专题04 一元一次方程（期末复习专项训练，18大题型）七年级数学上学期新教材北京版

专题04 一元一次方程 题型1 知方程的解求参数 题型10 方案选择 题型2 等式的基本性质（常考点） 题型11 数字问题 题型3 一元一次方程的定义（易错点） 题型12 几何动点问题 题型4 已知方程的解求字母的值 题型13 和差倍分问题 题型5 解一元一次方程 题型14 电费、水费问题 题型6 配套问题（难点） 题型15 行程问题 题型7 工程问题 题型16 日历问题 题型8 销售盈亏 题型17 古代问题 题型9 比赛积分 题型18 其他问题 题型一 知方程的解求参数（共3小题） 1．若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 2．已知是关于x的方程的解，则m值为 ． 3．如果是关于x的方程的解，那么a的值是 ． 题型二 等式的基本性质（共3小题） 4．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 5．下列等式变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三 一元一次方程的定义（共3小题） 7．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知，，若方程是关于的一元一次方程，请你从，，中选择一个合适的的值，并求出此时方程的解． 9．若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 题型四 已知方程的解求字母的值（共3小题） 10．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（   ） A．1 B．6 C． D．0 11．已知是关于x的方程的解，则a等于（    ） A． B． C．3 D．2 12．已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 题型五 解一元一次方程（共3小题） 13．解方程： (1) (2) 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．解方程： (1) (2) 题型六 配套问题（共3小题） 16．用的原材料可制作5个甲产品或13个乙产品，4个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售，现有原材料用以生产两种产品，应如何分配原材料，才能使产成的产品恰好配套成商品？根据题意设制作甲产品所用的原材料体积为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 17．某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 18．列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个． 已知2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 题型七 工程问题（共3小题） 19．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    20．用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每台型机器一天生产件产品． 答： 方法二 分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每箱装件产品． 答： 21．列方程组解应用题 某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先、后接力完成．已知A工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时20天．问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 题型八 销售盈亏（共3小题） 22．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 23．小明家经营一家文化创意产品商店，他在课余时间关注了文化创意背包和文化创意摆件两种商品的销售情况，如表： 统计日期 售出文化创意背包件数（件） 售出文化创意摆件件数（件） 总售价 12月30日 12月31日 1月1日 若小明家的文化创意产品商店售出文化创意背包和文化创意摆件共件，总售价为元，那么售出文化创意背包和文化创意摆件各多少件？ 24．为了加力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴金额不超过元．活动期间，小刘购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元，已知电视机的售价比冰箱售价的倍还多元．求电视机和冰箱的售价各是多少元? 题型九 比赛积分（共3小题） 25．某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 26．为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 ． 27．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 题型十 方案选择（共3小题） 28．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 29．列方程解应用题： 每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示： 数量 20本及以下 20本以上 价格 每本4元 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？ 30．某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品．在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用是1000元．求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和． 题型十一 数字问题（共3小题） 31．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为 的卡片上的数最大． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 71 48 54 66 59 32．如下，在的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为  （      ）   5 x 航 筑 1 天 梦 A．2 B．3 C． D． 33．我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图1所示，计算，首先把乘数35和41分别写在方格的上面和右面，然后以35的每位数字分别乘以41的每位数字，将结果计入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1435，即．如图2，计算，将乘数56写在方格上边，乘数49写在方格右边，然后用乘数56的每位数字乘以乘数49的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得2744．        (1)如图3，用“铺地锦”计算两个数相乘，则________，________； (2)如图4，用“铺地锦”计算两个数相乘，求的值． 题型十二 几何动点问题（共5小题） 34．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，．则，两点的之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项．为数轴上一动点． 【综合运用】 (1)填空：________，线段的中点表示的数________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于27，则________； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 36．给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”． 例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”． (1)点M表示2． ①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______； ②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数； (2)阅读下列操作： A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，… 点M表示，点N表示3，完成下面问题： ①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______； ②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值． 37．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”． 如图，在数轴上点表示的数分别为，，． (1)若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）； (2)若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值； (3)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数． 38．定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 题型十三 和差倍分问题（共3小题） 39．列一元一次方程解应用题：在一次劳动课上，有24名同学在甲处劳动，有18名同学在乙处劳动，现在从乙处调一部分人去支援甲处，使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3人，应从乙处调往甲处多少人？ 40．在一次劳动课上，有名同学在甲处劳动，有名同学在乙处劳动．现在另调人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，应调往甲处多少人？如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为 ． 41．一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽．休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍．问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？ 题型十四 电费、水费问题（共3小题） 42．居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准（按照年用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三个阶梯，户内人口不超过5人）． 收费方式 年用水量 费用/（元） 第一阶梯 含 5 第二阶梯 含 7 第三阶梯 260以上 9 已知小兴家1月份至11月份（含11月份）累计用水量为． (1)若12月份用水量为，则小兴家12月份应缴水费 元； (2)若小兴家这一年的水费为970元，求小兴家12月份的用水量是多少？ 43．列方程解决问题：为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将5人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，2024年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： (1)若小明家2024年用水量为200立方米，则该家庭全年缴费金额为_______元； (2)若小华家2024年全年缴费金额为1838元，小华家2024年用水量是多少立方米？ 44．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1～4月份用水量和缴费情况： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 8 10 12 15 费用/元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)填空：当用水量不超过10吨时，每吨收费______元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费______元； (2)若小明家5月份用水量为吨（其中），则应缴水费______元．（用含的代数式表示，并化成最简形式） (3)若小明家6月份缴纳水费29元，用列方程的方法求出小明家6月份用水多少吨？ 题型十五 行程问题（共3小题） 45．列方程解应用题： 2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校七年级学生小红同学在学期初需要4分钟能完成规定的目标，经过一个学期的乐跑活动之后，小红同学的跑步速度每分钟比学期初提升了50米，3分12秒就能完成规定目标，请你用学过的知识计算一下小红同学学期初的跑步速度是多少？ 46．圣莲山位于北京西南部，被称“京都第一奇山”．为领略集雄、险、奥、绝、秀于一体的自然风光，感受家乡风景，小良和几位朋友决定一起登山，根据前期调研，结合自身情况，他们总结出如下信息： ①下山时的平均速度比上山时的平均速度每小时快1千米； ②从入口到达山顶需要2小时； ③从山顶走近路到达出口，比上山时所走的路程少400米，需要1.2小时． 根据上面信息，请你求出小良他们上山和下山的平均速度分别是多少千米/时？ 47．如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少． 港珠澳大桥主体工程示意图 根据以上信息回答下列问题： (1)设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）： 香港口岸→东人工岛 东人工岛→西人工岛 （通过海底隧道） 港珠澳大桥主桥 速度 96 71 90 时间 x 路程 (2)在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间； (3)港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？ 题型十六 日历问题（共3小题） 48．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出个数．对于任何一个月的月历，这个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 49．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期之和不可能是（   ） A．24 B．45 C．60 D．81 50．小凯同学在某月的日历上按照四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为27，则这个图框是四个选项中的（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 题型十七 古代问题（共3小题） 51．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问：人数、鸡价各几何?”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱；买鸡的人数、鸡的价格各是多少?设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 52．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？”若设有只大船，可列方程为 ． 53．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型十八 其他问题（共3小题） 54．某次考试有30人参加，一共考了4道解答题，其中每题做对的人数统计如下表： 题号 一 二 三 四 做对的人数 22 16 10 5 已知没有人全对，只做错1题的有9人，4题全错的5人，那么做错3道题的有 人． 55．某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元．小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动．且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元．则单买一杯茉莉花茶的价格是 元． 56．列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 2 / 7zxxk.com 1 / 7zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程 题型1 知方程的解求参数 题型10 方案选择 题型2 等式的基本性质（常考点） 题型11 数字问题 题型3 一元一次方程的定义（易错点） 题型12 几何动点问题 题型4 已知方程的解求字母的值 题型13 和差倍分问题 题型5 解一元一次方程 题型14 电费、水费问题 题型6 配套问题（难点） 题型15 行程问题 题型7 工程问题 题型16 日历问题 题型8 销售盈亏 题型17 古代问题 题型9 比赛积分 题型18 其他问题 题型一 知方程的解求参数（共3小题） 1．若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 2．已知是关于x的方程的解，则m值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程解的定义．将代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 3．如果是关于x的方程的解，那么a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的求解是解题的关键．根据题意，把代入方程式，得到关于a的一元一次方程式求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：4． 题型二 等式的基本性质（共3小题） 4．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，由图（a）和图（b）可得，，进而根据，求出取值范围即可解题． 【详解】解：设种物体□，△，○的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：①，， 即， 代入①得，即， ∴， 即， 故选：B． 5．下列等式变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． 等式的性质：等式两边同时加减或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立；由此即可求解． 【详解】解：A、若，等式两边同时加上1，则，正确，不符合题意； B、若，等式两边同时除以，则，正确，不符合题意； C、若，等式两边同时加上4，则，正确，不符合题意； D、若，等式两边同时除以，则，原选项计算错误，符合题意； 故选：D ． 6．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、若，则，故此选项变形不正确，不符合题意； B、若，则，故此选项变形不正确，不符合题意； C、若，当时，和无意义，故此选项变形不正确，不符合题意； D、若，则，故此选项变形正确，符合题意； 故选：D． 题型三 一元一次方程的定义（共3小题） 7．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程，故①不符合题意； ②，符合一元一次方程的定义．故②符合题意； ③，符合一元一次方程的定义．故③符合题意； ④的未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故④不符合题意； ⑤，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥中含有2个未知数，不是一元一次方程，故⑥不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：B． 8．已知，，若方程是关于的一元一次方程，请你从，，中选择一个合适的的值，并求出此时方程的解． 【答案】当时， 当时， 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，一元一次方程的定义，解一元一次方程等知识点，根据一元一次方程的定义得出是解题的关键． 先利用整式的加减运算列出方程，然后根据一元一次方程的定义得出，进而分别令或，并求出此时方程的解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵是关于的一元一次方程， ∴， 当时，原方程为：，解得：， 当时，原方程为：，解得：． 9．若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，由此即可求解，理解一元一次方程的定义，确定未知数的系数，次数是解题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型四 已知方程的解求字母的值（共3小题） 10．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（   ） A．1 B．6 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 11．已知是关于x的方程的解，则a等于（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由题意，将代入方程，得到关于字母的一元一次方程，再解此方程即可解题． 【详解】解：将代入方程得： ， 故选：B． 12．已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【答案】(1) (2)当时，方程的解为（或当时，方程的解为） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入原方程得，求解即可； （2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】（1）解：当时， 原方程为：， 解得：， 所以该方程的解为； （2）解：方程， 解得：， 要使为正整数，且该方程的解也为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）． 题型五 解一元一次方程（共3小题） 13．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程． 【详解】（1）解： （2）解： 14．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，两边同乘6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 配套问题（共3小题） 16．用的原材料可制作5个甲产品或13个乙产品，4个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售，现有原材料用以生产两种产品，应如何分配原材料，才能使产成的产品恰好配套成商品？根据题意设制作甲产品所用的原材料体积为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据题意表示出甲产品与乙产品，再利用4个甲产品和7个乙产品组成一套商品得出等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 17．某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】应分配人生产桌面，人生产桌腿． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意得，， 解得， ， 答：应分配人生产桌面，人生产桌腿． 18．列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个． 已知2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【答案】40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件 【分析】设应分配x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件， 根据题意列方程，得 ． 解得： ∴ 答：应分配40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解． 题型七 工程问题（共3小题） 19．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据工作总量工作时间工作效率列出方程求解即可． 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作． 依题意列方程，得． 解得． 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 20．用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每台型机器一天生产件产品． 答： 方法二 分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每箱装件产品． 答： 【答案】每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【分析】选择方法一：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，根据每箱装产品的件数一样列出等式，即可求解；选择方法二：设每箱装件产品，根据两种机器每台一天生产产品的数量关系列出等式即可求解． 【详解】解：方法一：，； 设每台型机器一天生产件产品， 依题意列方程，得， 解得， 所以， 答：每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品；   方法二：，；    设每箱装件产品， 依题意列方程，得， 解得， 所以， 答：每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，列出一元一次方程是解题的关键． 21．列方程组解应用题 某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先、后接力完成．已知A工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时20天．问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 【答案】A工程队整修河道工作了5天，则B工程队整修河道工作了15天． 【分析】设A工程队整修河道工作了x天，则B工程队整修河道工作了（20-x）天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设A工程队整修河道工作了x天，则B工程队整修河道工作了（20-x）天，根据题意得： ， 解得：， ∴20-x=15， 答：A工程队整修河道工作了5天，则B工程队整修河道工作了15天． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型八 销售盈亏（共3小题） 22．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 【答案】小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设毛绒玩偶的单价为元，根据毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设毛绒玩偶的单价为元，则冰箱贴的单价为元，由题意： ， 解得， ∴， 故毛绒玩偶的单价为元，冰箱贴的单价为元， ； 故小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 23．小明家经营一家文化创意产品商店，他在课余时间关注了文化创意背包和文化创意摆件两种商品的销售情况，如表： 统计日期 售出文化创意背包件数（件） 售出文化创意摆件件数（件） 总售价 12月30日 12月31日 1月1日 若小明家的文化创意产品商店售出文化创意背包和文化创意摆件共件，总售价为元，那么售出文化创意背包和文化创意摆件各多少件？ 【答案】售出文化创意背包件，售出文化创意摆件件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．先根据表格得出文化创意摆件和文化创意背包的单价，再设售出文化创意背包件，则售出文化创意摆件件，根据总售价为元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知，售出件文化创意摆件的价格为元，售出件文化创意背包的价格为（元）， 设售出文化创意背包件，则售出文化创意摆件件， 由题意得：， 解得：， ， 答：售出文化创意背包件，售出文化创意摆件件． 24．为了加力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效（水效）家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴金额不超过元．活动期间，小刘购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元，已知电视机的售价比冰箱售价的倍还多元．求电视机和冰箱的售价各是多少元? 【答案】电视机的售价为元，冰箱的售价为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设冰箱的售价为元，则电视机的售价为元，根据购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元列方程求解即可。 【详解】解：设冰箱的售价为元，则电视机的售价为元， 根据题意，得， 解方程，得． 元． 答：电视机的售价为元，冰箱的售价为元． 题型九 比赛积分（共3小题） 25．某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 26．为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 ． 【答案】 2 8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．由C球队的积分可知负一场积1分，再由A球队的积分可知胜一场积2分；设某球队胜场，根据积分是18分，列出方程求出的值即可解答． 【详解】解：由C球队的积分可知，负一场积分， 再由A球队的积分可知，胜一场积分， 胜一场积2分； 设某球队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， 某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为8． 故答案为：2；8． 27．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 题型十 方案选择（共3小题） 28．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 29．列方程解应用题： 每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示： 数量 20本及以下 20本以上 价格 每本4元 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？ 