专题01 二次根式80道计算题强化练习（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题01 二次根式80道计算题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的混合运算 1 题型二、二次根式的化简 2 题型三、复合二次根式的化简 3 题型四、分母有理化 5 题型五、已知字母的值化简求值 6 题型六、已知条件式化简求值 8 题型七、比较二次根式的大小 8 题型八、二次根式的新定义运算 8 题型一、二次根式的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1)． (2) 4．计算： (1)． (2) 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 9．计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 题型二、二次根式的化简 11．化简，其中． 12．若a、b满足，求的值． 13．求下列二次根式的值： (1)，其中． (2)，其中． 14．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_____的解法是错误的； (2)仿照他们的解答过程，当时，求的值． 15．已知实数，，在数轴上的位置如图所示， (1) 0， 0， 0；（在横线上填“”或“”） (2)化简． 16．把下列各式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 17．我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 18．已知，化简：． 19．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 20．已知为的三边长，化简． 题型三、复合二次根式的化简 21．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 22．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 23．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 24．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 25．化简： ． 26．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 27．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 28．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 29．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 30．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 题型四、分母有理化 31．计算的值． 32．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 33．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ① ② ③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知， (1)求，的值； (2)求的值． 34．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题： 已知． (1)化简； (2)求代数式的值． 35．观察下列过程： (1)运用上述的方法可知： ； (2)计算： (3)当时，按照上述方法求出的值． 36．阅读下面问题：；；．试求： (1)的值； (2)的值； (3)（n为正整数）的值． 37．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：______；______ (2)根据以上规律计算下列式子的值： ． 38．阅读下面计算过程： 试求： (1)________； (2)（为正整数）________ (3)求的值． 39．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)_____． (2)（n为正整数）____． (3)化简下列式子的值：． 40．在高中阶段，要求二次根式的最终结果中不含有根号，也就是说当分母中有无理数时要将其化为无理数，实现分母有理化． 试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 题型五、已知字母的值化简求值 41．先化简再求值：，其中． 42．已知，，求的值． 43．若，，求代数式的值． 44．已知，求的值． 45．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_____的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 46．已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 47．先化简，再求值：，其中． 48．先化简，再求值：，其中． 49．先化简，再求值：，其中 50．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型六、已知条件式化简求值 51．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 52．已知，求的值． 53．已知，，求代数式的值． 54．已知，，求： (1)的值． (2)的值． 55．已知，，求代数式的值． 56．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 57．已知，，求的值． 58．已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 59．已知，求代数式的值． 60．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 题型七、比较二次根式的大小 61．阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 62．阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 63．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 64．比较和的大小； 65．比较与的大小． 66．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 67．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 68．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 69．老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 70．阅读下列简化过程： ； ；…… 解答下列问题： (1)化简的值为：______； (2)计算； (3)设，，，比较，，的大小关系． 题型八、二次根式的新定义运算 71．定义：我们用表示不大于的最大整数，的值称为实数的小数部分．如的小数部分为． (1)______，的小数部分______． (2)若的小数部分为，化简：． 72．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 73．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 74．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 75．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 76．定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 77．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么． (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)如果其中c是整数，且，那么______，______； (3)已知，其中m是整数，且，求的值； (4)在上述条件下，求的立方根． 78．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 79．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：化简 ________，  可以这样解答： ； 又例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 已知，所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)化简：______； (2)已知：，求的值． 80．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题．观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ； (2)小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得 ，，， 直接写出以下算式的结果： ； (3)数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式80道计算题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的混合运算 1 题型二、二次根式的化简 2 题型三、复合二次根式的化简 3 题型四、分母有理化 5 题型五、已知字母的值化简求值 6 题型六、已知条件式化简求值 8 题型七、比较二次根式的大小 8 题型八、二次根式的新定义运算 8 题型一、二次根式的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算、绝对值的性质以及去括号合并同类项的法则，熟练运用相关运算规则是解答本题的关键． （1）依次进行算术平方根、立方根、绝对值的运算，再进行实数的加减运算； （2）先去括号，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减，二次根式的乘除，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先化简二次根式，然后按照乘法和加减运算法则进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题了二次根式的加减乘除混合运算，掌握运算法则，正确化简是解题的关键． （1）先化简二次根式和平方根，再进行合并同类二次根式即可； （2）先运用平方差公式，完全平方公式化简二次根式，最后再进行加减计算． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 . 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简、绝对值的性质、分母有理化以及完全平方公式的运用． 分别对各项进行化简，包括二次根式的化简、绝对值的性质、分母有理化和完全平方公式的展开，然后再进行合并计算． 【详解】解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据乘方、绝对值和零指数幂的运算法则进行计算； （2）先对二次根式进行化简，再合并同类项即可； （3）根据二次根式的运算法则进行计算； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式和实数的混合运算． （1）先进行开方运算得到原式，然后去括号后进行加法运算； （2）先进行开方运算得到原式，然后进行加减运算； （3）先把每个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先把每个二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)4 (3) (4)2 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式        ． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可； （3）先化简二次根式和计算立方根，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （4）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二、二次根式的化简 11．化简，其中． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据，则，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴． 12．若a、b满足，求的值． 【答案】18或0 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，先根据，得出且，解得或，再分别算出对应的的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， 得或， 当时，代入，得，解得； 此时； 当时，代入，得，解得 此时； 综上：的值为18或0． 13．求下列二次根式的值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键． （1）先将所求式子变形，再将a的值代入计算即可； （2）将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：当，； （2）解：当时，． 14．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_____的解法是错误的； (2)仿照他们的解答过程，当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)1 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减． （1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可； （2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴小亮的解答是错误的． 故答案为：小亮； （2）解：， ． 15．已知实数，，在数轴上的位置如图所示， (1) 0， 0， 0；（在横线上填“”或“”） (2)化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据数轴得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴ ． 16．把下列各式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （1）分子和分母同时乘以，根据二次根式的性质、最简二次根式的概念解答； （2）分子和分母同时乘以，根据二次根式的性质、最简二次根式的概念解答； （3）分子和分母同时乘以，根据二次根式的性质、最简二次根式的概念解答． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． 17．我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，整式的加减法，根据题意得出相应式子的符号是解题关键． 先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ，，， ∴ ． 18．已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简，先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】 故答案为：． 19．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】（1）解：小亮的解法中：， 当时，， ∴小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. （2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：. （3）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 20．已知为的三边长，化简． 【答案】0 【分析】本题主要考查二次根式的性质和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质． 先根据二次根式的性质将二次根式进行化简，然后根据三角形三边关系判断绝对值里代数式的正负性，最后根据绝对值的性质化简． 【详解】解：为的三边长， ， . 题型三、复合二次根式的化简 21．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 22．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 23．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 24．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 25．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 26．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 27．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 28．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 29．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 30．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 题型四、分母有理化 31．计算的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，把分子分母都乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 32．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可； （3）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 33．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ① ② ③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知， (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是二次根式的分母有理化、代数式的化简求值以及完全平方公式的应用，解题关键是先对、进行分母有理化，再利用代数式变形计算求解． （1）先对、分别进行分母有理化，再分别计算和的值； （2）将变形为，代入（1）中所求值计算． 【详解】（1）解： （2）解： 34．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题： 已知． (1)化简； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)18 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，代数式的求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法进行化简即可； （2）根据化简后的a、b的值得出，，，然后把变形为，在代入计算即可． 【详解】（1）解∶， ， （2）解∶ ∵，， ∴，， ∴ ． 35．观察下列过程： (1)运用上述的方法可知： ； (2)计算： (3)当时，按照上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程进行解答即可； （2）模仿题干的解题过程，逐个化简得，，，故（n为正整数），再代入原式，进行化简，即可作答． （3）先根据，整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 则（n为正整数） ． （3）解：∵ ∴ ． 36．阅读下面问题：；；．试求： (1)的值； (2)的值； (3)（n为正整数）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）分子分母同时乘以，即可求解； （2）分子分母同时乘以，即可求解 （3）分子分母同时乘以，即可求解 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 37．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：______；______ (2)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵ ∴ ． 38．阅读下面计算过程： 试求： (1)________； (2)（为正整数）________ (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． （1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 39．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)_____． (2)（n为正整数）____． (3)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解： 40．在高中阶段，要求二次根式的最终结果中不含有根号，也就是说当分母中有无理数时要将其化为无理数，实现分母有理化． 试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化： （1）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以即可得到结论； （2）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以，即可得到结论； （3）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以，即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）解∶ ； （3）解： ． 题型五、已知字母的值化简求值 41．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解和约分得到最简形式，最后代入给定的x值计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 当时，． 42．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算．先求出再代值即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 43．若，，求代数式的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先求得和的值，再化简得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 44．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算出的值，再代入代数式，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 45．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_____的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：∵，， ∴， 则 ． 46．已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2） ． 47．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算分式的乘法，再算减法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 48．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化．，先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 49．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， 当时， 原式． 50．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．将，代入各式进行化简求值即可求出答案． 【详解】（1）解（1） ． （2）解：（2） ． 题型六、已知条件式化简求值 51．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 52．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【详解】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 53．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键． 先计算出，，再将所求代数式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 54．已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 55．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 56．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 57．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为负数， ∴ ． 58．已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 59．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，求出的值，进而得出的值，再根据二次根式的性质计算即可．掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【详解】解：， ，， 解得：且， ， ， 60．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可； （2）先求解 再利用完全平方公式进行变形求值即可. 【详解】（1）解： ，， （2） ，， 【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键. 题型七、比较二次根式的大小 61．阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)22 (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式， 对于（1），根据分母有理化的定义解答； 对于（2），先根据平方差公式将分母有理化，再合并同类二次根式； 对于（3），先求出两个数的倒数，再比较可得答案. 【详解】（1）解：原式. 故答案为：； （2）解：原式 ； 故答案为：22； （3）解：,理由如下：； . ∵， ∴， ∴. 62．阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）分子分母同时乘以即可求出答案． （3）将两个数化为的形式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为： ； （2）解：由题意，得 ； 故答案为： （3）解：根据题意，得： ， ， ， ． 63．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 64．比较和的大小； 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．将变形为，变形为，利用即可判断； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 65．比较与的大小． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式比较大小，利用二次根式的性质把二次根号外的数放到二次根号内，比较被开方数即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 66．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 67．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 68．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 69．老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 70．阅读下列简化过程： ； ；…… 解答下列问题： (1)化简的值为：______； (2)计算； (3)设，，，比较，，的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键． （1）根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差； （2）利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解； （3）将a、b、c分别化简，比较结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； （2）解： ． （3）解：，，， ， ， 又， ， ． 题型八、二次根式的新定义运算 71．定义：我们用表示不大于的最大整数，的值称为实数的小数部分．如的小数部分为． (1)______，的小数部分______． (2)若的小数部分为，化简：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分的含义，二次根式的混合运算； （1）由表示不大于的最大整数，可得，结合的值称为实数的小数部分，可得的小数部分； （2）由题意得，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵用表示不大于的最大整数， ∴，的小数部分； （2）解：∵由题意得． ∴， ∴． 72．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 73．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 74．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 75．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 76．定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 77．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么． (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)如果其中c是整数，且，那么______，______； (3)已知，其中m是整数，且，求的值； (4)在上述条件下，求的立方根． 【答案】(1)； (2)； (3) (4)3 【分析】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定，的值； （2）估算出，可得，即可确定，的值； （3）根据题意确定出，的值，代入求值即可； （4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可． 【详解】（1）解：，其中a是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （2）解：，其中是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （3）解：， ∴， ，其中是整数，且， ，， ； （4）解： ， 的立方根为：． 78．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤． （1）根据新定义规定的运算法则列出算式，再进一步计算即可； （2）列出关于的不等式，再依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：⊕ ； （2）⊕， ， ， 则， 表示在数轴上如下： 79．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：化简 ________，  可以这样解答： ； 又例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 已知，所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)化简：______； (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算， 对于（1），分子和分母都乘以，根据平方差公式计算即可； 对于（2），根据平方差公式求出，再根据，可得答案． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：因为 = 已知， 所以 ． 80．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题．观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ； (2)小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得 ，，， 直接写出以下算式的结果： ； (3)数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，掌握分母有理化，二次根式的化简是解本题的关键. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $