第一章 6 第五节 一元二次函数、方程和不等式（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次函数、方程和不等式核心考点，紧扣新课标“借助函数求解不等式”要求。通过教材梳理夯实基础，考点探究分角度突破，结合2023新课标Ⅰ卷真题分析，归纳含参数不等式、恒成立问题等常考题型，对接高考评价体系，提升备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”，如以2023新课标Ⅰ卷集合与不等式题为例，详解“变判求写”四步法，培养数学思维与数学语言素养。针对恒成立问题，通过分离参数法等突破，帮助学生掌握分类讨论技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

第五节　一元二次函数、方程和不等式 高三一轮复习讲义　湘教版 第一章　集合与逻辑、不等式 课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=－ 没有 实根 2 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ______________ _____ ___ 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ______________ ____ ____ {x|x>x2或x<x1} 且 R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 微提醒　对于不等式ax2+bx+c>0，求解时不要忘记a=0时的情形. 常用结论 (1)分式不等式的解法 ①>0(<0)⇔f(x)·g>0(<0). ②≥0⇔ (2)绝对值不等式的解法 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，+∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. (3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 自主检测 1.(多选)下列结论正确的是 A．若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R C．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2－4ac≤0 D．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集 √ √ 2.设m+n>0，则关于x的不等式(m－x)(n+x)>0的解集是 A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} √ (m－x)(n+x)>0⇒(x－m)(x+n)<0，又因为m+n>0，所以m>－n，所以不等式的解集为{x|－n<x<m}.故选B． 3.不等式－2x2+x≤－3的解集为________________________.  (－∞，－1]∪ 由－2x2+x≤－3可得2x2－x－3≥0，即(2x－3)(x+1)≥0，得x≤－1或x≥，故不等式的解集为(－∞，－1]∪. 4.(易错题)若不等式2kx2+kx－<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.  (－3，0] 当k=0时，满足题意；当k≠0时，解得 －3<k<0，所以－3<k≤0，即实数k的取值范围为(－3，0]. 5.若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.  {a|a≥0} 当a=0时，不等式为3>0，满足题意；当a≠0时，需满足解得a>0，综上可得，实数a的取值范围为{a|a≥0}. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　一元二次不等式的解法 多维探究 典例1 角度1　不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)－3x2－2x+8≥0； 解：原不等式可化为3x2+2x－8≤0， 即(3x－4)(x+2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)0<x2－x－2≤4. 解：原不等式等价于⇔ ⇔ ⇔ 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}. 解一元二次不等式的4个步骤 规律方法 角度2　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1<0(a>0). 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 因为a>0，所以a(x－1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1； 当a=1时，不等式无解； 当0<a<1时，解得1<x<. 典例2 综上，当0<a<1时， 不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为⌀； 当a>1时，不等式的解集为. 对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论： 1.根据二次项系数为正、负及零进行分类. 2.根据判别式Δ与0的关系进行分类. 3.当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 规律方法 对点练1.解下列关于x的不等式： (1)x－3>－2； 解：由不等式x－3>－2，可得>2或<1.由>2，得x>4；由<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集为{x|x>4或0≤x<1}. (2)x2－(a2+a)x+a3<0(a>0)； 解：原不等式转化为(x－a)(x－a2)<0.当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}；当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a2=a，即a=1时，不等式的解集为⌀. (3)>1. 解：>1⇒－1>0⇒>0⇒<0⇒－1<x<0，故不等式的解集为 (－1，0). 考点二　三个“二次”的关系 师生共研 典例3 (多选)若不等式ax2－bx+c>0的解集是(－1，2)，则 A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．b<0且c>0 C．a+b+c>0 D．不等式ax2－cx+b<0的解集是R √ √ 由题意知a<0，所以A正确；由题意可得－1，2是方程ax2－bx+c=0的两个根，所以得b<0，c>0，所以B正确；因为－1是方程ax2－bx+c=0的根，所以把x=－1代入方程得a+b+c=0，所以C不正确；把b=a，c=－2a代入不等式ax2－cx+b<0，可得ax2+2ax+a<0，因为a<0，所以x2+2x+1>0，即(x+1)2>0，此时不等式的解集为{x|x≠－1}，所以D不正确.故选AB． 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 规律方法 对点练2.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是， 则不等式ax2－bx+c>0的解集为________.  由条件知－2，－是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，所以－2－= －×=，所以b=a，c=a.从而不等式ax2－bx+c>0，即为a>0.因为a<0，所以原不等式等价于2x2－5x+2<0，即(x－2)(2x－1)<0，解得<x<2.所以不等式的解集为. 考点三　一元二次不等式恒成立问题 多维探究 当k=0时，8>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上实数k的取值范围是[0，1].故选A． 典例4 角度1　在R上的恒成立问题 已知关于x的不等式kx2－6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是 A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，+∞) D．(－∞，0]∪[1，+∞) √ 典例5 角度2　在给定区间上的恒成立问题 已知函数f(x)=mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立， 则实数m的取值范围为__________.  要使f(x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m+m－6<0在x∈[1，3]上恒成立. 法一：令g=m+m－6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g=g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0<m<；当m=0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g=g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，实数m的取值范围是. 法二：因为x2－x+1=+>0，m(x2－x+1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立.令y=，因为函数y==在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可.所以实数m的取值范围是. 典例6 角度3　在给定参数范围内的恒成立问题 若不等式x2+px>4x+p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，+∞) D．(－∞，－1)∪(3，+∞) √ 不等式x2+px>4x+p－3可化为(x－1)p+x2－4x+3>0，由已知可得[p+x2－4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x－1)p+x－4x　+3(0≤p≤4)， 可得解得x<－1或x>3.故选D． 恒成立问题求参数范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论. 规律方法 对点练3.(1)不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4≥0的解集为⌀，则实数a的取值范围是 A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} √ 因为不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4≥0的解集为⌀，所以不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0的解集为R.当a－2=0，即a=2时，－4<0，符合题意；当a－2　≠0，即a≠2时，需满足解得－2　<a<2.综上实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}.故选C． (2)已知函数f(x)=x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数 m的取值范围是________.  由题意得x2－4x－4<1，解得－1<x<5，即x∈(－1，5).因为f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，所以(m－1，－2m)⊆(－1，5)，所以解得0≤m<，即m∈. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={－2，－1，0，1，2}，N=，则M∩N= A． B． C． D． √ 法一：因为N==∪，而M=，所以M∩N=.故选C． 法二：因为M=，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N=.故选C． 返回 教材呈现 (湘教版必修一P61T5)已知U=R，A={x|x2－16<0}，B={x|－x2　+3x+18>0}，求A∩B，A∪B. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法和集合交并运算，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系或因式分解法转化集合，再求集合交并运算进行问题解决. 课 时 测 评 返回 1.不等式|x|(1－2x)>0的解集为 A．(－∞，0)∪ B． C． D． √ 由题意得x≠0，当x>0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0.综上，原不等式的解集为 (－∞，0)∪.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为A． B． C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} √ 因为不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以ax2+bx+2=0的两根为 －1，2，且a<0，即－1+2=－×2=，解得a=－1，b=1，则不等式可化为2x2+x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2+bx+a<0的解集为.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.已知命题p：“∀x∈R，(a+1)x2－2(a+1)x+3>0”为真命题，则实数a的取值范围是 A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 √ 当a=－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足 解得－1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为－1≤a<2.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx+c>0”，给出如下一种解法.解：由ax2+bx+c>0的解集为(－1，2)，得a(－x)2+b(－x)+c>0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx+c>0的解集为(－2，1).参考上述解法，若关于x的不等式+<0的解集为∪，则关于x的不等式+<0的解集为 A．(－2，1)∪(1，3) B．(－3，－1)∪(1，2) C．(－3，－2)∪(－1，1) D．(－2，－1)∪(1，2) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若关于x的不等式+<0的解集为∪，则关于x的不等式+<0可看成是前者不等式中的x用代替得到的，所以∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1，2).故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确的有 A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx+a<0的解集为 D．a+b+c>0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由不等式的解集为{x|x≤3或x≥4}可知a>0且对于A，由上可知，故A正确；对于B，bx+c=－7ax+ 12a>0，又a>0，所以x<，故B错误；对于C，cx2－bx+a =12ax2 + 7ax+a<0，又a>0，即12x2+7x+1<0，解得－<x<－，故C错误；对于D，a+b+c=a－7a+12a=6a>0，故D正确.故选AD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)关于x的不等式(ax－1)(x+2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为 A．－ B．1 C．－1 D．－2 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意知a<0，则排除B；对于A，当a=－时，>0，即(x+2)(x－2)<0，解得－2<x<2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a=－1时，(－x－1)(x－3)>0，即(x+1)(x－3)<0，解得－1<x<3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a=－2时，(－2x－1)(x－5)　>0，即(2x+1)(x－5)<0，解得－<x<5，解集中有5个整数，不符合题意.故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.不等式>x的解集是____________________.  (－∞，－1)∪(1，5) 不等式>x化为以下两个不等式组解得x< －1，解解得1<x<5，所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1，5). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为________.  －4 因为当x∈[1，3]时，x2+ax+4≥0恒成立，所以a≥－恒成立，又当x∈[1，3]时，x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号，所以 －≤－4，所以a≥－4，故a的最小值为－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.若a<0，则关于x的不等式组的解集为_________.  (a，－a) 因为a<0，所以由ax－a2=a(x－a)<0，得x>a.由x2－ax－2a2=(x－2a)　(x+a)<0，得2a<x<－a.所以原不等式组的解集为(a，－a). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m+6)，则实数c的值为______.  因为函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，所以f(x)= x2+ax+b=0只有一个根，即Δ=a2－4b=0，则b=，不等式f(x)<c的解集为(m，m+6)，即x2+ax+<c的解集为(m，m+6)，则x2+ax+－c=0的两个根为m，m+6，所以|m+6－m|===6，解得c=9. 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(12分)已知集合：①A=；②A={x|x2－2x－3<0}；③A={x||x－1|<2}，集合B={x|x2－(2m+1)x+m2+m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题： (1)定义A－B={x|x∈A，且x∉B}，当m=0时，求A－B；(5分) 解：选①： 由>1，可得>0，即(x－3)(x+1)<0， 解得－1<x<3， 故A=(－1，3)，由m=0，可得x2－x<0， 即x(x－1)<0，解得0<x<1， 故B=(0，1)，则A－B=(－1，0]∪[1，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 选②： x2－2x－3<0，解得－1<x<3， 故A=(－1，3)， 由m=0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0， 解得0<x<1，故B=(0，1)， 则A－B=(－1，0]∪[1，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 选③： |x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3， 故A=(－1，3)， 由m=0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0， 解得0<x<1， 故B=(0，1)， 则A－B=(－1，0]∪[1，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围.(7分) 解：由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A=(－1，3). 由x2－(2m+1)x+m2+m<0， 即(x－m)[x－(m+1)]<0， 解得B=(m，m+1)， 因为p是q成立的必要不充分条件，所以B⫋A， 所以 解得－1≤m≤2，故实数m的取值范围为[－1，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(6分)已知函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若关于x的不等式f≤4的解集为∪，则不等式f>2x2的解集为 A．(－∞，－2)∪(2，+∞) B．(－2，2) C．(－∞，－4)∪(4，+∞) D．(－4，4) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数f是定义在R上的偶函数，且在 上单调递增，所以f上单调递减，又f ≤4的解集为(－∞，－2]∪，可得f>4 ，  所以当x≥2，或x≤－2时，y=f(x)的图象在y=4图象的下方，当－2　<x<2时，y=f(x)的图象在y=4图象的上方，又因为当x≥2，或x≤－2时，y=2x2的图象在y=4图象的上方，当－2<x<2时，y=2x2的图象在y=4图象的下方，所以当x≥2，或x≤－2时，y=f(x)的图象在y=2x2图象的下方，当－2<x<2时，y=f(x)的图象在y=2x2图象的上方，则不等式f>2x2的解集为.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(16分)已知函数f(x)=ax2+(1－a)x+a－2. (1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(6分) 解：∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2+(1－a)x+a≥0， 当a=0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1.(10分) 解：依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2+(1－a)x－1<0 ⇔>0， 当a=－1时，－=1，解得x≠1； 当－1<a<0时，－>1，解得x<1或x>－； 当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 所以，当a=－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当－1<a<0时，原不等式的解集为； 当a<－1时，原不等式的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(知识融合)已知0<θ<，若cos2θ+2msin θ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是__________.  m≥－ 因为cos2θ+2msin θ－2m－2<0，所以1－sin2θ+2msin θ－2m－2=－sin2θ　+2msin θ－2m－1<0.设x=sin θ(0<x<1)，f(x)=－x2+2mx－2m－1.由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立.当对称轴x=m≤0时，f(x)在x∈(0，1)上单调递减，则f(x)<f(0)=－2m－1≤0，即－≤m≤0；当对称轴0<x=m<1时，f(x)≤f(m)=－m2+2m2－2m－1=m2－2m－1<0，解得1－<m<1+，即0<m<1；当对称轴x=m≥1时，f(x)在x∈(0，1)上单调递增，则f(x)<f(1)=－1+2m－2m－1=－2<0，即m≥1.综上所述实数m应满足的条件是m≥－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(新定义)(多选)设<x>表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式<x>2+<x>－12≤0的解可以为 A． B．3 C．－4.5 D．－5 √ √ 因为不等式<x>2+<x>－12≤0，所以(<x>－3)(<x>+4)≤0，即－4≤　<x>≤3，又因为<x>表示不小于实数x的最小整数，<>=4，<3>=3，<－4.5>=－4，<－5>=－5，所以不等式<x>2+<x>－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 一元二次函数、方程和不等式 $