第三章 6 教材拓展7 指对同构问题（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指对同构”核心考点，属于一元函数导数及应用模块，紧密对接高考评价体系。通过梳理比较大小、方程求解、恒成立求参数等高频题型，分析近五年高考真题中此类问题占比达30%的权重，归纳出构造函数、利用单调性的解题框架，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“题型归类+规律提炼+实战训练”的三阶备考策略，如以典例1中“e^a+a>b+ln b”为例，通过构造函数f(x)=e^x+x培养学生数学思维，借助指对互化技巧提升数学眼光。设置“母题变式”训练，帮助学生掌握同构函数构造（如x e^x与x ln x互化）的得分方法，教师可据此精准突破导数应用难点，助力学生高效冲刺高考。

教材拓展7　指对同构问题 高三一轮复习讲义 人教版 第三章　一元函数的导数及其应用 　　把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 题型一　同构法的理解 　　　　(1)若ea＋a＞b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是 A.a＞ln b B.a＜ln b C.ln a＞b D.ln a＜b 法一：由ea＋a＞b＋ln b，可得ea＋a＞eln b＋ln b，令f(x)＝ex＋x，则f(a)＞f(ln b)，因为f(x)在R上是增函数，所以a＞ln b.故选A. 法二：由ea＋a＞b＋ln b，可得ea＋ln ea＞b＋ln b，令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)＞g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea＞b，即a＞ln b.故选A. 典例1 √ (2)若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a，b∈R＋)可化为同构方程，则ab的值为 A.e B.e8 C.ln 6 D.1 对aea－2＝e4两边取自然对数，得ln a＋a＝6　①，对b(ln b－2)＝e3λ－1两边取自然对数，得ln b＋ln(ln b－2)＝3λ－1，即ln b－2＋ln(ln b－2)＝3λ－3　②，因为方程①②为两个同构方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，设F(x)＝ln x＋x，x＞0，则F'(x)＋1＞0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以方程F(x)＝6的解只有一个，所以a＝ln b－2，所以ab＝(ln b－2)be8.故选B. √ 1.利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究. 2.常见的同构函数有：①f(x)；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x).其中①④可以借助，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化. 规律方法 对点练1.已知不等式ax＋eax＞ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是 A.f(x)＝ln x＋x B.f(x)＝xln x C.f(x)＝xex D.f(x) 由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，所以ax＋eax＞ln(bx)＋bx可变形为ln eax＋eax＞ln(bx)＋bx，构造函数f(x)＝ln x＋x，可得f(eax)＞f(bx).故选A. √ 题型二　同构法的应用 角度1　d＋ln d与x＋ex同构 　　　　对于任意的x＞0，ex≥(a－1)x＋ln(ax)恒成立，则a的最大值是_____. 由ex≥(a－1)x＋ln(ax)，可得ex＋x≥ax＋ln(ax)，即ex＋x≥eln(ax)＋ln(ax)，令f(x)＝ex＋x，则f(x)≥f(ln(ax))，因为f(x)在R上是增函数，所以x≥ln(ax)，即a≤，令h(x)(x＞0)，则h'(x)，当x∈(0，1)时，h'(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝e，即a≤e，所以a的最大值是e. 典例2 e 角度2　aln a与xex同构 　　　　设实数k＞0，对于任意的x＞1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为_____. 由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，即kxekx≥eln x·ln x，令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x).因为f'(x)＝(x＋1)ex，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，因为kx＞0，ln x＞0，所以kx≥ln x，即k≥，令h(x)(x＞1)，则h'(x)，当x∈(1，e)时，h'(x)＞0，h(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，h'(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(e)，即k≥，所以k的最小值为. 典例3 角度3　 beb与xln x同构 　　　　(2025·江苏南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则 A.ab＞e B.b＞ea C.ab＜e D.b＜ea 由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.设f(x)＝xln x(x＞0)，因为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.当x＞1时，f'(x)＝ln x＋1＞0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，ealn ea＜bln b，即f(ea)＜f(b)，所以ea＜b，即b＞ea.故选B. √ 典例4 角度4　与同构 　　　　若关于x的不等式＞0对∀x∈(0，1)恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 典例5 √ 由题意可知a＞0，，即对∀x∈(0，1)恒成立.设g(x)，则问题转化为g(aex)＞g(x)在(0，1)上恒成立，因为g'(x)，所以当0＜x＜e时，g'(x)＞0，当x＞e时，g'(x)＜0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，g(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0.①在x∈(0，1)上，若aex≥1恒成立，即a≥1，g(aex)＞0＞g(x)；②在x∈(0，1)上，若0＜aex＜1，则aex＞x恒成立，即＜a＜1恒成立，令h(x)，x∈(0，1)，则h'(x)＞0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，所以h(x)＜h(1)，所以≤a＜1.综上所述，实数a的取值范围为.故选B. 1． 2. 规律方法 3． 规律方法 对点练2.(2025·湖北武汉模拟)已知a＞0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为____. 因为xaealn x，所以不等式即为ex－x≤ealn x－aln x，因为a＞0且x＞1，所以aln x＞0，设y＝ex－x，x∈(0，＋∞)，则y'＝ex－1＞0，故y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，所以x≤aln x，即存在x∈(1，＋∞)，使a≥，所以a≥，设f(x)(x＞1)，则f'(x)，当x∈(1，e)时，f'(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(e)＝e，所以a≥e.故a的最小值为e. e 对点练3.若对任意x∈[e，＋∞)，满足2x3ln x－m≥0恒成立，则实数m的取值范围是____________. 由2x3ln x－m≥0，得2x3ln x≥m，即2x2ln x≥，即 x2ln x2≥，即ln x2·≥.令f(x)＝xex，则f(ln x2)≥f恒成立，当m≤0时，显然恒成立，当m＞0时，利用函数f(x)＝xex的单调性可知ln x2≥恒成立，即m≤2xln x(x≥e)，所以m≤2e，则实数m的取值范围是(－∞，2e]. (－∞，2e] 谢 谢 观 看 指对同构问题 $