精品解析：广东省广州市广州中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷

广州中学2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 注意事项：本试卷共四大题24小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟． 1．答卷前，考生务必在答题卡第1、3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考号、姓名；再用2B铅笔把对应考号的标号涂黑． 2．考生不能使用计算器．必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 6，8，20 D. 5，13，15 3. 广州塔的外部钢结构框架由24根钢柱、斜撑和圆环交叉构成，形成了大量的三角形结构，有效增强了建筑的抗风和抗震能力，其中蕴含的数学原理是（ ）． A. 三角形两边之和大于第三边 B. 圆是轴对称图形 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）． A B. C. D. 7. 如图，，若，则等于（ ） A. 10 B. C. 5 D. 2.5 8. 某帐篷撑起后如图1，为固定帐篷，需在四个角分别另加一根固定绳索（），从正面看如图2所示，测得，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，已知和关于直线l对称，连接与的延长线交于点D，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 直线l垂直平分 C. D. 点D在对称轴l上 10. 现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点E是边的中点．小狗汪汪从点B出发以的速度沿向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑，若能够在某一时刻使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 计算：__________． 12. 如图，__________ 13. 如图，在3×4的正方形网格中，__________ 14. 下列命题的逆命题是假命题的有________．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 15. 亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为________． 16. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 四、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； （2）连接，，求四边形的面积． 20. 如图，在中，平分． （1）尺规作图：作于点D，交于点M； （2）若，，求的度数． 21. 已知：如图，在中，，D中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． （1）求证：； （2）若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 23. 小许和小丹同学参加了学校数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点在上，且，则的度数为_________； 通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； （3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例． 24. 如图，等腰中，，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图1，若C点横坐标为5，求B点的坐标； （2）如图2，若交x轴于点M，过C点作交y轴于D点．求证：； （3）如图3，若点A是x轴负半轴上的一个点，坐标为，点B是y轴正半轴上的一个点，坐标为，以为直角边在第二象限作等腰直角，连接交y轴于P点，求点P的坐标（用含m，n的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州中学2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 注意事项：本试卷共四大题24小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟． 1．答卷前，考生务必在答题卡第1、3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考号、姓名；再用2B铅笔把对应考号的标号涂黑． 2．考生不能使用计算器．必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 6，8，20 D. 5，13，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知“两边和大于第三边，两边差小于第三边”是解本题的关键． 根据两边和大于第三边，两边差小于第三边进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边， A、，故不能构成三角形，不符合题意； B、，故不能构成三角形，不符合题意； C、，故不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 3. 广州塔的外部钢结构框架由24根钢柱、斜撑和圆环交叉构成，形成了大量的三角形结构，有效增强了建筑的抗风和抗震能力，其中蕴含的数学原理是（ ）． A. 三角形两边之和大于第三边 B. 圆是轴对称图形 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可得出答案，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键． 根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】根据题意，形成了大量的三角形结构，有效增强了建筑的抗风和抗震能力， 其中主要应用三角形具有稳定性． 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，直接应用幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 5. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，三角形的三边关系，根据ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．需根据每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意； B项：, ，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意； C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意； D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 7. 如图，，若，则等于（ ） A. 10 B. C. 5 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据平行线的性质可得到的度数，再根据直角三角形的性质可求得的长，从而求得的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 某帐篷撑起后如图1，为固定帐篷，需在四个角分别另加一根固定绳索（），从正面看如图2所示，测得，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质及三角形外角的定义．根据题意利用邻补角的性质求得的度数，再由求得的度数，紧接着由得出，再根据三角形外角的定义求得，随即得出的度数． 详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故选：B． 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，已知和关于直线l对称，连接与的延长线交于点D，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 直线l垂直平分 C. D. 点D在对称轴l上 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键． 根据图形轴对称的性质，可判断A、B、D三个选项均正确，对于选项C，根据全等三角形的性质，举例子判定，即可解答． 【详解】解：A、∵和关于直线l对称， ∴． ∴． ∴． ∴A选项正确．符合题意． B、∵和关于直线l对称， ∴点C和点关于直线l对称． ∴直线l垂直平分． ∴B选项正确．符合题意． C、当时， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴C选项不正确．