【答案】王老师购买奖品数量为25本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据两次购买的费用与一次性购买的费用相等列方程求解即可． 【详解】解：设王老师购买奖品数量为x本． 解得． 答：王老师购买奖品数量为25本． 30．某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品．在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用是1000元．求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和． 【答案】(1)3600件 (2)168000元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设这批纪念品共有x件，根据两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成列方程，解方程求出x的值即可； （2）设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要y天完成，先求出两个工厂共同生产的天数，再计算总费用即可． 【详解】（1）设这批纪念品共有x件，依题意，得： ， 解这个方程，得， 答：这批纪念品共有3600件． （2）设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要y天完成依题意，得： ， 解这个方程，得， （元） 答：该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和是168000元． 题型十一 数字问题（共3小题） 31．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为 的卡片上的数最大． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 71 48 54 66 59 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，方程的应用根据题意，求出，结合，求出，结合，求出，依次求出其它卡片表示的数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， 故编号记为D的卡片上的数最大； 故答案为：D 32．如下，在的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为  （      ）   5 x 航 筑 1 天 梦 A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确得出关于x的等式是解题的关键．根据第一行的和与第3列的和相等列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故选D． 33．我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图1所示，计算，首先把乘数35和41分别写在方格的上面和右面，然后以35的每位数字分别乘以41的每位数字，将结果计入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1435，即．如图2，计算，将乘数56写在方格上边，乘数49写在方格右边，然后用乘数56的每位数字乘以乘数49的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得2744．        (1)如图3，用“铺地锦”计算两个数相乘，则________，________； (2)如图4，用“铺地锦”计算两个数相乘，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用； （1）由新定义得，求出，同理求出，即可求解； （2）由新定义得的个位数字是，即可求解； 理解新定义，能得出一元一次方程进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）解：由题意得   的个位数字是， 只有符合题意， ． 题型十二 几何动点问题（共5小题） 34．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【答案】(1)①0；；② (2)或0 (3)，2 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； （3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，．则，两点的之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项．为数轴上一动点． 【综合运用】 (1)填空：________，线段的中点表示的数________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于27，则________； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)运动秒后，点可以追上点 (4)不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，中点公式，数轴上的动点问题，单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，一元一次方程的应用等； （1）由单项式的系数，多项式的次数、系数的定义得，，，由数轴上两点之间的距离及中点公式，即可求解； （2）分类讨论：①当在、之间时，即，由数轴上点的平移得点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，，，即可求解； ②当在、之间时，即，同理可求；③当在的右边时，即：，同理可求； （3）设运动秒后，点可以追上点，等量关系式：点走的路程点走的路程，据此列方程，即可求解； （4）设的运动后表示的数为，由数轴上中点公式得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由数轴上两点之间的距离即可求解； 理解数轴上两点之间的距离，中点公式，掌握单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，能熟练数轴上两点之间的距离，中点公式进行求解，并根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项， ，，， ， 线段的中点表示的数为： ， 故答案为：，； （2）解：①当在、之间时，即，如图， 点表示的数为， ， ， ， ， ， 解得：不符合题意，舍去； ②当在、之间时，即，如图， 点表示的数为， ， ， ， ， ， 解得：不符合题意，舍去； ③当在的右边时，即：，如图， 点表示的数为， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：； 故答案为：； （3）解：设运动秒后，点可以追上点，由题意得 ， 解得：， 答：运动秒后，点可以追上点； （4）解：不发生变化； 设的运动后表示的数为， 为中点，为中点，为中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ． 36．给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”． 例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”． (1)点M表示2． ①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______； ②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数； (2)阅读下列操作： A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，… 点M表示，点N表示3，完成下面问题： ①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______； ②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值． 【答案】(1)①；②11或 (2)①1或2；② 【分析】本题考查了新定义运算、数轴上的动点问题、数字变化的规律、一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据新定义直接计算即可得出结论；②设点N表示的数为，由点P表示，且是M，N的“15关联点”，得到等量关系列出方程，解出的值即可解答； （2）①根据数轴上点的变化规律，可得点表示的数为，点表示的数为，由点M表示，点N表示3，可知点M，N的“5关联点”都在线段上，再分，和讨论，即可解答；②先求出M，N的“20关联点”和“80关联点”表示的数，再分，和讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①当点P表示0时，， 当点P表示时，， P是M，N的“10关联点”， 在0，两个数中，P可以表示的数是． 故答案为：． ②设点N表示的数为， 点P表示，点M表示2， ，， 点P是M，N的“15关联点”， ， ， 解得：或， 点N表示的数为11或． （2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，…；点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，… 点表示的数为，点表示的数为， 点M表示，点N表示3， ， 点M，N的“5关联点”都在线段上， 又线段上存在点M，N的“5关联点”， 线段与线段有公共部分， 当时，线段与线段有公共部分，符合题意； 当时，线段与线段有公共部分，符合题意； 当时，，，此时线段与线段没有公共部分，不符合题意； 线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为1或2． 故答案为：1或2． ②设点P表示的数为，且是M，N的“20关联点”， 由题意得，， 解得：或， 数或数表示的点是M，N的“20关联点”， 同理可得，数或数表示的点是M，N的“80关联点”， 由①得，线段上的点都在原点或原点右边， 又线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”， 线段上同时存在数和数表示的点， 当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意； 当时，，线段上同时存在数和数表示的点，符合题意； 当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意； 综上所述，当时，即时，线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”． 满足条件的n的值为． 37．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：点E是线段的中点，点F是线段上一点，设点E与点F之间的距离为a，若a的最小值不超过1，则称线段是线段的“近中线段”． 如图，在数轴上点表示的数分别为，，． (1)若点B表示的数为9，线段_______线段的“近中线段”（填“是”或“不是”）； (2)若点B表示的数为，线段是线段的“近中线段”，求满足条件的的最小值和最大值； (3)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒．当时，若线段的“近中线段”的长度恰好与的值相等，直接写出线段的中点Q所表示的数． 【答案】(1)是 (2)的最小值是，最大值是 (3) 【分析】（1）根据题意可得点E表示的数为，根据“近中线段”定义可得，即可判断． （2）根据题意可得点E表示的数为，最小值为，最大值为，故，求解即可． （3）根据题意可得点P表示的数为，在点P在原点左侧，结合点表示的数分别为，，可得线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为，从而得出点在点右侧，设点表示的数为，则，根据，可得， 线段的中点表示的数为，根据的长度恰好与的值相等，可列，即，代入中，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数分别为，9，点E是线段的中点， ∴点E表示的数为， 又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a， ∴，，即， ∴线段是线段的“近中线段”， 故答案为：是． （2）解：∵线段是线段 的“近中线段”， ∴a的最小值不超过1， 又∵点表示的数分别为，，点F是线段上一点，点E与点F之间的距离为a， ∴结合数轴可得点E表示的数最小值为，最大值为， ∵点表示的数分别为，，点E是线段的中点， ∴点E表示的数为， ∴， ∴， ∴的最小值是，最大值是． （3）解：∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动秒， ∴点P表示的数为， ∵， ∴点P在原点左侧 又∵点表示的数分别为，， ∴，，线段的中点Q所表示的数最小值为，最大值为， ∴，点在点右侧 ∵， ∴， 设点表示的数为，则， ∵， ∴，即， ∴线段的中点表示的数为， ∵的长度恰好与的值相等， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的中点Q所表示的数为． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，线段中点的定义，解一元一次方程，去绝对值知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 38．定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①，；②的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题及解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解关联点对的定义． （1）先求出的长，根据“关联点对”的定义求出的长，即可得出点表示的数； （2）①根据“关联点对”的定义可得，得出当最大时，有最小值，当最小时，有最大值，即可得答案； ②分别用表示出、，根据“关联点对”的定义得出，分点在点左侧，点在点右侧、点在点右侧，点在点左侧、点在点和点之间三种情况求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴表示的数为或． 故答案为：或 （2）解：①∵点表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，有最小值，当最小时，有最大值， ∵是线段上的一个动点， ∴当点与点重合，即时，最大，有最小值， 当点与点重合，即时，最小，有最大值． 故答案为：， ②∵点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为，点运动到点的时间为， ∵是点的关联点对， ∴， ∴当点在点左侧，点在点右侧时， 解得：（舍去）， 当点在点右侧，点在点左侧时，， 解得：， 当点在点和点之间时，， 解得：． 综上所述：的值为或． 题型十三 和差倍分问题（共3小题） 39．列一元一次方程解应用题：在一次劳动课上，有24名同学在甲处劳动，有18名同学在乙处劳动，现在从乙处调一部分人去支援甲处，使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3人，应从乙处调往甲处多少人？ 【答案】应从乙处调往甲处5人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．利用一元一次方程解应用题的关键是找相等关系，列出方程．设应从乙处调往甲处x人，根据甲处原有人数调来的人数(乙处原有人数调来的人数)，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设应从乙处调往甲处x人，根据题意得： ， 解得：， 答：应从乙处调往甲处5人． 40．在一次劳动课上，有名同学在甲处劳动，有名同学在乙处劳动．现在另调人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，应调往甲处多少人？如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 设调往甲处人，根据另调人也去这两处劳动，得出调往乙处的人数是人，由甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，可得出方程即可解答． 【详解】解：设调往甲处人，那么调往乙处的人数是人， 由题意得：， 故答案为：． 41．一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽．休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍．问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？ 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设男生有x人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多可知女生有人，再由每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍可知男生有人，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设男生有x人，则女生有人． 根据题意得， 解得， ∴． ∴共有学生人． 答：这群学生共有7人． 题型十四 电费、水费问题（共3小题） 42．居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准（按照年用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三个阶梯，户内人口不超过5人）． 收费方式 年用水量 费用/（元） 第一阶梯 含 5 第二阶梯 含 7 第三阶梯 260以上 9 已知小兴家1月份至11月份（含11月份）累计用水量为． (1)若12月份用水量为，则小兴家12月份应缴水费 元； (2)若小兴家这一年的水费为970元，求小兴家12月份的用水量是多少？ 【答案】(1)85 (2)小兴家12月份的用水量是 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算即可； （2）设小兴家12月份的用水量是，根据小兴家这一年的水费为970元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： （元）； （2）解：设小兴家12月份的用水量是， ∵（元） （元）， 又∵， ∴， 则：， 解得：， 答：小兴家12月份的用水量是． 43．列方程解决问题：为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将5人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，2024年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： (1)若小明家2024年用水量为200立方米，则该家庭全年缴费金额为_______元； (2)若小华家2024年全年缴费金额为1838元，小华家2024年用水量是多少立方米？ 【答案】(1)1040 (2)小华家年用水量为302立方米． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算； （2）根据“小华家年水费为元”列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：1040； （2）解：设小华家年用水量为x立方米， ∵， ∴， 则：， 解得：， 答：小华家年用水量为302立方米． 44．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1～4月份用水量和缴费情况： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 8 10 12 15 费用/元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)填空：当用水量不超过10吨时，每吨收费______元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费______元； (2)若小明家5月份用水量为吨（其中），则应缴水费______元．（用含的代数式表示，并化成最简形式） (3)若小明家6月份缴纳水费29元，用列方程的方法求出小明家6月份用水多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)小明家6月份用水吨 【分析】（1）根据1月份的条件，当用水量不超过10吨时，每吨的收费2元．根据3月份的条件，用水12吨，其中10吨应交20元，则超过的2吨收费6元，则超出10吨的部分每吨收费3元； （2）大于10吨，10吨水的费用20，超出10吨的部分按每吨3元计算，即可得出答案； （3）由题意可得出，10吨的费用20元+超过部分的费用=29元，据此列方程计算即可． 【详解】（1）由图得，元，元， ∴当用水量不超过10吨时，每吨收费2元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费3元； 故答案为：； （2）由题意得，元， 故答案为：； （3）设小明家6月份用水吨， ， ， 由题意得， 解得， 所以，小明家6月份用水吨． 【点睛】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据图表找出收费方式． 题型十五 行程问题（共3小题） 45．列方程解应用题： 2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校七年级学生小红同学在学期初需要4分钟能完成规定的目标，经过一个学期的乐跑活动之后，小红同学的跑步速度每分钟比学期初提升了50米，3分12秒就能完成规定目标，请你用学过的知识计算一下小红同学学期初的跑步速度是多少？ 【答案】米／分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：分钟期初的速度分钟（期初的速度），据此列方程，解方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设小红同学学期初的跑步速度是米／分钟，由题意得 3分12秒为：分钟， 解得：， 答：小红同学学期初的跑步速度是米／分钟． 46．圣莲山位于北京西南部，被称“京都第一奇山”．为领略集雄、险、奥、绝、秀于一体的自然风光，感受家乡风景，小良和几位朋友决定一起登山，根据前期调研，结合自身情况，他们总结出如下信息： ①下山时的平均速度比上山时的平均速度每小时快1千米； ②从入口到达山顶需要2小时； ③从山顶走近路到达出口，比上山时所走的路程少400米，需要1.2小时． 根据上面信息，请你求出小良他们上山和下山的平均速度分别是多少千米/时？ 【答案】小良他们上山的平均速度是2千米/时，则下山的平均速度是3千米/时 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设小良他们上山的平均速度是x千米/时，则下山的平均速度是千米/时，根据“从山顶走近路到达出口，比上山时所走的路程少400米”列出方程，求解即可． 【详解】解：设小良他们上山的平均速度是x千米/时，则下山的平均速度是千米/时．根据题意，得 解得：， ∴， 答：小良他们上山的平均速度是2千米/时，则下山的平均速度是3千米/时． 47．如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少． 港珠澳大桥主体工程示意图 根据以上信息回答下列问题： (1)设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）： 香港口岸→东人工岛 东人工岛→西人工岛 （通过海底隧道） 港珠澳大桥主桥 速度 96 71 90 时间 x 路程 (2)在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间； (3)港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？ 【答案】(1)， (2) (3)节省了 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式． （1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出小张驾车通过港珠澳大桥主桥的时间及路程； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （3）根据各数量之间的关系，列式计算． 【详解】（1）∵小张驾车通过海底隧道的时间是xh，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少0.15h， ∴小张驾车通过主桥的时间是， ∵在港珠澳大桥主桥上行驶的平均速度为， ∴港珠澳大桥主桥的长度为． 故答案为：，； （2）根据题意得： 解得：． 答：小张驾车通过海底隧道的时间是0.1h； （3）根据题意得： ． 答：节省了31.5min． 题型十六 日历问题（共3小题） 48．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出个数．对于任何一个月的月历，这个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 设框出的个数中中间一个数为，则同一行与同一列的其它两个数均可表示出来，则可求得其和，根据其和的特征及“十”字型框的特点即可求解． 【详解】解：设框出的个数中中间一个数为，则同一行的另外两个数从左到右分别为、，同一列的两个数从上到下分别为、， 这个数的和为：， 因此这个数的和是的倍数， 由于一个月最多天，则，即， 则， 即框里的个数的和最大为， 显然当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，则这个数分别为、、、、， 显然一个月没有天，这个数的和为，这是不可能的，选项符合题意． 故选：． 49．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期之和不可能是（   ） A．24 B．45 C．60 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最上面那行的数字为x，则剩下两个数字分别为，则这三个日期之和为，再令分别等于四个选项中的数，解方程求出x的值，看x的值是否符合日历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最上面那行的数字为x，则剩下两个数字分别为， ∴这三个日期之和为， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴由日历的特点可知或或时都符合题意，当时，，不符合日历的特点，不符合题意， 故选：D． 50．小凯同学在某月的日历上按照四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为27，则这个图框是四个选项中的（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程：日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数，，的位置关系进行列式计算，注意，，都是正整数，即可作答． 【详解】解：A、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； B、设，则， 故， 解得， 即， 故该选项符合题意； C、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； D、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； 故选：B． 题型十七 古代问题（共3小题） 51．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问：人数、鸡价各几何?”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱；买鸡的人数、鸡的价格各是多少?设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元一次方程，找出等量关系是解答本题 的关键． 根据“若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱”列方程即可． 【详解】解：设有x人买鸡，根据题意，可列方程为 故选：B． 52．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？”若设有只大船，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握总人数与每条船坐的人数和船条数的关系，列一元一次方程，是解本题的关键．设有x只大船，则小船只，根据“共8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满”列方程即可． 【详解】解：设有x只大船，则小船只， 依题意得， 故答案为：． 53．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：， ∴列出方程为：，故A正确． 故选：A． 题型十八 其他问题（共3小题） 54．某次考试有30人参加，一共考了4道解答题，其中每题做对的人数统计如下表： 题号 一 二 三 四 做对的人数 22 16 10 5 已知没有人全对，只做错1题的有9人，4题全错的5人，那么做错3道题的有 人． 【答案】6 【分析】设做错3道题的有x人，则做错2道题的有人，根据题意，得解答错题数为（道），错题数表示为，建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设做错3道题的有x人，则做错2道题的有人，根据题意，得解答错题数为（道）， 即， 解得， 故答案为：6． 55．某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元．小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动．且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元．则单买一杯茉莉花茶的价格是 元． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设单买一杯茉莉花茶的价格是元，单买一杯冰鲜柠檬水的价格是元，则一份套餐的价格是元，根据“购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设单买一杯茉莉花茶的价格是元，单买一杯冰鲜柠檬水的价格是元，则一份套餐的价格是元， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴单买一杯茉莉花茶的价格是7元． 故答案为：7． 56．列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 【答案】大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，找准数量关系，列方程是解题的关键；设编织大号中国结个，则小号中国结编织个，根据题意列方程即可； 【详解】解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， 解得 ， ， 答：大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $