精品解析：上海市闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高一上学期期中质量调研数学试卷

2025学年第一学期高一期中“六校联合教研”质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间150分钟，满分150分，试卷共4页，答题纸4页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题：（本题共12小题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）． 1. 已知全集，集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】由全集为，集合， 则， 故答案为： 2. 已知集合，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求出． 【详解】∵集合A={x|﹣1≤x≤1}， 则A∩Z={﹣1，0，1}， 故答案为{﹣1，0，1}． 【点睛】本题考查了交集的运算和常用集合，属于基础题． 3. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 4. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 5. 已知，用表示___________． 【答案】 【解析】 【分析】由换底公式及对数运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为： 6. 若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】“”⇒ “”,但是“”⇏“”，即可求解. 【详解】“”是“”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得． 【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题 7. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据反证法的基本思想求解即可. 【详解】由题意应假设且， 故答案：且 8. 一元二次不等式的解集是，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系求出，最后计算． 【详解】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上， 不等式解集是方程两根之间的区间， 方程的两根为：， ，解得， ． 故答案：． 9. 不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据绝对值的几何意义解不等式可得. 【详解】由，分三类讨论： （1）当时，，所以；不符合题意； （2）当时，，所以，符合题意； （3）当时，，所以，不符合题意； 综上可知，当等号成立时取值范围是. 故答案为：. 10. 若集合有且仅有两个子集，则实数___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合的子集个数，可推出集合中元素的个数，从而转化为含参方程根的个数，再对含参方程中的参数，分和两种情况进行分类讨论即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中有1个元素，即方程有且仅有1个实数根. 当时，，满足题意； 当时，一元二次方程有且仅有1个实数根， 所以，解得. 综上所述，实数的取值为或. 故答案为：或. 11. 我们在学习数学的过程中不仅要学习解题的方法，还要注意学习其中的数学思想，比如我们在解不等式时，可利用不等式的性质，原不等式等价于或去求解．仿照上述方法可求得不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】类比题目中的不等式的解法，进行计算即可. 【详解】仿照题中方法，不等式等价于①或②. 由，得，所以； 由，得，所以或. 所以不等式组①的解集为. 由，得或，所以或； 由，得，所以. 所以不等式组②的解集为. 综上，所求解集为. 故答案为：. 12. 甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以. 故答案为：. 二、单选题：（本题共4小题，其中每题4分，每题5分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 下列可以构成集合的是（ ） A. 2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B. 高一年级所有高个子男生 C. 2025年所有受观众喜爱的影片 D. 所有大于3的自然数 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素的确定性进行判断 【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合； 对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合； 对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合； 对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合. 故选：D 14. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 15. ”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分、必要条件概念即可判断. 【详解】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C​ 16. 设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式的解集，再利用题意即可得参数范围. 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，所以， 解得， 故选：B. 三、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数与对数的转化及对数运算法则计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）由，则，， 则. 18. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）解出两不等式后结合交集定义即可得； （2）由交集定义及空集定义计算即可得解. 【小问1详解】 若，则对有，解得，即， 对，有， 即，解得或，即或， 则； 【小问2详解】 由可得，则，即， 由，或，则有，解得， 故实数的取值范围为. 19. 由于中美贸易战，某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场．该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件，据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． （1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ （2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）直接根据题意列出降价后的利润，并解不等式可得； （2）根据题意可得利润的函数，并用基本不等式可得函数的最大值. 【小问1详解】 设每件售价降元，现在售价为元，每件产品利润为元， 月销售量为万件，月销售利润为万元，而降价前的月销售利润万元， 因为降价后月总利润不低于原来的月总利润，所以，即，解得， 所以售价元. 故每件每件售价最少为元. 【小问2详解】 总利润包括产品利润和政府补贴，设总利润为万元， 降价元后的利润为万元，政府补贴万元， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立. 故时，该企业下月的月总利润有最大值万元. 20. 已知二次函数． （1）若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不等正实数根，求实数的取值范围； （3）若在内不存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次方程判别式即可求解； （2）利用（1）结合韦达定理即可求解； （3）利用分类讨论，结合题意得到不等式组来求解. 【小问1详解】 由方程有两个不等实数根， 可得：，化简得：， 解得或. 故实数的取值范围为或. 【小问2详解】 由方程有两个不等实数根， 可得：，化简得：， 解得或， 且满足，解得， 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为在内不存在使得不等式成立， 所以在内使得不等式恒成立， 当对称轴，只需要满足，解这两个不等式组可得：， 当对称轴，只需要满足，解这两个不等式组可得：， 综上可得：实数的取值范围为. 21. 平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． （1）当时，求的最小值，并指出此时的值； （2）已知，且，求的最小值，并指出此时的值； （3）已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 【答案】（1）当时，取得最小值3； （2）当时，的最小值是4； （3）当时，的最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，在结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； 【小问2详解】 因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一期中“六校联合教研”质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间150分钟，满分150分，试卷共4页，答题纸4页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题：（本题共12小题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）． 1. 已知全集为，集合，则___________． 2. 已知集合，则 ________. 3. 若，则的最小值为__________. 4. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 5 已知，用表示___________． 6. 若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是________ 7. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 8. 一元二次不等式的解集是，则___________． 9. 不等式中，当等号成立时取值范围是___________． 10. 若集合有且仅有两个子集，则实数___________． 11. 我们在学习数学的过程中不仅要学习解题的方法，还要注意学习其中的数学思想，比如我们在解不等式时，可利用不等式的性质，原不等式等价于或去求解．仿照上述方法可求得不等式的解集为___________． 12. 甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则___________． 二、单选题：（本题共4小题，其中每题4分，每题5分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 下列可以构成集合的是（ ） A. 2025年我校高一数学期中试卷中难题 B. 高一年级所有高个子男生 C. 2025年所有受观众喜爱的影片 D. 所有大于3的自然数 14. 若，下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 15. ”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 16. 设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 18. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 19. 由于中美贸易战，某生产LED灯泡企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场．该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件，据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． （1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ （2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 20. 已知二次函数． （1）若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不等正实数根，求实数的取值范围； （3）若在内不存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 21. 平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． （1）当时，求的最小值，并指出此时的值； （2）已知，且，求的最小值，并指出此时的值； （3）已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $