第十五章 二次根式（复习讲义）数学冀教版2024八年级上册

第十五章 二次根式（复习讲义） 1.理解二次根式的定义，并掌握算术平方根的基本性质。 2.培养学生熟练进行二次根式的化简（如提取公因式、有理化分母）、加减乘除运算，并能在计算中应用规则。 3.引导学生将二次根式应用于解决实际问题，例如在几何、物理场景中的测量和建模。 4.通过练习，提升学生的代数推理能力、数感和逻辑思维能力。5.学生应能通过测试或作业，准确完成化简、计算和解决简单应用题的练习，达到教材设定的学业标准。 知识点 重点归纳 常见易错点 二次根式的概念 二次根式指形如 （其中 ）的代数式。例如，，（要求 ）。 被开方数必须非负（否则在实数范围内无意义），当被开方数为负数时无意义。 二次根式的性质和基本公式 基本性质：（a≥0），；乘法公式：（a≥0，b≥0）；除法公式：（a≥0，b>0）；加减法则：只有同类二次根式才能合并。 当a≥0时等于a；当a<0时等于-a；被开方数相同才能合并，例如 ，但 不能化简）。 二次根式化简的方法 因式分解法：将被开方数分解为平方数和其它因子的乘积，例如 ；分母有理化：分母中的二次根式进行有理化，如 。常用方法：分子分母同乘分母的共轭（如分母为 ，则同乘 ；分母为 ，则同乘 ）；最简形式：化简后应满足：被开方数不含平方因子，分母不含根号。 在化简时常常没有到最简；分母有理化时常常用错公式，将平方差公式误用为完全平方公式；忘记二次根式化到最简的形式，分母不含根号、根号不含分母、被开方数不含开得尽方的因数。 二次根式的运算 加减：先化为同类根式再合并。 乘除：利用公式 或直接计算数值。 混合运算：遵循先乘除、后加减的原则，注意符号和定义域。 混淆运算规则，误认为 （如 ，实际 ，而 ）。 类似错误：（正确应为 ）；在计算时应记牢公式，加减时需先同类化；平方展开时使用分配律。 二次根式的实际应用 几何问题：长方形中的长度计算或面积计算；在方程或不等式求解中的应用。 计算结果常出现两种情况，忘记实际取值情况，出现负数或其它限制条件未进行取舍。 复合二次根式的运算 利用配方、设方程进行求解计算。 复合根式容易将方法混淆：如 ，学生误直接拆分。 分母有理化 将分母中化为不含有二次根式的式子 分母有理化时，忘记乘分子分母（如 未化为 ，而是直接保留）。 题型一 二次根式的识别 【例1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列给出的式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 求二次根式的值 【例2】二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【变式2-2】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 二次根式有意义的条件 【例3】若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】二次根式中，字母的取值范围是（    ） A．全体实数 B． C． D．以上答案都不对 【变式3-2】若二次根式在实数范围内没有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四 利用二次根式的性质化简 【例4】计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 最简二次根式的判断 【例5】下列选项中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】下列根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 题型六 化为最简二次根式 【例6】化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【变式6-1】下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 题型七 利用最简二次根式概念求参数 【例7】若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式7-1】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【变式7-2】若和都是最简二次根式，则 ， ． 题型八 符合二次根式的化简 【例8】 ． 【变式8-1】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【变式8-2】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 题型九 二次根式的乘法 【例9】计算：（   ） A． B．3 C．6 D．9 【变式9-1】从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是(   ) A． B． C． D．没有 【变式9-2】计算的结果为 ． 题型十 二次根式的除法 【例10】计算的结果是（   ） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【变式10-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】化简： ． 题型十一 分母有理化 【例11】化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式11-1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】化简（且），得 ． 题型十二 同类二次根式 【例12】下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式12-2】若最简根式与是同类根式，则 ． 题型十三 二次根式的加减 【例13】计算的结果是（　　） A．25 B． C． D．5 【变式13-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】计算： ． 题型十四 二次根式的混合运算 【例14】下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （    ） A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红 【变式14-2】计算：＝ ． 题型十五 比较二次根式的大小 【例15】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【变式15-1】已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 题型十六 二次根式的乘除混合运算 【例16】计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】计算： ． 【变式16-2】计算的结果为 ． 题型十八 二次根式的化简求值 【例18】若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【变式18-1】若，则 ． 【变式18-2】化简，求值：已知，求． 题型十九 二次根式的应用 【例19】已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【变式19-1】用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 【变式19-2】如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    基础巩固通关测 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与能合并，则的值是(    ) A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．有一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 8． ． 9．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 10．的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 11．计算 ． 12．17的两个平方根的积是 ． 13．已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 14．已知，则代数式的值为 ． 15．计算： (1)； (2)． 16．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 17．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_____的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 18．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 能力提升进阶练 1．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 7．比较大小：（1） ，（2） ．（填“”，“”或“”） 8．计算： ． 9．已知，化简 ． 10．若代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ； 11．若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的 段． 12．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为 ． 13．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 14．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 15．行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 16．观察下列过程： (1)运用上述的方法可知： ； (2)计算： (3)当时，按照上述方法求出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 二次根式（复习讲义） 1.理解二次根式的定义，并掌握算术平方根的基本性质。 2.培养学生熟练进行二次根式的化简（如提取公因式、有理化分母）、加减乘除运算，并能在计算中应用规则。 3.引导学生将二次根式应用于解决实际问题，例如在几何、物理场景中的测量和建模。 4.通过练习，提升学生的代数推理能力、数感和逻辑思维能力。 5.学生应能通过测试或作业，准确完成化简、计算和解决简单应用题的练习，达到教材设定的学业标准。 知识点 重点归纳 常见易错点 二次根式的概念 二次根式指形如 （其中 ）的代数式。例如，，（要求 ）。 被开方数必须非负（否则在实数范围内无意义），当被开方数为负数时无意义。 二次根式的性质和基本公式 基本性质：（a≥0），；乘法公式：（a≥0，b≥0）；除法公式：（a≥0，b>0）；加减法则：只有同类二次根式才能合并。 当a≥0时等于a；当a<0时等于-a；被开方数相同才能合并，例如 ，但 不能化简）。 二次根式化简的方法 因式分解法：将被开方数分解为平方数和其它因子的乘积，例如 ；分母有理化：分母中的二次根式进行有理化，如 。常用方法：分子分母同乘分母的共轭（如分母为 ，则同乘 ；分母为 ，则同乘 ）；最简形式：化简后应满足：被开方数不含平方因子，分母不含根号。 在化简时常常没有到最简；分母有理化时常常用错公式，将平方差公式误用为完全平方公式；忘记二次根式化到最简的形式，分母不含根号、根号不含分母、被开方数不含开得尽方的因数。 二次根式的运算 加减：先化为同类根式再合并。 乘除：利用公式 或直接计算数值。 混合运算：遵循先乘除、后加减的原则，注意符号和定义域。 混淆运算规则，误认为 （如 ，实际 ，而 ）。 类似错误：（正确应为 ）；在计算时应记牢公式，加减时需先同类化；平方展开时使用分配律。 二次根式的实际应用 几何问题：长方形中的长度计算或面积计算；在方程或不等式求解中的应用。 计算结果常出现两种情况，忘记实际取值情况，出现负数或其它限制条件未进行取舍。 复合二次根式的运算 利用配方、设方程进行求解计算。 复合根式容易将方法混淆：如 ，学生误直接拆分。 分母有理化 将分母中化为不含有二次根式的式子 分母有理化时，忘记乘分子分母（如 未化为 ，而是直接保留）。 题型一 二次根式的识别 【例1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 【变式1-1】下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，所以是二次根式，故A选项符合题意． B、，所以不是二次根式，故B选项不符合题意． C、是三次方根不是二次根式，故C选项不符合题意． D、，所以不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】下列给出的式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是二次根式，B正确，故符合要求； ，，，不是二次根式，A、C、D错误，故不符合要求； 故选：B． 题型二 求二次根式的值 【例2】二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式2-1】计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-2】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 题型三 二次根式有意义的条件 【例3】若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：． 解这个不等式：． 故选：B． 【变式3-1】二次根式中，字母的取值范围是（    ） A．全体实数 B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次根式中，字母的取值范围是全体实数． 故选A． 【变式3-2】若二次根式在实数范围内没有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式． 根据二次根式没有意义的条件可得 ，再解不等式即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内没有意义， ∴， 解得． 故选：A． 题型四 利用二次根式的性质化简 【例4】计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选：A 【变式4-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用进行化简即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式4-2】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 根据二次根式的性质直接化简，逐项分析即可． 【详解】解：．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算正确，符合题意； 故选：． 题型五 最简二次根式的判断 【例5】下列选项中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是分数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、可以分解为，是能开得尽方的因数，它可以化简为，所以它不是最简二次根式，不符合题意； D、可以分解为，其中是能开得尽方的因数，它可以化简为，所以它不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】下列根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据最简二次根式的定义，对四个式子分别作出分析，再作判断． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、在中，被开方数的字母因数的取值不确定，可能含有能开得尽方的因数，故不一定是最简二次根式； C、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； D、是最简二次根式． 故选：D． 题型六 化为最简二次根式 【例6】化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式6-1】下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 题型七 利用最简二次根式概念求参数 【例7】若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 【变式7-1】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 【变式7-2】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 题型八 符合二次根式的化简 【例8】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，将原式变形为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式8-1】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【变式8-2】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 题型九 二次根式的乘法 【例9】计算：（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键；因此此题可根据二次根式的乘法进行求解． 