ABCD-A,B,CD,中，由于点F是侧面CDD,C,的中心， 所以F=A0+DF=AD+DC+D0)=AD+号4B+号4。 1 即n=2 1 所以m=2=2 第1页，共5页 11.【答案】ABD 【详解】显然F 当直线l的斜率为0时，直线1与抛物线C:y2=2pxp>0)只有1个交点，不合要求， 设直线1为x=号+y,联立C:y=2pr(p>0得y-2p-p2=0 M △=4p22+4p2>0,设Ax,),B(x2,y2),则片+y2=2pt,yy2=-p2, B 设M(x),则为=上十业=pt. 2 其中x+x=号++号+，=p+t以+为)=2pr2+p,所以x=+5=p02+? 2 2 A选项，点M到y轴的最短距离为x,=p2+ ,显然当t=0时，取得最小值， 2 故卫、1 行2解得P=L,A正确； B选项，主焦半径公式得4=+片B=5+号 其中+-2+1.户=-=年所以丽2 C选项48+1=2+2.oN=+=P+》+=+2+号 故AB=4+82+4,4OM+3=41+812+4,AB-4OM+3,C错误 D选项。电于飞=+分。=1，消去可得=x 1 故点M的轨迹方程是y2=x- 2 ,D正确； 三、填空题 12.【答案】2 【详解】z=2i,则z=2. 13.【答案】32π 【详解】因为圆M与直线.x-7y+2=0相切， 所以点M(3,-5)到直线：x-7y+2=0的距离即为圆M的半径， 第2页，共5页 所以= -7x-5列+2=0-40=4W2,圆C的面积为x42矿=32m 1+(-7)2 5v2 14.【答案】[-2,0U(0,1 【详解】由题设数列的公比为q(g≠0)，则6V2a,=aa,+aa,+9,整理得(q2+ga-62a+9=0, 当g2+g=0时，易知9=-1，符合题意；但当g2+g≠0时，△=72-3692+q20 解得-2≤9≤1，且g≠0，则公比9的取值范围是-2,0)U(0,1 四、解答题 l5.解：(1)由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2 sin CcosC, 所以sin(A+B)=2 sin CcosC,即sin(π-C=2 sin CcosC, 因为sinC≠0，所以cosC=寺，又CE(0,π)，所以C=号； (2)由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC,即1=a2+b2-ab, 所1以≥2ab-b:m0<b≤1，aABc=abnC≤×号-号，“SAc∈0写} 16.解：（①）因为在直三棱柱中AA=AB=2,则四边形ABB,4是正方形，故AB,⊥AB, 又在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA,⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以AA,⊥BC, 又AB⊥BC,AAAB=A,AA,ABC平面ABB,A,则BC⊥平面ABB,A, 而ABC平面ABB,A,故BC⊥AB,, 由AB,⊥A,B,AB,⊥BC,且A,BOBC=B,AB,BCC平面ABC,得AB,⊥平面ABC. (2)以B为原点，BA,BC,BB,所在直线分别为x,y,z轴，建空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2V5,0),A,(2,0,2).则BA=(2,0,2),BC=(0,2V3,0), 2c1+21=0 设平面ABC的法向量=(x,y,2),由元·BA=0,·BC=0,得 2v31=0’ 取x=1，则n=(1,0,-1),又AA=(0,0,2),AC=(-2,2V3,0), 22=0 设平面4ACC,的法向量m=(x2,y2,2),由而·AA=0,元·AC=0,得 -22+2V39=0' 取y2=1,则=(3,1,0) 第3页，共5页 设平面ABC与平面A,ACC,的夹角为0，由图像可知，0为锐角， 则cos8= m:=V3×1+1×0+(-1)×0=6 元元2 V12+0P+(-12.VW32+124 17.(1)an=-2n+8,n∈N (2)Sn=(7-n)n,n∈N；最大值为S,=S4=12 【详解】(1)设数列{an}的公差为d,则a2=a1+d=4,a6+a,=2a1+9d=-6,解得a1=6,d=-2, 则数列{an}的通项公式为an=-2n+8,n∈N. 2}s.=a+an-6+8,2mm=(7-mm,neN, 2 2 因次函数三7-E在x处取最太值故S,的最太值为SS卫 18.(1)x2=4y (2)4V15 (3)证明见解析 【详解】(1)根据题意作图如下： y=x-1 由题意知F0, 因为点F到直线y=x-1的距离为√2，所以2 2 √2 解得p=2或p=6,又因为p>0,所以p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y. (2）)根据题意作图如下： VA 将y=2x-1代入x2=4y,得x2-8x+4=0, 41 则△=64-16>0，x4+xB=8,x4xg=4, 所以刘AB=V1+2Vx4+xg'-4xxB=415 (3)证明：由0A1OB,则x4a+yyB=0,又 x2=4y x82=4ya 所以x。+=0,所以x,=-16 16 y=kx+t 设直线/的方程为y=+1,联立方程组 x2=4y 则x2-4kx-41=0 弟4负，共5页 当△=16k2+16t>0时，有x4xg=-4t=-16,得1=4 所以直线1的方程为y=x+4,所以直线1过定点(0,4) 19,(4E的方程为女+y -+ =1;. 43 2②)y=±3 7(x-1);(m857+24 19 【详解1)）由题意。c=l后则a=2.6=-e-5 则E的方程为+父-1，短轴长26=25 43 (2)(i)当直线AB斜率不存在时，M(1,0),N(0,0),不合题意， 故设直线AB的方程为：y=k(x-I),A(x,),B(x2y), y=k(x-1) 8k2 x+x2= 联立 -1得(4k2+3到2-8x+4k2-12=0 4k2+3 父+ 4k2-12 4 3 4k2+3 所以xw=+玉=43 |AB到=V1+k2Vx+x2)}-4x为= 2(k2+1) 2 4k2+3 4k2+3 ,解得k=t3 4k2+3 4k2+3 4k2+3 7 所以直线AB的方程为：y=±3 7(x-1) (i)由于点P在E上，故设P(2cosa,V3sina), 由对称性，设k=3 7 AB:y-k:+k=0,1AB=12K2+D_64 4k2+319 则点P到AB的距离d= 3 sin a-2k cosa+k 3+4k2 sin(a+o)+k V1+k2 V1+k2 其中sinp=- 2k 5 cOS=- V3+4k2 3+4k2 当a+p=7时，d N3+4k2+k√57+3 2 1+k2 4 ahau.可324 19 所以△PAB面积的最大值为8V57+24 19 第5页，共5页 玉溪一中2025—2026学年上学期高二年级期中考 数学 学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：高一备课组 审题人：高一备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1． 已知集合A={x | -2≤x≤2}，B={0, 2, 4}，则A ∩ B = A. B. C. D. 2． 若点在圆的内部，则实数a的取值范围是 A． B． C．或 D． 3． 如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为 A． B． C． D． 4． 已知偶函数在上单调递减，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 5． 已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆C上且，则三角形的面积为 A. B. C. 1 D. 2 6． 设等差数列，的前项和分别为 ∈N*，若，则的值为 A. B. C. D. 7． 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 8． 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个. 高斯函数y=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[1.8]=1，[-1.9]=2，若函数且有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9． 过点的直线l与直线平行，则下列说法正确的是 A．直线l的方程为： B．直线l的倾斜角为 C．直线l与直线间的距离为 D．过点P且与直线l垂直的直线为： 10． 在正方体中，若点是侧面的中心，且，则 A． B． C． D． 11． 过抛物线的焦点的直线交于两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是 A． B． C． D．点的轨迹方程是 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数，则 . 13．已知一圆的圆心为，且与直线相切，则该圆的面积为 . 14．若存在等比数列，使得，则公比的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 求 若，求△ABC面积的取值范围. 16．(15分)如图，在直三棱柱中，， 求证：平面 求平面与平面夹角的余弦值. 17．(15分)已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 18．(17分)已知抛物线的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若OA垂直于OB，求证∶直线过定点； 19．(17分) 已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的标准方程； (2)若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $