3.4.1直线的方向向量与平面的法向量（第2课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦平面的法向量、向量表示式及方程，通过教室中黑板、课桌等平面的方向问题导入，衔接直线方向向量知识，构建从线到面的学习支架，引导学生理解“一点一法向”确定平面的原理。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过问题链（如法向量是否唯一等）发展数学思维，用坐标法和方程表达平面体现数学语言。典例结合长方体模型，小结分知识、方法、思想，助力学生提升逻辑推理与模型思想，也为教师提供高效备课的完整教学方案。

3.4.1直线的方向向量与平面的法向量(第二课时) 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 能准确用向量语言（点法式）表述一个平面，理解“一点一法向”确定平面的几何原理. 会求平面的法向量，利用平面的法向量解决简单的问题，提升逻辑推理能力. 经历将具体的空间几何体“平面”抽象为普适的“向量方程”的过程，体会用代数方法研究几何问题的优越性，初步建立利用空间向量解决立体几何问题的数学模型思想. 平面有方向吗？ 情境引入 情境：观察教室中的黑板、课桌桌面、窗户等所在平面，可以发现，课桌桌面所在平面是水平的，黑板、窗户所在平面是竖直的. 如果平面有方向，那么如何来刻画平面的方向吗？ 新知探究 探究1：平面的法向量 问题1：在我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地，空间中，给定一个点和一条直线后，能否确定一个平面？ 过点A且平行于直线l的平面 无数个 过点A且垂直于直线l的平面 唯一确定 新知探究 探究1：平面的法向量 追问1：平面的法向量是唯一的吗？ 不唯一，直线l的方向向量平行的非零向量都是平面α的法向量，因此平面α的法向量有无数个. 如图， 如果一条直线l与一个平面α垂直， 那么就把直线的方向向量 叫作平面α的法向量. 则有 ⊥α. 平面的法向量 即使训练：分别写出xOy平面、yOz平面、zOx平面的一个法向量的坐标. xOy平面的一个法向量: (0,0,1) yOz平面的一个法向量: (1,0,0) zOx平面的一个法向量: (0,1,0) 新知探究 探究1：平面的法向量 追问1：平面的法向量是唯一的吗？ 不唯一，直线l的方向向量平行的非零向量都是平面α的法向量，因此平面α的法向量有无数个. 如图， 如果一条直线l与一个平面α垂直， 那么就把直线的方向向量 叫作平面α的法向量. 则有 ⊥α. 平面的法向量 追问2：已知直线上一点M及其方向向量，直线上的任一点P都可以用来表达，那么已知平面内一点M及其法向量，如何描述平面内任意一点的位置呢？ 新知探究 探究2：平面的向量表示式 问题2：如何用平面的法向量描述平面内任意一点的位置？ 几何支撑 向量表示 如图，设点M是平面α内给定的一点，直线l⊥α， 则直线l垂直于平面α内任意一点P与M的连线. 如图，设点M是平面α内给定的一点，向量是平面α的一个法向量， 那么对于平面α内任意一点P，必有: =0. 反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内， ① 所以把①式称为平面α的一个向量表示式. 新知探究 探究2：平面的向量表示式 追问1：在以前的学习中，你在哪里见过法向量？ 在平面解析几何中，学习过直线的法向量. 追问2：在平面解析几何中，我们是怎样研究直线的？ 借助直线的方程，用代数方法来研究几何问题的. 如果点M是平面α内给定的一点，向量是平面α的一个法向量，点P是平面α内任意一点,则称 =0 为平面α的一个向量表示式. 平面的向量表示式 新知探究 探究2：平面的向量表示式 追问3：在平面解析几何中，已知直线l上一点,及其法向量,你能写出直线l的方程吗？ 直线l的点法式方程为：. 追问4：类似地，已知平面α的法向量,平面内一定点,能否写出平面α的方程？ 如果点M是平面α内给定的一点，向量是平面α的一个法向量，点P是平面α内任意一点,则称 =0 为平面α的一个向量表示式. 平面的向量表示式 新知探究 探究3：平面的方程 问题3：已知平面α的法向量,平面内一定点,能否写出平面α的方程？ O 设平面α内任意一点P坐标为，，， 则，，， 由，，. 得++. ② 由此可见，平面α内任意一点P坐标为，都满足方程②； 反之，以满足方程②的，为坐标的任意一点也都在平面α内. 新知探究 探究3：平面的方程 若平面内一定点,平面α的一个法向量,则称 为平面α的方程. ++ 平面的方程 即使训练：写出满足下列要求的平面方程. ①经过点A(2,0,0),且与x轴垂直的平面; 因为定点A(2,0,0),法向量=(1,0,0)， ②经过点B(1,2,3),且与y轴垂直的平面. 所以平面方程为，即. 因为定点B(1,2,3),法向量=(0,1,0)， 所以平面方程为，即. 找到平面内不共线的两个向量，设出平面的法向量，通过向量的运算性质来求解平面的法向量. 例1 已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标. 典例分析 分析 求平面的法向量，就是要找到一个向量，满足它所在的直线与已知平面垂直. 解 由已知可得. ，, 设是平面ABC的一个法向量, 则 即 不妨取,得. 所以平面ABC的一个法向量的坐标为. 例2 如图，在长方体中，，，. 典例分析 (1)在四边形内，是否存在一点，使得⊥平面? (2)求证：与平面的交点恰为线段的三等分点. A B C D A' B' C' D' E x y z 解 (1)如图，以点A为原点，所在直线分别为轴、轴、z轴建立空间直角坐标系， 则,,, 故,. 设是四边形内一点, 则. 则 即 解得 故在四边形内存在一点)，使得⊥平面. 分析 要证明与平面的交点恰为线段的三等分点，在平面解析几何中，我们是怎样求交点的呢？ 例2 如图，在长方体中，，，. 典例分析 联立方程求解. 平面会有方程吗？如果有，我们该怎样表达它？ (2)求证：与平面的交点恰为线段的三等分点. 平面有方程，可以平面内定点和法向量来求解. A B C D A' B' C' D' E x y z 分析 例2 如图，在长方体中，，，. 典例分析 (2)求证：与平面的交点恰为线段的三等分点. 要证明与平面的交点恰为线段的三等分点， 可以将直线的方程与平面的方程联立求得交点坐标，再验证其恰为线段的三等分点； 也可以先求出线段三等分点的坐标，再验证其在平面内. A B C D A' B' C' D' E x y z 例2 如图，在长方体中，，，. 典例分析 (2)求证：与平面的交点恰为线段的三等分点. A B C D A' B' C' D' E x y z 解 (2)由(1)知是平面的一个法向量,在平面内， ∴ 平面的方程为， 化简，得， 即. 设点为线段的一个三等分点，且满足. 由，可知， 即点的坐标为. 例2 如图，在长方体中，，，. 典例分析 (2)求证：与平面的交点恰为线段的三等分点. A B C D A' B' C' D' E x y z 解 即点的坐标为. 代入平面的方程检验可知，点的坐标满足平面的方程. ∴的三等分点在平面内， 即与平面的交点恰好就是线段的三等分点. 平面的方程可以将立体几何问题通过联立方程转化为代数问题. 1.(多选)在直三棱柱中,可以作为平面的法向量的是( ) A. B. C. D. 巩固训练 2.已知点,,,求平面的一个法向量的坐标. 解 由已知可得：， 设是平面的一个法向量， 则即 不妨取=1，得. ∴平面的一个法向量的坐标为. 基本知识： (1) 平面的法向量： (2) 平面的向量表示式： 基本方法： 表述平面（定义） → 寻求工具（法向量） → 应用工具（解决问题） 课堂小结 (3) 平面的方程： 基本思想： (1) 类比思想； (2) 转化化归思想. 非零 垂直于直线 无数个 =0 ++ 基础作业： 教材第121页练习第2，3，5题． 拓展练习： “交线”的探秘：两个相交的平面确定一条交线，而这条交线的方向向量，同时垂直于两个平面的法向量. 问题：已知平面 α 的方程为 x + 2y - z + 1 = 0，平面 β 的方程为 2x - y + 3z - 4 = 0. (1) 求这两个平面交线的一个方向向量. (2) 挑战：试求这条交线的参数方程.(提示：你还需要在交线上找到一个具体的点.) 布置作业 感谢聆听! $