第二章 7 教材拓展4 抽象函数问题（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦抽象函数核心考点，依据高考评价体系梳理求值、奇偶性、单调性、周期性及综合问题五大考查维度。通过2021-2024年高考真题分析，明确抽象函数求值占25%、单调性证明占30%的高频考点分布，归纳出赋值法、构造函数法等常考题型解题框架。 课件亮点在于“真题溯源+策略建模”的备考路径，如以2022新课标Ⅱ卷周期性问题为例，用赋值法推导周期，培养学生的推理意识；通过构造指数函数模型解决抽象函数等式问题，发展模型观念。特设“易错陷阱警示”和“母题变式训练”，帮助学生熟练答题技巧，教师可据此精准突破考点，实现高效复习。

教材拓展4　抽象函数问题 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 　　抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，其构思新颖，条件隐蔽. 抽象函数问题近几年频频出现在高考试题中，已成为高考中的一个重点题型，如在2021年、2022年、2023年、2024年的高考中都有考查，抽象函数问题已成为高考命题中的一个热点. 1.解决抽象函数问题的基本策略 策略1　赋值法 角度1：根据条件式，令变量分别取0，1，－1，2等特殊数值代入，求出某些函数值. 角度2：当条件中有f的函数值时，也常将x0代入. 角度3：也可以拆分赋值，将－x，x1，x2代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性. 策略2　构造具体函数法 抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标的两个角度： 角度1：抽象问题图象化：根据题设条件画出函数图象，然后根据图象寻找解题的思路和方法. 角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果. 2.常见的抽象函数模型 (1) 对于正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)＝f(x)±f(y). (2) 对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，与其对应的抽象函数为 f(x±y)＝f(x)±f(y)∓b. (3)对于反比例函数f(x) ，与其对应的抽象函数为 f(x＋y). (4) 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ，与其对应的抽象函数为 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c. (5) 对于指数函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝f(x)f(y) 或f(x－y) . (6) 对于对数函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，与其对应的抽象函数为f(xy)＝f(x)＋f(y) 或ff(x)－f(y). (7) 对于正弦函数f(x)＝sin x ，与其对应的抽象函数为f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y). (8) 对于余弦函数f(x)＝cos x ，与其对应的抽象函数为f(x)＋f(y)＝2ff 或f(x)f(y)[f(x＋y)＋f(x－y)]. (9)对于正切函数 f(x)＝tan x，与其对应的抽象函数为f(x±y). 题型一　抽象函数求值 　　　　(1)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝____. 由题意知，f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)，f(8)＝f(4)＋f(2)＝3f(2)，因为f(8)＝3，所以3f(2)＝3，即f(2)＝1，再令x＝y，所以f(2)＝f()＋f()＝2f()，解得f(). 典例1 (2)(2024·广东广州二模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)，f(0)＝2，则f(20)＋f(24)＝____. 因为f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)，则f(1－x)＋f(1＋x)＝f(－x)，可得f(x)＝ f(－x)，所以f(x)为偶函数，由f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)可得f(2＋x)＋f(－x)＝f(x＋1)，即f(2＋x)＋f(x)＝f(x＋1)，整理得f(2＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(3＋x)＋f(－x)＝f(3＋x)＋f(x)＝0，则f(6＋x)＋f(3＋x)＝0，可得f(6＋x)＝f(x)，所以6为f(x)的周期，由f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)，f(0)＝2，令x＝0，可得f(1)＋f(1)＝f(0)＝2，可得f(1)＝1；令x＝1，可得f(2)＋f(0)＝f(1)＝1，可得f(2)＝－1；所以f(20)＋f(24)＝f(2)＋f(0)＝－1＋2＝1. 1 　　抽象函数求值常用赋值法，赋值主要是从－2，－1，0，1，2等特殊值中选值代入求抽象函数的函数值. 规律方法 对点练1.已知函数f的定义域为R，且ff(x)f(y)，f2，则f＋f A.4 B.5 C .6 D.7 由题意知，令x＝0，y＝1，则ff(0)f(1)，又f2，所以f1，再令x＝y＝1，所以ff(1)f(1)＝4，所以f＋f5.故选B. √ 对点练2.(一题多解)已知函数f满足ff(x)＋f(y)＋2xy，且f1，则f A.25 B.125 C.625 D.15 625 法一(赋值法)：令x＝y＝1，所以ff(1)＋f(1)＋2＝4.令x＝2，y＝1，所以ff(2)＋f(1)＋4＝9.令x＝y＝2，所以ff(2)＋f(2)＋8＝16.令x＝3，y＝2，所以ff(3)＋f(2)＋12＝25.所以归纳f252＝625.故选C. 法二(构造特殊函数)：因为ff(x)＋f(y)＋2xy，所以构造函数fx2，满足f(1)＝1，所以f252＝625.故选C. √ 　　　　根据下列已知条件，证明函数的奇偶性： (1)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，证明f(x)为奇函数. 证明：令x＝y＝0，所以f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0. 再令x＋y＝0，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)， 即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. 题型二　抽象函数的奇偶性 典例2 (2)已知函数f(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，证明f(x)为奇函数. 证明：令x＝y＝0，所以f(0)＝0f(0)＋0f(0)， 解得f(0)＝0， 再令x＝y＝1，所以f(1)＝2f(1)，可得f(1)＝0，则f(0)＝f(1)＝0， 令x＝y＝－1，f(1)＝－2f(－1)＝0， 则f(－1)＝0， 令y＝－1，f(－1×x)＝xf(－1)＋(－1)f(x)，所以f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. (3)已知函数f(x)是定义在上不恒为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(xy)，证明f(x)为偶函数. 证明：令x＝y＝1，所以f(1)＝2f(1)，解得f(1)＝0， 再令x＝y＝－1，则f(1)＝2f(－1)，故f(－1)＝0， 令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(x)， 所以函数f(x)为偶函数. 　　判断或证明抽象函数的奇偶性，需要根据已知，巧妙赋值，配凑出f(－x)与f(x)的关系. 规律方法 对点练3.(2024·河南新乡二模)已知函数f满足ff＋f，则下列结论一定正确的是 A.f＋1是奇函数 B.f是奇函数 C.f－1是奇函数 D.f是奇函数 √ 因为ff＋f，令x＝y＝－1，可得ff＋f，则f(－1)＝0；令y＝－2－x，则f(－1)＝f(x)＋f(－2－x)＝0，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称，则f(x－1)的图象关于点(0，0)对称，即f(x－1)是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝0，可得ff＋f，则ff，当f≠2时，f－1≠0，此时f－1不可能是奇函数，由于无法确定f的值，故f－1不一定是奇函数，故C错误；对于A，D，取fx＋1，满足题意，但易知A，D错误.故选B. 对点练4.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，则下列结论正确的是 A.f(4)＝12 B.方程f(x)＝x有解 C.f是偶函数 D.f是偶函数 √ 法一：对于A，因为函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，取x＝y＝1，得f(1)＋f(1)＝f(2)－2＋2，则f(2)＝4，取x＝y＝2，得f(2)＋f(2)＝f(4)－8＋2，则f(4)＝14，故A错误；对于B，取y＝1，得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－2x＋2，则f(x＋1)－f(x)＝2x，所以f(x)－f(x－1)＝2(x－1)，f(x－1)－f(x－2)＝2(x－2)，…，f(2)－f(1)＝2，以上各式相加得f(x)－f(1)x2－x，所以f(x)＝x2－x＋2，令f(x)＝x2－x＋2＝x，得x2－2x＋2＝0，此方程无解，故B错误.对于C，D，由B知f(x)＝x2－x＋2，所以f＋2＝x2＋是偶函数，f＋2＝x2－2x＋不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 法二：因为f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，所以构造函数f(x)＝ax2＋bx＋c，代入整理得c＝(2a－2)xy＋2，所以解得a＝1，c＝2，所以函数f(x)＝x2＋bx＋2，又f(1)＝2，所以b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋2，结合选项知，C正确，A，B，D错误.故选C. 　　　　已知定义在R上的函数f(x)满足： ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1； ②当x＞0时，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； 解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1. 在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1. 又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)， 所以函数f(x)在R上是增函数. 题型三　 抽象函数的单调性 典例3 (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4. 解：由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5. 由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4， 得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1＞5， 即f(x2＋x＋1)＞f(3)， 又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3， 解得x＜－2或x＞1， 故原不等式的解集为{x｜x＜－2，或x＞1}. 　　抽象函数的单调性的判断或证明主要是利用单调性的定义进行判断. 规律方法 对点练5.(2025·河南新乡模拟)已知定义在R上的函数f满足∀x，y∈R，ff·f＋f＋2x－3，f－1，则不等式f＞3－2x的解集为 A. B. C. D. √ 令x＝y＝0，得f(－1)＝f(0)·f(0)＋f(0)－3＝－3.令y＝0，得f(－1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋2x－3，解得f(x)＝2x－1，则不等式f(x)＞3－2x转化为2x＋2x－4＞0，因为y＝2x＋2x－4是增函数，且2×1＋21－4＝0，所以不等式f(x)＞3－2x的解集为(1，＋∞).故选A. 题型四　抽象函数的周期性 典例4 　　　 (一题多解)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝ A.－3 B.－2 C.0 D.1 √ 法一(赋值法)：因为f＋f(x－y)＝ff，令x＝1，y＝0可得，2ff(1)f(0)，所以f2，令x＝0可得，f＋f2f，即ff，所以函数f为偶函数，令y＝1得，f＋ffff，即有f＋ff，从而可知f－f，f－f，故f(x＋2)＝f，即ff，所以函数f的一个周期为6.因为ff－f1－2＝－1，ff－f－1－1＝－2，f(4)＝ff－1，fff1，ff2，所以一个周期内的f＋f＋…＋f0.由于22除以6余4，所以ff＋f＋f＋f1－1－2－1＝－3.故选A. 法二(构造特殊函数)：由f＋fff， 设facos ωx，则由法一中f2，f1知a＝2，acos ω＝1，解得cos ω，取ω，所以f2cosx，则f＋f(x－y)＝2cos＋2cos4cosxcosy＝ff，所以f2cosx符合条件，因此f(x)的周期T6，f2，f1，且f－1，f－2，f－1，f1，f2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以ff＋f＋f＋f1－1－2－1＝ －3.故选A.  1.利用赋值法求出函数的周期. 2.抽象函数具体化，结合具体函数简单明了. 规律方法 对点练6.(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(0)＝1，f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，则f(k)＝ A.－2 B.－1 C.0 D.1 √ 法一(赋值法)：由题意知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(0)＝1，令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，故f(x)为偶函数；又f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，又由f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，则f(2)＝－f(0)＝－1；f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x＋2)＝－f(－x)，又结合f(x)为偶函数，则f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4为f(x)的周期，故f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故f(k)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)]＋f(2 024)＋f(2 025)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＋f(1)＝506(1＋0－1＋0)＋1＋0＝1.故选D. 法二(构造特殊函数)：由f＋f2ff，设f cos ωx，由f(0)＝1，f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，得fcos x， 所以f(k)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＋f(1)＝0＋1＋0＝1. 故选D. 题型五　抽象函数的综合问题 典例5 　　　 (1)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f的定义域为R，f y2f＋x2f，则 A.f0 B.f0 C.f是偶函数 D.x＝0为f的极小值点 √ √ √ 法一(赋值法)：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y).对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.故选ABC. 法二(构造特殊函数)： 当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到，故可以设ln (x≠0)，则f(x)显然f(x)为偶函数，且f(0)＝f(1)＝0，当x＞0时，f(x)＝x2ln x，则f'2xln x＋x2·x(2ln x＋1)，令f'＜0，得0＜x＜；令f'＞0，得x＞；故f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误，A，B，C正确.故选ABC. (2)(多选)(2025·广东深圳模拟)已知函数f的定义域为R，且ff f2(x)－f2，f1，f0，则下列说法中正确的是 A.f为偶函数 B.f－1 C.f－f D.f0 √ √ 法一(赋值法)：对于A，因为f(x)的定义域为R，且fff2－f2，令x＝y＝0，则f(0)f(0)＝f2(0)－f2(0)，故f2(0)＝0，则f(0)＝0，令x＝0，则ff－f2，又f(1)＝1，则f(y)不恒为0，故f(－y)＝ －f(y)，f(x)为奇函数，故A错误；对于B，令x＝2，y＝1，则f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1).而f1，f0，所以f(3)＝－1，故B正确；对于C，由B可知，f(3)＝－1，令x＝3，y＝2，则f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)，所以f(5)＝1.又因为f(－1)＝－1，所以f－f(5)，故C正确； 对于D，令y＝2，则f(x＋2)f(x－2)＝f2(x)，令x＝5，7，9，可得f(7)＝－1，f(9)＝1，f(11)＝－1，所以f(2k＋1)＝(－1)k，令x＝2k＋2，y＝2k得f2(2k＋2)－f2fff(4k＋2)×0＝0，结合f0递推可得f(2k)＝0.因为2 026＝4×506＋2，故ff(1)＋f(2)＝1，故D错误.故选BC. 法二(构造特殊函数)：由fff2－f2 ，设fasin ωx，由f1，f0，得fsin x，所以fsinx是奇函数，fsin－1，故A错误，B正确；又T＝4，所以ff1，而f－1，所以f－f，故C正确；由fsin x得，f＋f＋f(3)＋f0，所以f506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＝1，故D错误.故选BC. 1.抽象函数具体化，类比具体函数的性质解决. 2.利用赋值法，紧扣定义与条件的结构表达式，结合函数性质转化求解. 规律方法 对点练7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，且f(2)＝3，则 A.f(1)＝1 B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 √ √ √ 对于A，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，f(2)＝3，令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，故A正确；对于B，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2＞x1，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)，因为当x＞0时，f(x)＞0，所以f(x2－x1)＞0，f(x1)＞0，所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)＞f(x1)，即f(x2)＞f(x1)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，当f(0)＝0，令y＝－x，x＞0，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解得f(x)＝0，与题意矛盾；当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数.综上所述，函数f(x)不是奇函数，故C错误； 对于D，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)－1，f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1－1，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上单调递增，所以x＞0时，f(x)＝2x－1＞20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，故D正确.故选ABD. 对点练8.(多选)(2025·江西南昌模拟)已知函数f对任意的x，y∈R，都有f＋f2ff，且f≠0，f－1，则 A.f1 B.f是奇函数 C.f的周期为4 D.n2f5 100，n∈N* √ √ √ 法一(赋值法)：由f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令x＝y＝0，则2f(0)＝2，又f(0)≠0，所以f(0)＝1，故A正确；令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，所以f(x)是偶函数，故B错误；令x＝y＝1，则f(2)＋f(0)＝20，所以f(1)＝0，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，故C正确；由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝0，f(4)＝－f(2)＝1，所以n2f(n)＝－22＋42－62＋82－…－982＋1002＝(2＋4)(－2＋4)＋(6＋8)(－6＋8)＋…＋(98＋100)(－98＋100)＝2×(2＋4＋6＋…＋98＋100)5 100，故D正确.故选ACD. 法二(构造特殊函数)：由f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y) ，设f(x)＝cos ωx，由法一得，f(0)＝1，又因为f(2)＝－1，知f(x)＝cosx，所以f(x)＝cos x是以4为周期的偶函数，故A，C正确，B错误；对于D，n2f(n)＝ n2cos－22＋42－62＋82－…－982＋1002＝(2＋4)(－2＋4)＋(6＋8)(－6＋8)＋…＋(98＋100)(－98＋100)＝2×(2＋4＋6＋…＋98＋100)＝ 5 100，故D正确.故选ACD. 谢 谢 观 看 抽象函数问题 $