第二章 15 教材拓展5 嵌套函数的零点问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考嵌套函数零点问题核心考点，涵盖f(f(x))与f(g(x))两类基本形式，按“类型界定-策略提炼-题型突破”逻辑架构知识体系，通过考点梳理明确换元法与数形结合核心方法，结合典例精讲与真题训练，帮助学生构建从换元解套到图象分析的解题路径。 资料以“换元解套-图象转化”为主线创新教学策略，如在零点个数判断中，引导学生通过设t=f(x)将复合问题转化为t=f(x)与y=f(t)的交点问题，培养数学思维与几何直观。设置基础对点练与综合提升题分层训练，配合即时解析反馈，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

　嵌套函数的零点问题 　　我们把形如y＝f(f(x))或y＝f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式： 一、“f(f(x))”型 这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设f(x)＝t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y＝f(x)与y＝t的图象关系解得问题. 二、“f(g(x))”型 这一类型是两个函数f(x)，g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设g(x)＝t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y＝f(t)的自变量，利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的性质，或做出并利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的图象来解决问题. 题型一　嵌套函数零点个数的判断 (1)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)则函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)已知函数f(x)则方程f(f(x))＝1的根的个数为(　　) A.7 B.5 C.3 D.2 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)因为当x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝f(x－2)＋1，所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象.同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象.再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示，令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点.故选C. (2)令u＝f(x)，先解方程f(u)＝1.①当u≤1时，则f(u)＝2u－1＝1，得u1＝1.②当u＞1时，则f(u)＝｜ln (u－1)｜＝1，即ln (u－1)＝±1，解得u2＝1＋，u3＝1＋e.作出函数f(x)的图象，如图所示， 直线u＝1，u＝1＋，u＝1＋e与函数u＝f(x)图象的交点个数分别为3，2，2，所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.故选A. 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 第一步：换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点； 第二步：依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 　　 对点练1.已知函数f(x)其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析： 当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1，f'(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示.因为g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，令t＝f(x)，由g(x)＝0，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t.当t，即f(x)有3个解，则g(x)有3个零点；当t＝3，即f(x)＝3有1个解，则g(x)有1个零点.综上，g(x)共有4个零点.故选B. 对点练2.已知函数f(x)则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 解析：令t＝f(x)，g(x)＝0，则f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1，分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图①所示， 　 由图象可得y＝f(t)与y＝2t－1有两个交点，设两交点横坐标为t1，t2，则t1＝0，1＜t2＜2，对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图②所示，由图象可得，当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的实根，当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的实根.综上可得g(x)＝0的实根个数为5，即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5.故选B. 题型二　由嵌套函数零点的个数求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)若函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋a2－1恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0)∪(1，2) B.(－1，1)∪(3，＋∞) C.(－1，0)∪[1，2) D.(－1，1]∪(3，＋∞) (2)设函数f(x)＝x2＋2x，g(x)若函数h(x)＝g(f(x))－a有6个不同的零点，则实数a的取值范围为　　　　　. 答案：(1)C　(2)(2，3] 解析： (1)画出f(x)的大致图象如图所示.令g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋a2－1＝0，得f(x)＝a－1或f(x)＝a＋1.设f(x)＝t，由图可知，当t＜0或t＞2时，t＝f(x)有且仅有1个实根，当t＝0或1≤t≤2时，t＝f(x)有2个实根，当0＜t＜1时，t＝f(x)有3个实根，则g(x)恰有4个不同的零点等价于或或或解得－1＜a＜0或1≤a＜2.故选C. (2)函数h(x)的零点即为方程h(x)＝0的解，也即g(f(x))＝a的解.令t＝f(x)，则原方程的解变为方程组的解.作出函数y＝f(x)和直线y＝t的图象如图①所示.由图可知，当t＞－1时，有两个不同的x与之对应，当t＝－1时，有一个x与之对应，当t＜－1时，没有x与之对应.由有6个不同的解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于－1.作出函数y＝g(t)和直线y＝a的图象如图②所示.当a∈(2，3]时满足要求.综上，实数a的取值范围为(2，3]. 　　已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 　　 对点练3.(2025·河南驻马店模拟)已知函数f(x)若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，4] B.(2，＋∞) C. D. 答案：C 解析：设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝h(t)＝t2－at＋1，画出f(x)的图象，如图所示， 由图可知，当t＜－1时，t＝f(x)有且仅有一个解；当t＝－1或t＞2时，t＝f(x)有两个不同的解； 当－1＜t≤2时，t＝f(x)有三个不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因为函数g(x)有6个零点， 故需t2－at＋1＝0在(－1，2]内有两个不同的根，所以 解得2＜a≤，即实数a的取值范围是.故选C. 对点练4.(2024·安徽合肥三模)设a∈R，函数f若函数y＝f恰有5个零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设t＝f，当x≥0时，f－1，此时t≥0，由f0得t＝1，即f－1＝1，解得x＝0或x＝2，所以y＝f在上有2个零点；当x＜0时，若a≥0，f－x2＋ax，对称轴为x，函数y＝f的大致图象如图①所示，此时f－x2＋ax＜0，即t＜0，则f＜0，所以f0无解，则t＝f无零点，y＝f无零点，综上，此时y＝f只有2个零点，不符合题意； 若a＜0，此时f的大致图象如图②所示，令－t2＋at＝0，解得t＝a＜0(t＝0舍去)，显然fa在上存在唯一负解，所以要使y＝f(f(x))恰有5个零点，需f＞1，即－＋＞1，解得a＜－2，所以a∈.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $