第二章 一元一次方程（知识清单）数学北京版2024七年级上册

第二章 一元一次方程 知识点1：代数式的相关概念 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式； 代数式的书写要求 1.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 代数式的值概念及求法 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 注意 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2.代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 知识点2：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 1． 注意 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 注意 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 注意 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点3：单项式、多项式、整式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 注意 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； · 单独的一个数； · 单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 注意 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 注意 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 注意 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 注意 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 注意 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点4：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点5：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 注意 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点6：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 注意 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个方程; ② 必须只含有一个未知数; ③ 含有未知数的式子都是整式; ④ 未知数的次数都是1． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 注意 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点7：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 注意 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 易错一、代数式的书写 1.代数式的书写与普通数学式子的书写： 错误：认为“代数式的书写与普通数学式子的书写没什么两样”。 注意：因为代数式中多数都是字母参与，为了避免一些错误和误会，所以代数式的书写作出了很多规定： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 书写代数式的时候一定严格按照要求书写，防止出现错误。 例1（24-25七年级上·北京门头沟·期末）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)米 【分析】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号．根据代数式的书写格式解答即可． 【详解】（1）解：应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）解：应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）解：应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）解：应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； （5）解：应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； （6）解：米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 例2（24-25七年级上·北京·期末）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 易错二、代数式的实际意义 错误：认为“同一个代数式意义相同”。 注意：代数式的意义与该代数式所处的实际问题有关，同一个代数式在不同实际问题中意义是不同的，例如： 实际问题情境1：苹果和桃子的价格分别是,则表示购买2千克苹果和2千克桃子所需要付的钱数； 实际问题情境2：长方形的长和宽分别为,则表示该长方形的周长。 例1（24-25七年级上·北京东城·期末）对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示8天读书的总页数．请你对代数式“”再赋予一个实际意义： ． 【答案】如果一支铅笔的价格是元，那么表示购买8支铅笔的总价（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式的实际意义，根据代数式表示8乘以的特点，赋予其符合实际生活的意义即可． 【详解】解：代数式表示8与的乘积，因此可以赋予其与数量、价格、距离等相关的实际意义。例如，如果一支铅笔的价格是元，那么表示购买8支铅笔的总价． 故答案为：如果一支铅笔的价格是元，那么表示购买8支铅笔的总价（答案不唯一，合理即可）． 例2（24-25七年级上·北京昌平·期末）一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm． (1)代数式表示的实际意义是______； (2)当时，是否超过弹性限度？ 【答案】(1)挂上质量为的物体后，弹簧的总长度 (2)超过弹性限度 【分析】（1）根据题意得出代数式表示的实际意义是挂上质量为的物体后，弹簧的总长度； （2）将代入（1）中的代数式，求出代数式的值与进行比较即可． 【详解】（1）解：代数式表示的实际意义是挂上质量为的物体后，弹簧的总长度， 故答案为：挂上质量为的物体后，弹簧的总长度． （2）解：由题意得，弹簧在弹性限度内，所挂物体的最大质量为， 因为， 所以当时，超过弹性限度． 【点睛】此题主要考查了代数式的实际意义和代数式求值，理解题意是解题的关键． 易错三、单项式与多项式 错误：认为“多项式的次数与单项式的次数计算方法相同”． 注意：单项式的次数就是单项式中所有字母的指数和，而多项式的次数计算，先要将多项式中所有单项式的次数算出来，再取最高的一个作为整个多项式的次数． 例1（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知多项式是关于，的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】, 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念．几个单项式的和，叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 熟练掌握相关概念是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得,， ∴，． 例2（24-25七年级上·北京·期末）下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？并指出单项式的系数和次数． ，，，，，，． 【答案】见详解 【分析】本题考查整式定义与分类，熟记整式、单项式、多项式定义是解决问题的关键． 整式分为多项式与单项式，根据整式、单项式、多项式定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：整式：，，，，，； 单项式：（系数1，次数1），（系数，次数3），（系数，次数2）， 0（系数0，次数数为0）； 多项式：，． 易错四、正确理解一元一次方程的概念 错误：认为“”是一元一次方程。 注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式”，而整式包括单项式和多项式，这个方程中含有，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程; 例1（24-25七年级上·北京朝阳·期末）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据未知数指数为列出方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 例2（24-25七年级上·北京·期末）下列各式是一元一次方程的有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键． 根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：（1），是方程，含有一个未知数x，次数为1，且为整式方程，符合条件； （2），是等式，但无未知数，不是方程，不符合条件； （3），无等号，不是方程，不符合条件； （4），含两个未知数m和n，不符合条件； （5），未知数x的次数为2，不符合条件； （6），是不等式，不是方程，不符合条件； （7），分母含未知数x，不符合条件； （8），是方程，含有一个未知数x，次数为1，且分母为常数，属于整式方程，符合条件； ∴是一元一次方程的有2个 ． 故选：B ． 易错五、要熟练掌握一元一次方程的一般解法 错误：对一元一次方程的5步解法掌握不熟练导致各种错误． 注意：一元一次方程是所有方程的基础，解法必须要非常熟练，而不是会就可以，每个步骤中都有易错的地方． 例如： 第1步去分母中，学生最易犯的错误就是去分母时，不含分母的项忘记乘以各分母的最小公倍数。 第2步去括号中，学生最易犯的错误就是去括号时，括号前面是减号时，括号内的各项要改变符号。 第3步移项中，学生最易犯的错误就是移项忘记改变符号，记住：所有穿过等号的项都要改变符号。 第4步合并同类项中，学生最易犯的错误就是合并同类项的法则，系数相加减，其他都不变。 第5步系数化为1中，不能整除的，分子分母最容易写错位置。 例1（24-25七年级上·北京·期末）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 例2（24-25七年级上·北京门头沟·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 易错六、一元一次方程应用 错误：一元一次方程不会找等量关系． 规则：对一元一次方程的应用题中找等量关系，首先要分清题目类型，对各种类型的基本数量关系要非常熟练，只有熟练这些基本的数量关系，才能借助各种解题策略正确找到等量关系，解题的常用策略有：画示意图，画线段图，列表等。 例1（24-25七年级上·北京海淀·期末）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x (1)设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； (2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 【答案】(1)见解析 (2)分配给甲店A型产品38件 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）设分配给乙店A型产品x件，结合甲乙两店需要的数量，A型产品40件，B型产品60件，再分别列式填表即可． （2）由两店的利润之和等于总利润，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x （2）解：， 解得， ∴分配给甲店A型产品为（件）， 答：分配给甲店A型产品38件． 例2（24-25七年级上·北京西城·期末）某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 1．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（    ）千米． A．50 B．38 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值． 根据题意，总时间由水平道路和山坡的时间组成，去程和回程时间之和为8小时，列出方程求解，再求全程即可． 【详解】∵总时间去程水平时间去程上山时间回程下山时间回程水平时间， ∴， 化简得：， 即， ∴， ∴全程千米． 故选D． 2．我国古代的数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其大意为：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，五天共织布五尺，问每天各织多少布？根据此问题中的已知条件，设第一天织布尺，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 设第一天织布尺，根据题意“每天织布量为前一天的2倍”可得，第二天的织布为尺，第三天织布为尺，第四天织布为尺，第五天织布为尺，再根据“五天共织布五尺”列式即可． 【详解】解：设第一天织布尺， 根据题意可得：第二天的织布为尺，第三天织布为尺，第四天织布为尺，第五天织布为尺， 五天总织布量为：， ∴ 所列方程为． 故选：B． 3．若，则的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可得，则，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，包括等式的对称性和移项法则．需逐一判断各选项是否符合等式性质． 【详解】解：∵ 等式性质：若，则，或， 选项A：若，当时，b可为任意值，不一定成立，∴ A错误． 选项B：若，则，但时分母为零，无意义，∴ B错误． 选项C：若，则，选项错误，不符合题意； 选项D：若，移项得，即，∴ D正确， 故选：D 5．大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可以采摘11千克；猴王在场监督时，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克．某天，猴子们采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时有猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃．问，在这个猴群中，一共有小猴子多少只？（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先算出一只小猴子、大猴子一天可以采摘水蜜桃的数量，再设小猴子有只，则大猴子有只，根据题意进行列式计算，得出小猴子的数量，即可作答． 【详解】解：依题意，一只小猴子一天可以采摘水蜜桃： （千克）， 一只大猴子一天可以采摘水蜜桃： （千克）， 设小猴子有只，则大猴子有只， 依题意，， 整理得， 解得， 答：一共有小猴子20只， 故选：B． 6．某工厂去年上半年平均每月的用电量是（千瓦时），采取节能措施后，下半年与上半年相比，月平均用电量减少，该工厂去年全年的用电量是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，熟练掌握“总用电量 = 月平均用电量×月数”是解题的关键． 先分别求出上半年和下半年的用电量，再将两者相加得到全年用电量． 【详解】解：全年用电量： 故答案为： 7．用“→”和“←”表示一种新运算：，，例如．根据法则，若，则 x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，掌握新定义运算法则是解题的关键．根据新运算法则，先计算括号内的运算，再计算外部运算，得到左边表达式为 ，再解方程即可． 【详解】解： ； ； 则左边表达式为 ； 令，解得． 故答案为：． 8．若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．已知是齐次多项式，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是多项式的次数的含义，乘方运算的含义，根据齐次多项式的定义，多项式每一项的次数必须相等．通过分析各项次数，建立方程求解m和n的值，再计算． 【详解】解：多项式为． 第三项的次数为，第四项的次数为． 由于是齐次多项式，所有项的次数均为5． 因此，第一项的次数，解得． 第二项的次数，解得． 故． 故答案为：9． 9．（1）丁丁做了道计算题： ①；②；③；④请你帮他检查一下，他一共做对了 道题． （2）已知，，那么的值是 ． 【答案】 1 0或4或 【分析】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关的运算法则． （1）根据有理数的运算法则逐项判断即可； （2）求出，再分类讨论计算即可． 【详解】解：（1），故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； ∴正确的只有1道题； 故答案为：1； （2）∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值是0或4或； 故答案为：0或4或． 10．（1）解方程：             （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项，系数化为1”解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤“去分母，移项、合并同类项” 解答即可． 【详解】解：（1） 解得； （2） 解得． 11．下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)三；移项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三；移项没有变号； （3）解：：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 12．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是某一组13岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数． 学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 体重情况 0 (1)表中超出标准体重的学生为______； (2)表中是否有标准体重的同学，若有指出此学生及其标准体重______； (3)假如小帆同学是岁，那么他的标准体重应该是多少？______； (4)这组同学的平均体重是否超出标准体重？请你通过计算说明你的观点． 【答案】(1)乙、戊、己 (2)丁； (3) (4)这组同学的平均体重超出标准体重，见解析 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算的应用、列代数式，熟练掌握正负数的应用是解题关键． （1）找出表格中，体重情况大于0的即可得； （2）找出表格中，体重情况等于0的即为标准体重，再根据标准体重的计算公式即可得； （3）根据标准体重的计算公式即可得； （4）将表格中这组同学的体重情况相加，再加上他们的标准体重的总和，然后除以人数可得这组同学的平均体重，再与标准体重进行大小比较即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴表中超出标准体重的学生为乙、戊、己， 故答案为：乙、戊、己． （2）解：由题意可知，体重情况为0表示标准体重， 由表格可知，丁同学的体重标准， 其体重为 ， 故答案为：丁；． （3）解：假如小帆同学是岁， 那么他的标准体重应该是， 故答案为：． （4）解： ， 因为， 所以这组同学的平均体重超出标准体重． 13．新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 14．为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的信息： 信息1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元． 信息2 上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元． 信息3 九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满． 请根据以上表中的信息，解答下列问题； (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？ 【答案】(1)60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元 (2)（元） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设60座客车每辆每天的租金为元，则45座客车每辆每天的租金为元．再根据租了5辆60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出租用4辆60座的客车和4辆45座的客车的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设60座客车每辆每天的租金为元，则45座客车每辆每天的租金为元． 由题意得，， 解得． 答：60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元． （2）解：由题意得，可知九年级师生租车的费用为：（元）． 15．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， ，， 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程， 对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可； 对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案； 对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）设，则，根据题意，得 ， 解得， ∴； 故答案为：4； （2）∵点D表示的数是， ∴. ∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边， ∴，， ∴； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点D是线段的“分”点时， 或， 解得或； 当点P是线段的“分”点时， 或， 解得或. 所以，t的值为或或得或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元一次方程 知识点1：代数式的相关概念 1.代数式：用运算符号把 和 链接而成的式子叫做代数式。 单独一个 或一个 也是代数式； 代数式的书写要求 1.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用 代替除号“÷”； （3）数字 或 作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 代数式的值概念及求法 1.代数式的值：一般地，用 代替代数式中的 ，按照代数式中的 计算得出的结果，叫作代数式的值。 注意 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2.代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 知识点2：同类项的概念 1.同类项：所含 相同，并且相同字母的 也相同的 叫做同类项． 1． 注意 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：① ；② ； “两无关”是指：① ； ② ． · 所有的 都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 注意 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的 ，再把所得的积 。 注意 （1）括号前面是“+”，把 和它前面的“ ”去掉后，原括号里各项的符号都 ； （2）括号前面是“-”，把 和它前面的“ ”号去掉后，原括号里各项的符号都 ． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“ ”，括号内各项的符号都 ； （2）添括号后，括号前面是“ ”，括号内各项的符号都 ． 知识点3：单项式、多项式、整式 1.单项式的概念： 与 的 ，叫作单项式； 注意 （1）单项式包括三种类型： · ； · ； · ． （2）单项式中不能含有 运算，但可以含有 运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数． 注意 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中， 的指数 叫做这个单项式的次数． 注意 （1）没有写指数的字母，实际上指数是 ，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时， 上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个 的 叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 ． 注意 （1）多项式的每一项包括它前面的 ； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数 的次数，叫做这个多项式的次数． 注意 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中 的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 1.整式的概念： 与 统称为整式． 注意 （1）整式包括 、 两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有 的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点4：方程的概念 1．定义：含有 的 叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是 ；②是 ． 2．方程的解：使方程 相等的 值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点5：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1： . 数学语言表示：如果，那么. （2）基本性质2： . 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 注意 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点6：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有 未知数（元），且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 注意 一元一次方程中的“元”是指 ，“次”是指 的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个 ; ② 必须只含有一个 ; ③ 含有未知数的式子都是 ; ④ 未知数的次数都是 ． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母 的 (1)不要漏乘 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 注意 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点7：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为： ． 注意 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系： ， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系： ；“一般把 设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 易错一、代数式的书写 1.代数式的书写与普通数学式子的书写： 错误：认为“代数式的书写与普通数学式子的书写没什么两样”。 注意：因为代数式中多数都是字母参与，为了避免一些错误和误会，所以代数式的书写作出了很多规定： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 书写代数式的时候一定严格按照要求书写，防止出现错误。 例1（24-25七年级上·北京门头沟·期末）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 例2（24-25七年级上·北京·期末）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 易错二、代数式的实际意义 错误：认为“同一个代数式意义相同”。 注意：代数式的意义与该代数式所处的实际问题有关，同一个代数式在不同实际问题中意义是不同的，例如： 实际问题情境1：苹果和桃子的价格分别是,则表示购买2千克苹果和2千克桃子所需要付的钱数； 实际问题情境2：长方形的长和宽分别为,则表示该长方形的周长。 例1（24-25七年级上·北京东城·期末）对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示8天读书的总页数．请你对代数式“”再赋予一个实际意义： ． 例2（24-25七年级上·北京昌平·期末）一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm． (1)代数式表示的实际意义是______； (2)当时，是否超过弹性限度？ 易错三、单项式与多项式 错误：认为“多项式的次数与单项式的次数计算方法相同”． 注意：单项式的次数就是单项式中所有字母的指数和，而多项式的次数计算，先要将多项式中所有单项式的次数算出来，再取最高的一个作为整个多项式的次数． 例1（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知多项式是关于，的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值． 例2（24-25七年级上·北京·期末）下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？并指出单项式的系数和次数． ，，，，，，． 易错四、正确理解一元一次方程的概念 错误：认为“”是一元一次方程。 注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式”，而整式包括单项式和多项式，这个方程中含有，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程; 例1（24-25七年级上·北京朝阳·期末）若是关于的一元一次方程，则 ． 例2（24-25七年级上·北京·期末）下列各式是一元一次方程的有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错五、要熟练掌握一元一次方程的一般解法 错误：对一元一次方程的5步解法掌握不熟练导致各种错误． 注意：一元一次方程是所有方程的基础，解法必须要非常熟练，而不是会就可以，每个步骤中都有易错的地方． 例如： 第1步去分母中，学生最易犯的错误就是去分母时，不含分母的项忘记乘以各分母的最小公倍数。 第2步去括号中，学生最易犯的错误就是去括号时，括号前面是减号时，括号内的各项要改变符号。 第3步移项中，学生最易犯的错误就是移项忘记改变符号，记住：所有穿过等号的项都要改变符号。 第4步合并同类项中，学生最易犯的错误就是合并同类项的法则，系数相加减，其他都不变。 第5步系数化为1中，不能整除的，分子分母最容易写错位置。 例1（24-25七年级上·北京·期末）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2（24-25七年级上·北京门头沟·期末）解方程 (1) (2) 易错六、一元一次方程应用 错误：一元一次方程不会找等量关系． 规则：对一元一次方程的应用题中找等量关系，首先要分清题目类型，对各种类型的基本数量关系要非常熟练，只有熟练这些基本的数量关系，才能借助各种解题策略正确找到等量关系，解题的常用策略有：画示意图，画线段图，列表等。 例1（24-25七年级上·北京海淀·期末）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x (1)设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； (2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 例2（24-25七年级上·北京西城·期末）某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 1．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（    ）千米． A．50 B．38 C． D．32 2．我国古代的数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其大意为：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，五天共织布五尺，问每天各织多少布？根据此问题中的已知条件，设第一天织布尺，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 4．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可以采摘11千克；猴王在场监督时，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克．某天，猴子们采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时有猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃．问，在这个猴群中，一共有小猴子多少只？（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 6．某工厂去年上半年平均每月的用电量是（千瓦时），采取节能措施后，下半年与上半年相比，月平均用电量减少，该工厂去年全年的用电量是 ．（用含的代数式表示） 7．用“→”和“←”表示一种新运算：，，例如．根据法则，若，则 x的值为 ． 8．若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．已知是齐次多项式，则的值为 ． 9．（1）丁丁做了道计算题： ①；②；③；④请你帮他检查一下，他一共做对了 道题． （2）已知，，那么的值是 ． 10．（1）解方程：             （2）解方程： 11．下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 12．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是某一组13岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数． 学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 体重情况 0 (1)表中超出标准体重的学生为______； (2)表中是否有标准体重的同学，若有指出此学生及其标准体重______； (3)假如小帆同学是岁，那么他的标准体重应该是多少？______； (4)这组同学的平均体重是否超出标准体重？请你通过计算说明你的观点． 13．新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 14．为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的信息： 信息1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元． 信息2 上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元． 信息3 九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满． 请根据以上表中的信息，解答下列问题； (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？ 15．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $