精品解析：天津市北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高三上学期期中数学测试卷

北京师范大学天津生态城附属学校 2025–2026学年高三（上）数学期中测试 一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，那么“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm³ A. 64π B. 144π C. 288π D. 216π 7. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，且，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，则 8. 记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（　　 ） A. 12 B. 12或11 C. 11或10 D. 10 9. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ） ① ②函数图象关于点对称 ③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 ④若，则函数的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 11. 已知二项式，其展开式中项的系数为________. 12. 天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为______；该游客至少游览三个景点的概率为______． 13. ，，若2是与的等比中项，则的最小值是________. 14. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 15. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）令，数列的前n项和，求证：． 20. 已知函数. （1）若该函数在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在其定义域上有两个极值点. ①求的取值范围； ②证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学天津生态城附属学校 2025–2026学年高三（上）数学期中测试 一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再进行补集和交集运算即可求解. 【详解】， 因为，可得， 因为，所以， 故选：C． 2. 已知命题，，则命题的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定. 【详解】命题为特称命题，其否定为，. 故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项. 【详解】的定义域是， 因为，所以是奇函数，排除CD， 因为，排除B， 故选：A. 4. 设集合，，那么“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合，得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数函数的性质判断对数式、指数幂的大小关系. 【详解】， ∴. 故选：D 6. 已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm³ A. 64π B. 144π C. 288π D. 216π 【答案】C 【解析】 【分析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故选：C 7. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，且，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D. 【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数的绝对值越接近于， 故A正确； 由，知， 即概率密度函数的图像关于直线对称， 所以， 则， 故B错误； 根据线性回归直线的性质可知， 线性回归直线一定经过样本点的中心， 故C正确； 随机变量，若， 则， 故D正确； 故选：B. 8. 记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（　　 ） A. 12 B. 12或11 C. 11或10 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由可解出d值为，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时的值可确定． 【详解】设等差数列的公差为d，由，得，即， 又，所以，所以，令，可得， 所以数列满足：当时，；当时，；当时，， 所以取得最大值时，的取值为11或12． 故选：B． 9. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ） ① ②函数图象关于点对称 ③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 ④若，则函数的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断①，验证是否为函数的对称中心判断②，结合函数图象平移变换结论判断③，结合不等式性质及正弦函数性质判断④. 【详解】由已知， 所以， 又，所以函数的最小正周期为， 由已知，所以，①正确； 所以， 因为，所以函数图象关于点对称，②正确， 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以，又， 所以的最小值为，③正确， 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，④错误. 故选:A 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：. 11. 已知二项式，其展开式中项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式直接求解即可. 【详解】二项式展开式通项为， 令，解得：，， 展开式中项的系数为. 故答案为：. 12. 天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为______；该游客至少游览三个景点的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据互相独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】该游客只游览一个景点的概率为， 该游客游览三个景点的概率为， 该游客游览四景点的概率为， 所以该游客至少游览三个景点的概率为， 故答案为：； 13. ，，若2是与的等比中项，则的最小值是________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为是与的等比中项，得到，得到， 又，，所以，当且仅当，即，时，取等号， 故答案为：9. 14. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，，可求得；向量在向量上的投影向量的模为，计算可求得最小值. 【详解】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 15. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则，所以时，， 所以在上单调递增； 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则，， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得， 即可得正实数的取值范围. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角的正弦公式，降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）由，求出的范围，再根据正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 ， 令，得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以. 17. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理求解； （2）利用余弦定理求解； （2）利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得： ，即， 因为，所以，则； 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由余弦定理得：，即， 解得，则； 【小问3详解】 由得：， 则， 所以， . 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可； （3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 19. 已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）令，数列的前n项和，求证：． 【答案】（1），； （2）； （3） 因为， 所以 所以 因为 所以． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，根据已知条件列方程组可求出公差和公比，从而可求出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法可求出， （3）由（1）可得，再利用裂项相消法可证得结论. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为． 因为， 所以，解得， 所以数列的通项公式为． ，由，得， 所以数列通项公式为． 【小问2详解】 ，① ，② ①②， 所以 【小问3详解】 略 20. 已知函数. （1）若该函数在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在其定义域上有两个极值点. ①求的取值范围； ②证明:. 【答案】（1）1； （2）①；②由①可设，构造函数 则 在上为增函数. 即 且在上递增， . 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由即可求解. （2）①求出，转化为有两个正数解，令，利用导数求出的单调性，数形结合即可求解；由①可设，构造函数，求导判断函数的单调性，由单调性可得，即证. 【小问1详解】 由已知得， 【小问2详解】 ， ①由已知得有两个正数解即有两个正数解 令，则 由得，由得 ∴在上递增，在上递减且 由图可知m的取值范围是. ②略 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求参数值、根据极值点的个数求参数的取值范围、利用导数证明不等式，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $