第一章 6 第五节 第1课时 二次函数及其性质（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦二次函数及其性质核心考点，依据新课标要求，系统梳理解析式求法、图像分析、性质应用等高考必备内容，对接高考评价体系中函数与方程、不等式综合应用考查要求，明确解析式三种形式、闭区间最值等高频考点权重，归纳图像辨析、单调性判断等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点突破+真题实战+素养提升”，融入2024北京卷等高考真题，以“数学思维”指导闭区间最值分类讨论，用“数学语言”规范答题步骤，如通过顶点式、零点式快速求解析式，帮助学生掌握数形结合技巧，教师可依托课时测评精准把握学情，助力高效复习冲刺。

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数及其性质 高三一轮复习讲义 人教版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝___________________. (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为_________. (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) y＝ax2＋bx＋c (a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 ____ 值域 对称轴 x＝______ R － 函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) y＝ax2＋bx＋c (a＜0) 顶点 坐标 ________________________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递____； 在上单调递____ 在上单调递____； 在［－，＋∞)上单调递____ 减 增 增 减 常用结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1.(多选)下列说法不正确的是 A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是 D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增 自主检测 √ √ √ 2.已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2，2)，则函数f(x)的值域为 A.(2，10) B.[1，2) C.[2，10] D.[1，10) 当x∈(－2，2)时，－3＜x－1＜1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1，10).故选D. √ 3.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是 由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f(x)是二次函数，图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，所以排除B；只有D符合.故选D. √ 4.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为____________. 由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. f(x)＝x2－4x 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　二次函数的解析式 自主练透 1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________________. 法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝ －4x2＋4x＋7. －4x2＋4x＋7 法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x，所以m.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 2.已知函数f是二次函数，且f1，f(x＋1)－f2x，则f____________. 因为f1，y＝f是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f－f2x，所以a＋b＋1－2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. x2－x＋1 3.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________________________________. 因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以 ｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为yx2＋x－或y＝－x2－x＋. yx2＋x－或y＝－x2－x＋ 　　求二次函数解析式的方法 规律方法 　 　　(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝－.则下列结论正确的是 A.abc＜0 B.b＜a＋c C.3b＜－4c D.当x＞－时，y随x的增大而增大 考点二　二次函数的图象 师生共研 典例1 √ √ √ 由二次函数图象和性质可得a＞0，c＜0，因为－，所以a＝b＞0，所以abc＜0，故A正确；由图象可知当x＝－1时，函数值小于0，即a－b＋c＜0，所以b＞a＋c，故B错误；由图象可知x＝1时，函数值小于0，即a＋b＋c＜0，因为a＝b，所以2b＋c＜0，即2b＜－c，所以8b＜ －4c，因为b＞0，所以3b＜8b，所以3b＜－4c，故C 正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随 x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x＝－， 所以当x＞－时，y随x的增大而增大，故D正确. 故选ACD. 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 规律方法 对点练1.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c＜0 C.9a＋3b＋c＜0 D.abc＜0 由二次函数图象开口向下知a＜0，对称轴为x＝－1，即2a＋b＝0，故b＞0.又因为f(0)＝c＞0，所以abc＜0，f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c＞0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c＜0.故选ACD. √ √ √ 　 　　 (一题多变)已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； 解：f(x)＝x2－tx－1－1－. 依题意，－1＜＜2，解得－2＜t＜4， 所以实数t的取值范围是(－2，4). 考点三　二次函数的性质 师生共研 典例2 (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 解：f(x)＝x2－tx－1－1－. ①当≥2，即t≥4时， f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t； ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f－1－； ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t) 变式探究 (变结论)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). 解：f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2t. 综上，G(t) 二次函数最值问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴、区间都是固定的；(2)对称轴变动、区间固定；(3)对称轴固定、区间变动. 2.解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思路即可完成. 规律方法 对点练2.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； 解：当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函数f(x)的值域为. (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或－1. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2024·北京卷)已知M＝{(x，y)｜y＝x＋t(x2－x)，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 A.d＝3，S＜1 B.d＝3，S＞1 C.d，S＜1 D.d，S＞1 √ 对任意给定x∈，则x2－x＝x≥0，且t∈，可知x≤x＋t≤x＋x2－x＝x2，即x≤y≤x2，所以所求集合表示的图形即为 平面区域如图中阴影部分所示，其中A， B，C，可知任意两点间距离最大值d ；阴影部分面积S＜S△ABC×1×2＝1.故选C. (人教A必修一P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y＝－20x2＋2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 点评：数形结合是以形助数，见数想图，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为 A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则a＝3，b＝－2，所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是 若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论错误的是 A.b＞0 B.c＞0 C.ff D.不等式＜0的解集是 ∪(3，＋∞) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题图知抛物线开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴交点 纵坐标为正，所以c＞0，因为－1＋2＝3，所以b＜0， 由根与系数的关系得1×2＝2，即b＝－3a＜0，c＝2a ＞0，对称轴x，则ff，故A错误，B、C正确；不等式＜0 可化为(ax－3a)(－3ax＋2a)(2ax＋a)＜0，即(x－3)(3x－2)(2x＋1)＞0，解得－＜x＜ 或x＞3.所以不等式的解集是∪，故D正确.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则 A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0 C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0 由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，所以4a＋b＝0，又f(0)＝f(4)＞f(1)，所以f(x)的图象开口向上，a＞0.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是 A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是 A.a＋b＋c＞0 B.a－b＋c＜0 C.abc＞0 D.b＝2a √ √ 由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故A正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故B正确；函数图象的开口向下，a＜0，对称轴－＞0，即b＞0，当x＝0时，y＝c＞0，则abc＜0，故C错误；若b＝2a，则对称轴－－1，与图象不符，故D错误.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是 A.a＜1 B.若x1x2≠0，则 C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(｜x｜)有四个零点 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ，故B正确；因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(｜x｜)＝x2－2｜x｜有3个零点，故D不正确.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为______________. 因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1，所以所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. f(x)＝x2－4x＋3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(开放题)请写出一个函数f______________________使之同时具有如下性质： (1)函数f为偶函数；(2)f的值域为[0，＋∞). 根据题意，要求函数f为偶函数，则函数f关于直线x＝2对称，而f的值域为[0，＋∞)，f可以为二次函数，如f(答案不唯一). (答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(多空题)已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根，则：(1)f(x)的解析式为_________________；(2)若f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，则m＝______，n＝______. (1)由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0，则4a＋2b＝0，又方程f(x)＝x有等根，即ax2＋(b－1)x＝0有等根，得b＝1，从而a＝－，所以f(x)＝－x2＋x. f(x)＝－x2＋x －2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)假定存在符合条件的m，n，由(1)知f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤，则有2n≤，即n≤.又f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在 [m，n]上单调递增，于是得即 解方程组得m＝－2，n＝0，所以存在m＝－2，n＝0，使函数f(x)在 [－2，0]上的值域为[－4，0]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞) 二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，所以a－1≤－1或a－1≥2，所以a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞).故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.已知函数f在上的最大值为A，在上的最大值为B，若A≥2B，则实数m的取值范围是______________. 由函数f，作出f(x)的图象如图①： 由题意得f(1)＝f(3)＝f(5)＝2，当1＜m≤5时，函数f在上的最大值为2，即A＝2，要使A≥2B，则B≤1， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 令f(x)＝1，解得x1＝3－，x2＝2，x3＝4，x4＝3＋，由图②可得，要使函数f在上的最大值为B，且B≤1，则或解得3－≤m≤. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当m＞5时，由图③可得，f在上的最大值A＝fm2－6m＋7＞0，在上单调递增，最大值B＝f＞fA＞0，A≥2B不可能成立.综上，实数m的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)(2025·江西南昌开学考)已知函数ftx2＋x－3t＋1，. (1)若f在上单调递增，求实数t的取值范围；(5分) 解：当t＝0时，fx＋1，则f在上单调递增，满足条件； 当t≠0时，ftx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－，要使f在上单调递增，则解得－≤t＜0. 综上，若f在上单调递增，则实数t的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若t＞0，设函数f在区间上的最大值为g，求g的表达式，并求出g的最小值.(10分) 解：当t＞0时，ftx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－＜0， 所以f(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增； 当－≥－1，即t≥时，f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1； 当－≤－2，即0＜t≤时，f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t； 当－2＜－＜－1，即＜t＜时，f(－2)＝t－1，f(－1)＝－2t； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当t－1＝－2t时，即t时， f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝f(－2)＝－； 当t－1＞－2t，即＜t＜时， f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1； 当t－1＜－2t，即＜t＜时， f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t. 综上，g 所以当t时，g(t)min＝g()＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.已知函数f2ax2－2 024x－2 025，对任意t∈R，在区间上存在两个实数x1，x2，使≥1成立，则实数a的取值范围是 A. B. C.∪∪[1，＋∞) D.∪∪ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 存在两个实数x1，x2，使≥1⇔f－f≥1，当a＝0时，f－2 024x－2 025，f－f2×2 024＞1，显然符合；当a≠0时，f2ax2－2 024x－2 025与y＝2ax2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合.因为t－1≤x≤t＋1且t∈R，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐标之差最小的状态为f2ax2，当a＞0时，此时f2a－0≥1，故a≥；当a＜0时，此时－f0－2a≥1，故a≤ －.综上，实数a的取值范围是∪∪.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(多选)对任意的x∈R，函数fax2－3x＋的值域是，则下列结论中正确的是 A.a＞0 B.a2b＝9 C.a2＋4b的最小值是12 D.a2＋ab＋3a＋b的最小值是6－6 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数fax2－3x＋的值域是，所以a＞0，且f0，即0，所以a2b＝9，故A，B正确；由a2b＝9，得b＞0，则a2＋4b＝a2＋≥212，当且仅当a2，即a时取等号，所以a2＋4b的最小值是12，故C正确；由a2b＝9，得b＞0，ab＞0，则a2＋ab＋3a＋b＝a2＋＋3a≥2＋26＋6，当且仅当即a时取等号，所以a2＋ab＋3a＋b的最小值是6＋6，故D错误.故选ABC. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 二次函数及其性质 $