【详解】解：； 故选B． 【变式9-1】从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是(   ) A． B． C． D．没有 【答案】C 【分析】逐项计算比较即可． 【详解】解：A选项，，不满足题意； B选项，，不满足题意； C选项，，满足题意； D选项，不满足题意； 故选：C． 【变式9-2】计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．利用平方差公式可得原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 题型十 二次根式的除法 【例10】计算的结果是（   ） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则、算术平方根计算等方法求解，需注意运算规则的正确应用． 【详解】解：． 故选：C． 【变式10-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的除法，分母有理化，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式10-2】化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用二次根式的除法法则计算后再进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型十一 分母有理化 【例11】化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 【变式11-1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 【变式11-2】化简（且），得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型十二 同类二次根式 【例12】下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式12-1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，二次根式的化简及计算，根据同类二次根式的概念“被开方数相同，根指数也相同的最简二次根式”，二次根式的性质化简，可得，由此即可求解． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故选：C ． 【变式12-2】若最简根式与是同类根式，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查同类根式，根据两个最简根式的根指数相同，被开方数相同，这两个根式是同类根式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得， ∴； 故答案为： 题型十三 二次根式的加减 【例13】计算的结果是（　　） A．25 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【详解】解：原式， 故选：C． 【变式13-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 先化简和，然后合并即可． 【详解】解：原式 故选：D． 【变式13-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质和二次根式的加减运算法则，掌握非负数的性质和二次根式的加减运算法则是解本题的关键． 根据非负数的性质求出，代入式子再利用二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 又， ， ， ． 故答案为：． 题型十四 二次根式的混合运算 【例14】下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的乘除法则对A、C选项进行判断；根据二次根式的减法法则对B选项进行判断；运用完全平方公式结合二次根式的运算法则对D选项进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项错误，符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式14-1】学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （    ） A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 【变式14-2】计算：＝ ． 【答案】﹣6﹣2 【分析】直接利用二次根式的性质结合乘法公式计算得出答案． 【详解】解：原式＝5﹣3﹣（5+2+3） ＝5﹣3﹣8﹣2 ＝﹣6﹣2． 故答案为：﹣6﹣2 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 题型十五 比较二次根式的大小 【例15】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 【变式15-1】已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 【变式15-2】比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 题型十六 二次根式的乘除混合运算 【例16】计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式16-1】计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【变式16-2】计算的结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可． 【详解】解： 故答案为 题型十八 二次根式的化简求值 【例18】若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 【变式18-1】若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 【变式18-2】化简，求值：已知，求． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 题型十九 二次根式的应用 【例19】已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 【变式19-1】用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．首先由正方形的面积是75，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： 所以这个小正方形的周长为：． 故选：D． 【变式19-2】如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 大正方形的边长为， ∴阴影部分面积 故答案为： 基础巩固通关测 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义，根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【详解】解：不一定是非负数，故A选项不符合题意， 不一定是非负数，故B选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，是二次根式，故D选项符合题意， 故选：D． 2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 3．若最简二次根式与能合并，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， ∴ 故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的混合运算可排除选项． 【详解】解：A、，故错误； B、与不是同类二次根式，所以不能计算，故错误； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选：C． 5．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 6．有一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的乘法的应用．直接根据长方体体积公式求解可得． 【详解】解：∵长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体的体积 ， 故选：B． 7．已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负． 根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 9．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的比较大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用二次根式的性质把4变为比较大小即可． 【详解】由，， ， 故答案为：． 10．的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，分母有理化，相反数、倒数、绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质求解即可． 【详解】解：的相反数是，倒数是，绝对值是， 故答案为：，，． 11．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简，解题关键是熟练掌握是二次根式的乘法法则． 先根据二次根式的乘法法则进行计算，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．17的两个平方根的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，二次根式的乘法运算．先根据平方根的定义求出两个平方根，再相乘即可． 【详解】解：17的两个平方根为和， 积为：， 故答案为：． 13．已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代数式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：2025． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平方差公式计算即可； （）根据二次根式的乘除运算法则和性质分别化简，再合并即可； 本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_____的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：∵，， ∴， 则 ． 18．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴原式， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 能力提升进阶练 1．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，被开方数中不含能开方开得尽的因式或因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数中含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定． 【详解】解：A． 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意；     D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数，二次根式的化简，由数轴可得，即得，进而根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故选：． 4．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 5．如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．先化简代数式，再代入的值计算． 【详解】解： ， 代入，原式， 故选：D． 6．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 7．比较大小：（1） ，（2） ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小： （1）首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大，据此解答即可； （2）先求出两个数的差，再比较差与0的大小关系，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 故答案为： （2）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式在二次根式运算中的应用．即,通过观察算式结构，快速简化运算;题目中的两个括号分别呈现“和”与“差”的形式，直接应用平方差公式展开，避免逐项相乘的繁琐计算，关键在于识别出公式中的和，即 和． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．先根据，将二次根式和绝对值分别化简，计算后即可得出结果． 【详解】 ， ， 故答案为：． 10．若代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ； 【答案】且，且 【分析】本题考查了分母不为0，零次幂，二次根式有意义的条件，根据代数式在实数范围内有意义，得，再解出的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴且，且， 故答案为：且，且． 11．若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的 段． 【答案】④ 【分析】本题考查二次根式的计算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解题的关键，利用二次根式的运算将式子化简，得到的值，再通过对无理数的估算，得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∵， ∴， ∴a落在了数轴上的④段， 故答案为：④． 12．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】解：当时，（秒； 当时，（秒； ， 故答案为：． 13．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式、立方根的化简，合并同类项，二次根式的运算等知识，根据字母的取值范围正确化简是解题的关键． （1）由题意可得到，，据此化简原式即可； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解：观察数轴得：，， （2）当时， 原式 14．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的面积是平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 15．行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用： （1）把代入，即可求解； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，． 答：该物品落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下：     当时，． ． 所以小明的说法不正确． 16．观察下列过程： (1)运用上述的方法可知： ； (2)计算： (3)当时，按照上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程进行解答即可； （2）模仿题干的解题过程，逐个化简得，，，故（n为正整数），再代入原式，进行化简，即可作答． （3）先根据，整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 则（n为正整数） ． （3）解：∵ ∴ ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $