第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量&4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

§4向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量甲4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 白题 基础过 限时：50min 题组1直线的方向向量与平面的法向量 6.(2025·山东潍坊高二月考)已知平面的法 1.(2025·河南郑州高二月考)已知点P(0,1, 向量m=(2a,3,-2),平面B的法向量n= 0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量 (-2,b,1),若∥B,则a+2b= 可以为 ( A.-1 B.1 C.2 0.2 A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1) 7.(2025·山东菏泽高二月考)如图，在长方 C.(4,2,-2) D.（4,-2,2) 体ABCD-AB1C,D1中，AB=4,BC=3,CC1=2 2.(2025·山东聊城高二月考)已知点A(1,0, (1)求平面ACD,的法向量； 0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向 (2)线段B,C的中点为点P,求证：AP∥平 量可以是 面ACD1· A.(1,1,1) B. D.（-1,0,1) 3.(2025·浙江温州高二期中)已知平面α内有 一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为n= (1,2,3),则下列点P中，在平面a内的是 ( A.(1,2,1) B.(3,0,1) 8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, C.(1,1,-1) D.(1,-1,1) PA=AD=AB=2,M,N,Q分别是PC,AB,CD的 题组2空间向量与平行问题 中点.求证： 4.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0, (1)MW∥平面PAD: (2)平面QMW∥平面PAD. 5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD 的位置关系是 ( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 5.(2025·山东青岛高二期中)直线1的一个方 向向量为(-2,1，-1)，平面α的一个法向量 为n=(3,3,-3),则 ( A.l∥a B.I⊥x C.l∥a或lca D.lCa 选择性必修第一册·BS黑白题086 题组3空间向量与垂直问题 13.(2025·山东菏泽高二月考)如图，△ABC是 9.(2025·河南新乡高二月考)已知平面α的法 一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD∥CE,且 向量为a=（1,2,-2),平面B的法向量为b= CE=CA=2BD=2. (-2,-4,k),若⊥B,则k= ( (1)求平面DEA的法向量； A.4 B.-4 C.5 D.-5 (2)求证：平面DEA⊥平面ECA. 10.苏教版教材变式(2025·江苏无锡高二期 中)已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l 的方向向量，n=（1,2,3)是平面α的法向 量，若lLa,则a+2b= ( A货 B C.6 0. 11.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方 形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF1 时气 12.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，求证：DB1⊥平14.(2025·山东淄博高二月考)如图，在四棱锥 面A,BC P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的 中点 (1)求证：EF⊥CD: (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面 PCB,试确定点G的位置. 第三章黑白题087 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2025·广东广州高二期中)直线a,b的方向15.(2025·浙江绍兴高二期中)若平面a的一个 向量分别为a,b,平面a,B的法向量分别 法向量为41=(-3，y,1),平面B的一个法向量 为m,n,则下列选项正确的是 为42=(6，-2，z)且α∥B,则y+z= A.若a∥b,则a·b=0 6.(2025·安徽六安高二月考)如图，在直三棱 B.若b∥B,则b·n=0 C.若a⊥a,则a·m=0 柱ABC-ABG中，C1=CB=2AM,=1,BC1 D.若a∥B,则m·n=0 AC,P为A,B上的动点，Q为棱C,C的中点。 2.已知平面α∩平面B=l,a,B的一个法向量分 (1)设平面ABQ∩平面ABC=I,若P为A,B 别为n1=(1,0,1),n2=(0,-1,1),直线1的方 的中点，求证：PQ∥l; 向向量为e=(入，“，-2)，则下列结论不正确 (2)设B那=ABA,AP⊥平面A,BQ,求实数A 的是 ( 的值 A.A+u=0 B.入-4=-4 C.u=-4 D.4-1 3.(2025·广东东莞高二月考)如图，在正方 体ABCD-A,B,C,D,中，当点F在线段BC,上 运动时，下列结论正确的是 ( A.A,F与BD可能平行 B.A,F与B,D始终异面 C.A,F与平面BDC,可能垂直 D.A,F与BD始终垂直 (第3题) (第4题) 压轴挑战 4.（多选)(2025·云南昆明高二期中)如图， 在正方体ABCD-A,B,C,D1中，E,F分别 (2025·重庆江北区高二期中)已知 是AB,BC,的中点下列结论正确的是( 长方体ABCD-A,B,CD1,AB=1, A.EF⊥BB, BC=2,AA1=3,在A,B上取一点M,在B,C上取 B.EF⊥平面BDD,B, -点N,使得直线MN∥平面A,ACC1,则线 C.EF与C,D的夹角为45° 段MN的最小值为 D.EF∥平面A1B,C,D 进阶突破拔高练PO7 选择性必修第一册·BS黑白题088为 10.（1)证明：如图.以D为原点，DA.DC,DD1所在 直线分别为xy,:轴，建立空间直角坐标系 D,则D(0,0.0)E(0,0,1）,F(1,1,0), c02.0.G02.2.(22.2.60. 0,所以E成=(1,1，-1)，B元=(-2.0，-2)，所 以序.B,=1×(-2)+1×0+(-1)x(-2)=0,所以E序1B,元，故 EF⊥B,G （2)解：易知=(0.-号-2小所以11 √号-2.2因为1可5， 且成.衣=1x01x(号）(-1)x(-2)=2号=手所以 cos(EF.CG)= .C,花 E1c有，2而5，所以与C夹 角余弦值为V知 15 (3)解：因为H是C,G的中点，所以H(0.1又因为1,1.0). 所以m=(.子-1）所以i=√（号）(- m 22 11,(1)证明：如图，取线段AB的中点M,连接ME,G在菱形ABGD 中，点E为线段CD的中点.，ME∥AD.又ME丈平面PAD,ADC平 而PAD.∴，ME∥平面PAD.又△PAB中，点G为线段PB的中点 点M为线段AB的中点，∴.MG∥PA.又MG￠平面PAD,APC平面 PAD,∴.MG∥平面PAD.又MEO MG=M,且MG,MEC平面MEG ∴平面MEG∥平面PAD.又EGC平面EG,.EG平面PAD (2)解：连接BD和AC,交于点O,过点O作 直线OH垂直于平面ABCD,如图，以0为坐 标原点，以向量0币0为x,y,轴的正 方向建立空间直角坐标系，则A(3,0,0). C(-3,0,0),B(0,l,0),D(0.-1,0), r50a.r(停小停 1.设C=A·C=(23A,0,2).则0(23A-3.0,2A),故d= (25A-23,0,2A),依题意可得向量戒与，A花共面.A正= (三宁)小衣=(（受子所以华在实数a使得 衣=m+n花=（受(ma,-(m-).m+n）赠 (m+n）=25A-25 2 2(m-n)=0. 解得ma=A:子则Q(行0，号）月 m+n=2A. 且P(5,0,2),则P0= ）+(子)号 压轴挑战 解：连接D,G成=成-P可且店=成，元=P或-P武=P币+ 成成=励-成-成肥子号成 }(--}号成又：成- 参考答案 可兮成+号成：析m衣m-智成号成： 成成=成-（智（贺-1）应 学成义：.GP,D因点共面1智=0，即m= §4向量在立体几何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量① 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 白题 基础过关 1.C解析：P0=(-2.-1,1),则直线PQ的方向向量为AP0=(-2A, -A,A)(A≠0)，逐项分析即可知只有C符合要求故选C 2.A解析：AB=(-1.1,0).AC=(-1.0.1).设平面ABC的法向量为 n=,则：应0则y,只有A港项符合.故 (n·AC=-x+:=0. 选A. 3.B解析：符合条件的P应满足币·n=0,对于A,市=(-1,3，-1)， A币·m=-1+6-3=2≠0：对于B,A币=(1,1，-1)，A币·n=1+2-3=0: 对于C,A币=(-1,2，-3)，币·n=-1+4-9=-6≠0：对于D, (-1,0,-1),A币.n=-1+0-3=-4≠0，故选B 4.A解析：在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4), D(4,1,3)AB=(-2,-2,2),Ci=(1,1,-1)Ai=-2Ci.又AB 与CD不在同一条直线上，直线AB与CD平行故选A 5.C解析：由题意直线1的一个方向向量与平面a的一个法向量的数 量积为-2×3+1×3+(-1》×(-3)=0，所以1∥a或1Ca.故选G =子，解得0=2,65“之 6.A解析：若c/B,则m∥n.所以2g=子=子 故a+2b=2-3=-1.故选A 7.(1)解：如图，以点D为原点建立空间直角 坐标系，则A(3,0,0),C(0,4,0),D1(0, D 0,2),放AC=(-3,4.0),AD=(-3,0,2)。 设平面ACD1的法向量为n=(x,,),期 n心=-3x+4=0,令x=4.则y= 有 n·Ad=-3x+2=0, 3,2=6,所以n=(4,3,6),所以平面AGD1的法向量为(4.3,6). （2)证明：易知4，(3.0,2)，B(34,2),则r(41）故产 (号4，-），因为m…=-6+12-6=0,所以n1庆又AP2 平面ACD1,所以A,P∥平面ACD: 8.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平 面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为四边 形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以AB. AD.AP两两垂直，所以以A为原点，分别 以AB,AD,AP所在直线为x轴y轴：轴建立 室间直角坐标系，如图所示，则有B(2,0,0), D(0,2.0).P(0.0,2).则c(2.2.0).因 为M.N.Q分别是PC.AB,CD的中点，所以H(1.1.1),N(1.0.0). Q(1,2.0),所以M=(0,-1,-1).因为平面P4D的一个法向量 为m=(1,0.0),所以示·m=0,即示⊥m.又因为MNg平面PD 所以MN∥平面PAD. (2)因为Q下=(0，-2,0).所以QN·m=0,所以QN⊥m.又QNd平面 PAD,所以ON∥平而PAD.又因为MNOON=N.N,ONC平面MNQ. 所以平面MNQ∥平而PAD. 9.D解析：a1B,a1b,∴a·b=-2-8-2k=0,解得女=-5故选D 10.D解析：因为u=(3,a+b,a-b)(a,beR)是直线1的方向向量，n= （123)是平面a的法向最，且110…则u则子-必-宁所 黑白题055 15 以a+h=6解得 2 (a-b=9, 3 因此a+2=+2（）=号故 b=-2 选D. 11.1解析：建立如图空间直角坐标系，设正 方形ABCD的边长为1，PA=a,则B(I,0. 0).E(分1.0P0.0,o).设F0 0,则(-1.0.应.（分1.）月 因为BF⊥PE,所以B成.=- 2y=0 所以=子，即F,子0是D的中点，故品 12.证明：如图.建立空间直角坐标系，设正方 体的棱长为1，则A(1,0,1),B(1,1,0). C,(0.1,1),B,(1,1,1),故AB=(0.1, -1),A,C=(-1,1.0),DB=(1.1,1).设 平面A1BC,的法向量n=(x,y,:),则 A店1n,,C⊥n故4B·n=0,4G· m=0,即y-:=0,-x+y=0取x=1,则n= (1,1,1),故有n=DBDB,1平面A,BC 13.(1)解：因为EC1平面ABC,CBC平面ABC。 4 所以EC⊥CB,以C为原点，CB,CE所在的直 线分别为y,:轴建立如图所示的空间直角坐 标系.则C(0,0,0).A(3,1,0),B(0,2,0) E(0.0,2).D(0,2,1).所以E=(3.1-2). C=(0,0.2),E⑦=(0,2，-1)，设平面DEA的 个法向量是m=(a6,e,期05a+6-2x=0今6=1，则 (n·Ei=2h-e=0, #=(3,1,2),所以平面DEA的一个法向量为(3,1,2)（答案不 唯一). (2)证明：设平面ECA的一个法向量是m=(x,,:),则 m…=5x+y2=0令=l,则m=(1,-5,0).因为m·n= m·C2=22=0, 1×√3+(-3)×1+0x2=0,所以m⊥n,所以平面DEA⊥平面EC4. 四方法总结 1.用向量证明平行的方法： (1)线核平行：只需证明两直线的方向向量是共线向量 (2)线面平行：证明直钱的方向向量能用平面的两个基底表示，或证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直， (3)面面平行：证明两平面的法向童是共线向量 2.用向量证明垂直的方法： (1)线线垂直：只需证明两直线的方向向量互相垂直， (2)找面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量： (3)面面垂直：证明两平面的法向量互相季直， 14.(1)证明：以D为坐标原点，D,D心，D币的方向分别为x轴y轴 :轴的正方向，建立室间直角坐标系（如图）。 设AD=a,则D(00,0).B(a,a.0),C(0.a o,a,20P00.a).f(号 0)=0.所以EF⊥CD （2)解：因为Ge平面PD,设G(x,0).所以F元=(2,2 2 由(1)知C=(a,0,0),C=(0,-a,a).因为GF⊥平面P℃B 选择性必修第一册·BS 所以成.ai=（受号受）a,0o=a(号）-0 所以x= ?,=0,所以点G的坐标为号，0.0）即点G为b的 中点 黑题 应用提 1.B解析：由题意.选项A.若a∥b.则a,b共线.a·b≠0，A错误： 选项B.若6∥B.则b,n垂直，故b·n=0,B正确：选项C若a⊥a,则 a,m共线，a·m0,C错误：选项D,若a∥B,则m,n共线m·n 0,D错误.做选B. 2.B解析：依题意，e上m1,e上2，则e·m1=A-2=0,e·,=4-2=0, 解得A=24=-2,因此Au=0,A4=4,=-4,=-1,ACD正确. B错误故选B 3.D解析：构建如图所示的室间直角坐标系。 连接DC1.设正方体的棱长为1，则D(0,0, D 0).A1(1,0,1),B(1,1,1),B(1.1,0). C(0,1,1),令F(a,1,1-a)且0≤a≤1.故 AF=(a-1.1,-a).而B,i=(-1,-1.-1), d=(-1,-10).DC=(0,1,1).所以 A下.Bi=1-a-1+a=0,即AF1B,i.故 D正确：显然A,F在由相交线A,F和BC,所成的平面上，且B,D与 该平面有交点.故F在线段C,上移动过程中A,F可能与B,D相 a-1=-A. 交B错误，若A,广=AB配且A=R,则1=-A,不存在这样的A -0=0xA, A,F.=1--1=0, 值.A错误：若A,下1平面DC,则 显然不存 A,t.0元=1-n=0, 在这样的a值，故C错误故选D. 4.ABD解析：在正方体ABCD-AB,C1D1中 34 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2 则D(0,0.0),B(2.2.0),B,(2.2.2). C(02,2),E(2,1,1),F(1,2,1),E= (-1,1,0),对于A.5=(0,0,2),E序. B那=0，EF⊥BB1,A正确：对于B,D丽= (2.2.0),则E示.D成=0.EF1DB,而DBn BB,=B,DB,BB,C平面BDD,A,因此EF⊥平面BDD,B,B正确：对 EF.C D 于C.C,i=(0.-2.-2).cs(E.C,i)= -2 Ei1C,2·22 子，因此与G的夹角为120，C情阀：对于D,由幽，上平 面AB,C,D,得平面A,B,C,D,的一个法向量BB=(0,0,2),又 E亦.B=0,EF丈平面A,B,C,D,因此EF∥平面AB,CD,D正 确故选ABD. 5.-1解析：因为aB,所以a1∥u2,所以4，=A41.即(-3，y,1)= -3=6A. A(6.-2,),所以 y=-2入，解得 所以y+:=-1.故答案 =1. (1=A:. =-2 为-1. 6.(1)证明：设AB的中点为E,如图①，连接PE,PQ.CE,因为P为A1B 的中点.0为CC的中点，所以PE∥AA.PE=了AA,QC=2C,C, 在直三棱柱ABC-AB,C,中.A1A∥C,C.A,A=C,C,所以AA∥OC 且A,A=2OG,所以四边形PECQ为平行四边形，则PQ∥EC.又PQ￠ 平面ABC,ECC平面ABC,所以PQ∥平面ABC又平面A,BQn平 面ABC=1.POC平面ABQ.所以PQ∥L 黑白题056 ① 2 (2)解：在直三棱柱ABC-A,B,C,中，CC,⊥平面ABC,BC⊥AC,所以 以C为原点，以CA,CB,CC,所在直线分别为xy:轴建立空间直角 坐标系，如图2，因为C4=6B=宁4=1，所以(0,10).Q0.0, 1).A(1,0.2).A(1,0.0),则B41▣(1.-1.2)，A10=(-1.0.-1) A=(-1,1,0),又=AB(0≤A≤1)，则=(A,-A,2A).所以 币=成+B亦=(A-1,1-A,2A).又AP1平面AB0,则 .4=0. 市.A0=0, 则以00解得A 1 压轴挑战 3V205 解析：如图，以DA,DC,DD1所在直线 41 为x,y,:轴建立空间直角坐标系，则A(2,0, 0).B(2,1.0),C(0.1.0).D(0.0.0).A1(2,0 3),B(2.1,3),C,(0.1,3),D(0,0,3),可得 A元=(-2.1,0)，M=(0,0,3),A1i=(0.1, -3),B,元=(-2,0，-3).AB=(0,1,0),设平 面A,4CC,的一个法向量为n=(x,y,:).则年A (n·A花=-2x+y=0,， 取x=1.则y=2.:=0.即 n…m=3=0. n=(1,2.0).设A,i=AAi=(0,A,-3A),B,=uB1C=(-24.0,-3). 则M=MA+A1B+B,不=(-2μ，1-A,3M-3),因为直线N∥平 面A,4CC,.则示1，可得示·n=-24+2-2A=0,解得以=1-A,则 =(2A-2.1-A.6A-3).可得1M2=(2A-2)2+(1-A)2+(6M-3)2= 4-4614=4(品）广行≥行当组仅当A=。 23 网取得最小值兰即心的长度的最小值为3酒故答案 41 为3v205 411 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时空间中的角 白题 据础过关 1.G解析：因为两条异面直线的方向向量分别是4=(3,1，-2)，”= (3,2,1),所以“·=3×3+1×2+(-2)×1=9,11= √32+12+(-2)2=√14,1r1=√32+22+12=14.因为两条异面直 线所成的角为0e(0,2】 u·vl9 ,所以c0s0=1c0s(u,p)1= lullvl 14 所以血：严故选 2.B解析：由题意建立如图空间直角坐标系，可得 A(0,0,0),B(1,0,1),A1(0,0,1),C(0,1,0),则 AB=(1.0.1).A,C=(0.1,-1).所以cm(AB.B AC)= -1 2x2 :-因为两条异面直线所成角的 范周为(0，号受】 ,所以异而直线AB,与A,C所成 角的余弦值为子故选B 参考答案 3.C解析：如图，设上底面圆心为)，，下底面圆心， 为0，连接01.0C,0B.01C1.01B1,由底面扇 环所对的圆心角为于，而的长度是屁长度的内 2倍，CD=1,可知OC=1,以0为原点，分别以 OC,OB,00,所在直线为轴y轴.：轴建立空 间直角坐标系，则C,(1.0,4),A(0.2.0),B(0,1, 0).D1(2.0,4).A1(0.2.4).则AD=(2.-2.0).BC=(1.-1.4),所 AD,·BC 2+2 以%(AD1,BC)= 1A,可11BC14+4×√1+1+16 3又异面 直线所成角的范调为(0，号]，放异面直线A山与C,所成角 的正弦值为1-（3) 4.A解析：设直线AB与平面x所成的角为8，则in=1ems〈店， 01所m5子又用为0e[0,牙]所以0=号故 11ml2x22 选A. 5.B解析：如图所示，建立空间直角坐标系， A 设正方体棱长为1，则4，(1,0,1)，B(1,1,0), D D1(0.0,1),G(0,1,1).所以BA,=(0,-1,4 1),BC=(-1.0,1).BD=(-1,-1,1).设平 面BCD1的一个法向量为n=(x,y,:),直 线A,B与平面BC,D,所成的角为ae ]) n·BD=-xy+=0 (n·BC=-x+:=0, 令x 1,则y=0,2=1.即m=(1.0,1).所以ina=1%(n,BA)1= 后宁a 6.5 13al 解析：依题意可得|cs《n,d)「= 11 5a+1 13al1 5,,解得a=5或a= 5酒合)放答案为酒 7.(1)证明：由题意得C,B∥A,D,C1B1￠平 面ADDA,A,D,C平面ADD,A,所以C,B,∥ 平面ADD,A,又因为C,B,C平面B,C,EF,平 面B,CEFn平面ADD,A:=EF,所以CB1∥ EF所以EF∥A,D· (2)解：因为BB,上平面A,B,C,D1, A1B,⊥A,D1,A,D1∥C,B,可得A,B,⊥C,B,故以点B为坐标原 点，分别以AB,,C,B1,BB,所在直线为x,y,:轴建立如图所示的空 间直角坐标系，则B(0,0,0),C,(0.4,0),E(2,2.1),B(0,0,2), 所以B,C=(0,4,0),B,E=(2,2,1),BC=(0,4,-2).设平面 B,C1·n=4y=0, B,C,EF的法向量为n=(x,八，)，则 故可取 B,E·n=2x+2y+:=0, n=(1,0,-√2).设直线BC1与平面B,C,EF所成的角为6，则in8= C·1nl25x55,故直线C,与平面 1BC,·m12230 lcos(BC.n)I=- BC,BF所成的角的正弦值为 151 8.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， ∠BD=号，所以△BMD与△BD均为正 三角形.如图.取D的中点O,连接OA OC,则0A⊥BD,0C⊥BD因为AB=2,所以 0A=0C=3.因为0A2+0C2=6=AC2,所以 OA⊥C.又BD∩0C=0.BD.OCC平面 BCD,所以OA⊥平面BCD.因为OAC平 黑白题057