不符合题意． D、∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点D在线段的垂直平分线上． ∴直线l垂直平分． ∴直线l经过点D． ∴D选项正确．符合题意． 故选：ABD． 10. 现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点E是边的中点．小狗汪汪从点B出发以的速度沿向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑，若能够在某一时刻使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得只存在和两种情况，当时，则，当时，则，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和两种情况， ∵，点E是边的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴运动时间为， ∴点Q的速度为； 当时，则， ∴运动时间为， ∴点Q的速度为； 综上所述，点Q的速度为或， 故选：BD． 三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算法则，即一个积的乘方等于每个因式分别乘方后再相乘．由于指数为偶数，负数的偶次幂结果为正数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形的内角和为，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，在3×4的正方形网格中，__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 14. 下列命题的逆命题是假命题的有________．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】本题考查逆命题的真假判断，需先写出每个命题的逆命题，再根据数学知识判断其真假． 【分析】解：①对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角），符合题意； ②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，该逆命题是真命题，是平行线的判定定理，不符合题意； ③全等三角形的周长相等的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，因为周长相等的三角形不一定全等（如边长分别为3、4、5和4、4、4的三角形周长均为12但不全等），符合题意； ④若，则的逆命题是“若，则”，该逆命题是假命题，因为时a与b可能互为相反数（如，），符合题意． 综上所述，逆命题是假命题的有①、③、④． 故答案为：①③④． 15. 亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，三角形内角和定理，等边对等角，由作图方法可得垂直平分，平分，由等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的度数为或或． 故答案为：或或． 四、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、乘方运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则计算，然后再运用乘方化简即可． 【详解】解：． 18. 如图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及平行线的性质，根据题意利用平行线的性质得到两个内错角相等，再利用“”证明结论即可． 【详解】证明：∵，点A，C，F，D在同一直线上， ∴， 在和中， ， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）作图见详解，点的坐标为 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴的轴对称变换及在平面直角坐标系中求四边形面积． （1）利用轴对称的性质在平面直角坐标系图中作出关于x轴的轴对称图形即可，再根据图形得出点的坐标； （2）根据题意先连接，，将四边形分成和，分别求其面积再相加即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求： 由图可知，此时点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∴四边形由和组成， ∴， 即， ∴四边形的面积为3． 20. 如图，在中，平分． （1）尺规作图：作于点D，交于点M； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-垂线的画法，三角形内角和定理，角平分线定义及解直角三角形． （1）根据题意作出相应的垂线并在交点处标好正确的位置即可； （2）利用三角形内角和定理求得的度数，再利用解得的度数，由角平分线的定义求得的度数，最后再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 21. 已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，得； （2）证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵，点D是的中点， ∴． 22. 如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． （1）求证：； （2）若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形中线等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）角平分线的定义，对顶角相等结合等角的余角相等可得，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，证明得到，进而得到三角形的中线得到，进而得到，最后根据面积的和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． ∴的面积=． 23. 小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点在上，且，则的度数为_________； 通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； （3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）猜想正确，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握垂直平分线的作图是关键． （1）由题意得，根据，得，即可求解； （2）根据题意作相应边的垂直平分线即可； （3）在中，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于，连接，则是的分割线 详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）如图所示： （3）正确，理由如下： 在中，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于，连接，则是的分割线； ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形 24. 如图，等腰中，，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标； （2）如图2，若交x轴于点M，过C点作交y轴于D点．求证：； （3）如图3，若点A是x轴负半轴上的一个点，坐标为，点B是y轴正半轴上的一个点，坐标为，以为直角边在第二象限作等腰直角，连接交y轴于P点，求点P的坐标（用含m，n的式子表示） 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，证明，根据全等三角形的性质得到，根据y轴上点的坐标特征求出点B的坐标即可； （2）证明，得到，结合图形证明结论即可； （3）过点C作轴于点D，证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据已知条件求出点C和点E的坐标，利用“”证明得出，再根据线段间的等量关系求得的长，紧接着由于与y轴交点P在y轴负半轴上，随即求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，过点C作轴于点D， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B坐标为． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点C作轴于点D， 由（1）知，， ∴，， ∵点且在x轴负半轴上，点且在y轴正半轴上， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵以为直角边在第二象限作等腰直角， ∴， ∴点E的坐标为， 和中， ， ∴， ∴，， ∵直线与y轴的交点为P，且在y轴负半轴上， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $