3.4.1 课时2 平面的法向量及其应用课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.1 课时2 平面的法向量及其应用 作者编号：、32200 1.能用向量语言表述平面. 2.理解平面的法向量，并且会用待定系数法求平面的法向量. 3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题. 学习目标 作者编号：、32200 已知直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线. (1)表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直? (2)直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直? 垂直.因为这些直线与l平行或重合. 垂直. 新课导入 作者编号：、32200 如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α. 如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有 思考：如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？ ① α l M P n 新知讲解 作者编号：、32200 反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，所以把①式称为平面α的一个向量表示式. ① 注意：1.平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. 2.一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 新知讲解 作者编号：、32200 如图，在空间直角坐标系中，若n=(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有 ① 代入①式，得 ② 即 新知讲解 作者编号：、32200 由此可见，平面α内任意一点P的坐标(x，y，z)都满足方程②； 反之，以满足方程②的(x，y，z)为坐标的任意一点也都在平面α内. 所以方程②叫作平面α的方程. ② 新知讲解 作者编号：、32200 例1：如图所示，在多面体 <m></m> 中，四边形 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 均为正方形， <m></m> 为 <m></m> 的中点，过点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的平面交 <m></m> 于点 <m></m> ，分别求平面 <m></m> 、平面 <m></m> 的一个法向量. 解：∵四边形 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 均为正方形， <m></m> ，<m></m>，，且<m></m> . 以 <m></m> 为原点，分别以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 新知讲解 作者编号：、32200 设 <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 又 <m></m> ， <m></m> ， 由 <m></m> ， <m></m> 得 <m></m> 令 <m></m> ，则 <m></m> . 新知讲解 作者编号：、32200 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 由 <m></m> ， <m></m> ，得 <m></m> 令 <m></m> ，则 <m></m> . 故平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> ， 平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> . 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为 <m></m> . （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量 <m></m> ， <m></m> . （3）列方程组：由 <m></m> 列出方程组. （4）解方程组 <m></m> （5）赋非零值：取 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的其中一个为非零值（常取 <m></m> ）. （6）得结论：得到平面的一个法向量. 新知讲解 作者编号：、32200 例2：在四棱锥 <m></m> 中， <m></m> 底面 <m></m> ，底面 <m></m> 为正方形， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> 的中点. （1）求证: <m></m> . （2）在平面 <m></m> 内是否存在一点 <m></m> ，使 <m></m> 平面 <m></m> ？若存在，求出点 <m></m> 的坐标；若不存在，请说明理由. 新知讲解 作者编号：、32200 解：（1）由题意知， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 两两垂直. 如图，以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴建立空间直角坐标系，设 <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，从而 <m></m> . 新知讲解 作者编号：、32200 （2）存在.理由如下:假设存在满足条件的点 <m></m> ， 设 <m></m> ，则 <m></m> ， 又 <m></m> ， <m></m> ， 若 <m></m> 平面 <m></m> ， 则 <m></m> ，得 <m></m> . <m></m> ，得 <m></m> ， 所以点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ， 故存在满足条件的点 <m></m> ，且 <m></m> 为 <m></m> 的中点. （2）在平面 <m></m> 内是否存在一点 <m></m> ，使 <m></m> 平面 <m></m> ？若存在，求出点 <m></m> 的坐标；若不存在，请说明理由. 作者编号：、32200 1.已知平面过点 ，其法向量为，则下列点不在平面内的是( @4 @ ) A. B. C. D. 2.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( @ 4@ ) A.(4，2，－2) B.(2，0，4) C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2) C D 当堂检测 作者编号：、32200 3.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的方程是_____________. x＋2y－3z＝0 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.什么是平面的法向量？ 2.平面的方程是什么？ 3. 求平面法向量的方法与步骤是什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$