第二章 一元一次方程（复习讲义）数学北京版2024七年级上册

第二章 一元一次方程（复习讲义） ①理解现实情境中字母表示数的意义；借助实际情境理解代数式的意义；能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示； ②会用直接代入法和整体代入法求代数式的值； ③理解单项式、多项式、单项式的系数、次数、多项式的项、多项式的次数、整式的概念；掌握同类项的概念及合并同类项的法则；掌握去括号的法则；能进行整式的加减运算及化简求值。 ④理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； ⑤能说出方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解；理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程； ⑥掌握一元一次方程的一般解法步骤；掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 知识点 重点归纳 常见易错点 代数式 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式 例如：2、等都是代数式。 2.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 3.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 4.代数式的值求法： 方法1：直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； 方法2：整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 考试中通常考整体代入的较多 同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 无论是去括号，还是添括号，要注意“-”对括号的影响，这是最容易犯的错误。 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； （1）数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； （2）单独的一个数； （3）单独的一个字母 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 注意：这里说的“和”是代数和，意思是包括加法和减法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 方程 1.方程定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它代入方程的左边和右边，若左边=右边，则它是方程的解，否则不是． 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 等式的性质 等式的性质： 等式的基本性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1 是一个方程; 2 必须只含有一个未知数; 未知数的次数都是1． 3 含有未知数的式子都是整式; 2.一元一次方程的解法： （1）去分母,； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1； 一元一次方程解法 易错提醒： 犯错最高的四种错误： (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号； （3）移项不要忘了变号； （4）不要把分子、分母写颠倒，学生易错把分子分母弄颠倒。 一元一次方程应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 解方程应用题必须检验，一方面是检验解的未知数的值是不是方程的解；另一方面检验解的结果是不是符合题目的要求和实际意义。 题型一 代数式的概念与书写方式 1．在以下各式中属于代数式的是（　　） ；；；；；； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念，根据代数式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，不包含等号或不等号． 【详解】解：∵代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子， ∴ 含有等号，是等式，不是代数式； 含有等号，是等式，不是代数式； 是字母，是代数式； 是分式，是代数式； 是数字，是代数式； 是和式，是代数式； 是分式，是代数式； ∴属于代数式的是， 故选：． 2．下列代数式用自然语言表示正确的是（   ） A．表示与平方的和 B．表示与和的平方 C．表示与的倒数和 D．表示与，的积的商 【答案】D 【分析】本题考查代数式的意义，根据翻译给出的代数式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、表示与的和的平方，原说法错误，不符合题意； B、表示与的平方和，原说法错误，不符合题意； C、表示与的和的倒数，原说法错误，不符合题意； D、表示与，的积的商，正确，符合题意； 故选D． 3．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数字与字母相乘时，乘号省略，数字写在字母的前面，字母与字母相乘时，乘号省略，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式含单位时要带括号； 据此解答即可． 【详解】解：①②④是符合要求的， ③应写为， ⑤应写为， ⑥应写为， 故答案为：3． 4．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 【答案】①②③ 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ③中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ④，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 题型二 用代数式表示数、图形的规律 5．小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为，5个纸杯的高度为，若把n个这样的杯子叠放在一起（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找规律列代数式. 根据题意可以求得每增加一个水杯增加的高度，然后根据题目中的数据即可求得把n个这样的杯子叠放在一起高度是多少，即可得解． 【详解】解：由题意可得，每增加一个水杯，增加的高度是， ∴把n个这样的杯子叠放在一起，高度为：， 故选：B． 6．将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到（　　）条折痕． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了找规律（乘方的应用），解题的关键是通过分析对折次数与折痕数的关系，归纳出一般规律． 通过分析对折1次、2次、3次、4次的折痕数，找出折痕数与对折次数的规律． 【详解】解：对折1次，折痕数为； 对折2次，折痕数为； 对折3次，折痕数为； 对折4次，折痕数为； …… 由此可归纳出，对折次，折痕数为， 故选：A． 7．如图，每个图形都由相同的小正方形按一定规律组成，根据图形与等式的关系，解答下列问题： （1） ； （2） ．（用含的代数式表示） 【答案】 / 【分析】本题考查数字类规律探索，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律即可． 根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可． 【详解】解：图1中， 图2中， 图3中， ， ． 故答案为：（1），（2）． 8．数学探究： (1)例：代数式表示两数和的平方，代数式表示两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式表示___________ (2)试计算取不同数值时，及的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）： 的值 当，时 当，时 当时 24 12 ___________ ___________ 12 ___________ (3)请你再任意给、各取一个数值，并计算及的值： 当___________，___________时，___________，___________． (4)我的发现： ；（填“”、“”或“”） (5)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)两数的平方的差 (2)，24， (3)2,1,3,3 (4)= (5)5670 【分析】本题考查了求代数式的意义，求代数式的值等知识，综合性强，根据题意观察出是解题关键﹒ （1）根据的意义即可得到表示两数的平方的差； （2）根据题意分别求出代数式的值即可； （3）任意给、各取一个数值，代入计算即可求解； （4）根据前面的计算即可得到； （5）利用（4）结论代入计算即可求解﹒ 【详解】（1）解：代数式表示两数的平方的差﹒ 故答案为：两数的平方的差； （2）解：填表如下： 的值 当，时 当，时 当时 24 12 ________ ________ 12 ________ 故答案为：，24，； （3）解：当_　　2　　__，__　　1　　_时，___　　3　　__，_____3______． 故答案为：2,1,3,3； （4）解：我的发现﹒ 故答案为：； （5）解：﹒ 题型三 已知字母、式子的值，求代数式的值 9．已知，；且，则 ． 【答案】5或1 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，代数式求值，由绝对值的定义可得x和y的可能取值，再根据条件推出，从而确定符合条件的x和y值，最后计算． 【详解】解：∵，， ∴或，或， 又∵， ∴，即， 则， 或，， 当， 时，， 当，时，， 故答案为：5或1 10．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，x的绝对值为3，n是最小的正整数，m是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值、正整数、负整数的定义，解题的关键是根据这些定义求出相关字母的值． 根据倒数、相反数、绝对值、正整数、负整数的定义求出、、、、的值，再分情况代入计算． 【详解】解：因为互为倒数，所以， 因为互为相反数，所以， 因为的绝对值为3，所以， 因为是最小的正整数，所以， 因为是最大的负整数，所以， 将上述值代入： 当时，， 当时，， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 11．若代数式的值为4，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，而，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．“整体思想”是数学中一种重要的解题思想，它在代数式的求值中应用广泛.看下面的例子: 例: 已知代数式的值为7，求代数式的值． 解: ∵ ∴ ∴ ∴代数式的值为5． 请根据上面的解法，解答下列问题: (1)填空: ①已知，则_________； ②已知，则_________． (2)若，则_________． (3)已知当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． 【答案】(1)①； ② (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，整体代入是解答本题的关键． （1）①将整体代入求解即可； ②将整体代入求解即可； （2）由变形为，再整体代入求解即可. （3）先求出时，再将代入代数式化简，将整体代入求解． 【详解】（1）解：①已知， 则， 故答案为． ②已知， 则 ， 故答案为． （2）解：若，则 故， 故答案为． （3）解：当时，代数式， 则； 当时， 代数， 故答案为． 题型四 单项式的概念 13．代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，根据单项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有：0，，，， 故选：D． 14．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦中，单项式的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查的是单项式的定义，根据单项式的定义（由数字与字母的积或单独的数字、字母组成的代数式，不含加减运算，分母不含字母）逐一判断各式子即可． 【详解】解：①：由字母相乘组成，是单项式． ②：含加减运算且分母有字母，属于分式与多项式的组合，不是单项式． ③：分母含字母，是分式，不是单项式． ④：分母含字母，是分式，不是单项式． ⑤：含加减运算，是多项式，不是单项式． ⑥：由常数5与π相乘组成，是单项式． ⑦：含加减运算，是多项式，不是单项式． 综上，单项式为①和⑥，共2个． 故选B． 15．在式子，，4， ，，，中，单项式的个数为（ ） A．6个 B．4个 C．5个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的概念，掌握单项式的判断方法是解题关键．单项式是指由数字或字母乘积的形式，单独的一个数字或字母也是单项式，由此即可获得答案． 【详解】解：在式子，，4， ，，，中，单项式有，4， ，，，共5个， 故选：C． 16．在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的系数的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，由此可确定单项式和单项式的系数，进而可得答案． 【详解】解：在所给的式子中，是单项式的为和，其系数分别为2和， ∴所有单项式的系数的积为， 故答案为：． 题型五 单项式规律题 17．有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个（k是正整数） ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，由此即可求解题． 【详解】解：∵，，，，，… ∴第n个单项式是， 当时，第个单项式是， 故答案为：． 18．下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，分别找出单项式的系数和次数的变化规律是解决此题的关键． 观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及x的指数变化规律，写出代数式即可． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． 故答案为：． 19．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 20．观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 【答案】第6个单项式，系数是，次数是8． 【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数，准确找出规律是解题的关键．根据整式的规律、单项式的系数及次数进行求解即可． 【详解】解：按此规律得第6个单项式，系数是，次数是8． 题型六 多项式的概念 21．下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是3 B．不是单项式 C．的常数项是2 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式和多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据单项式和多项式的定义逐项判断即可． 【详解】A、的系数是，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项不符合题意； C、的常数项是，故本选项不符合题意； D、是二次三项式，故本选项符合题意． 故选：D． 22．下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 23．式子，，，，，，中，多项式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的定义逐个判断即可，正确理解几个单项式的和叫作多项式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，，是多项式，共个， 故答案为：． 24．（1）有下列一组式子：，，，，，，，，．将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中．    （2）写出的项． 【答案】（1） 见详解 ；（2）有三项分别为、、 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义．熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键． 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． （1）按照单项式和多项式的定义进行分类即可． （2）在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，据此写出答案即可． 【详解】 解：（1） （2）的项为、、． 题型七 多项式系数、指数中字母求值 25．如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，根据两个多项式恒等可得对应系数相等，即可得解，熟练掌握多项式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴，，，， ∴， 答案：A． 26．已知关于x的多项式是二次三项式，则m的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项的定义，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键． 根据多项式的次数和项的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：关于的多项式是二次三项式， 且， 解得：， 故选：B． 27．多项式是一个四次二项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：∵多项式是一个四次二项式， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 28．已知是关于x、y的八次三项式，求的值． 【答案】36 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式的次数和项，正确根据多项式次数和项的定义求出是解题的关键．根据多项式次数和项的定义求出，再把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的八次三项式， ∴， ∴， ∴． 题型八 合并同类项 29．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 30．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，即合并同类项和去括号的知识点，关键在于熟练掌握运算法则，重点为去括号时前面为负数， 括号里每一项都要变号． （1）根据合并同类项的步骤计算即可； （2）先根据去括号的方法化简，再合并同类项. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 31．化简： (1)； (2)； 【答案】(1)2ab (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，解题关键是掌握其运算法则以及运算技能． （1）原式直接合并同类项即可； （2）原式先去括号，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 32．计算： (1) ． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）合并同类项即可得解； （2）合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型九 整式的相关概念 33．下列代数式是整式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式定义，是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，先判断那些是单项式和多项式，然后得出答案即可． 【详解】解：①是单项式，因此是整式； ②分母含，不是多项式，因此不是整式； ③是单项式，因此是整式； ④分母含，不是多项式，因此不是整式； ⑤分母为常数，是多项式，因此是整式； ⑥分母含和，不是多项式，因此不是整式； ⑦是单项式，因此是整式； ⑧是多项式，因此是整式； 综上分析可知：整式有5个． 故选：C． 34．下列说法正确的是（    ） A．m与n的2倍的差表示为 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是3 D．多项式 是五次四项式 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义，牢记这些定义是解题的关键．根据用字母表示数，整式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：m与n的2倍的差表示为，故A选项说法错误； 因为 是数字与字母的商，所以 不是整式，故B选项说法错误； 单项式 的系数是，次数是3，故C选项说法错误； 多项式 是五次四项式，故D选项说法正确． 故选：D． 35．下列式子中：整式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的概念，熟知单项式和多项式统称整式是解题的关键； 根据单项式和多项式统称整式逐一判断求解即可. 【详解】解：是多项式，是整式； 不是整式； 是多项式，是整式； 0是单项式，是整式； 是多项式，是整式； 综上，整式有4个； 故选：D． 36．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式，据此即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有①，④，⑤，共个， 故答案为：． 题型十 已知同类项求指数中字母或代数式的值 37．若单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，代数式求值；根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解和，再代入计算的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴的指数相等，即， 的指数相等，即， 解得，， ∴， ∴ 故答案为：． 38．如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了同类项的定义和求代数式的值． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项．因此，两个单项式中和的指数分别相等，列出方程求解和，再代入计算． 【详解】解：∵ 单项式 与 是同类项， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ； 故答案为： 39．如果单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项以及求代数式的值．根据同类项的定义，可得：，，，然后得出，，再代入即可求解． 【详解】解：∵单项式与的和是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 40．已知单项式与是同类项，多项式是六次三项式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意可得，进而得出答案． 【详解】解：由已知可得， ， 则， 所以． 题型十一 方程 41．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故选：． 42．若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故选：C． 43．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 44．已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并解出上述一元一次方程； (2)若方程的解等于1，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了方程的解，一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握定义，准确计算． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出a的值，得出方程，再解方程即可； （2）把代入方程得：，再解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，即， 又∵， ∴， 方程为， 解得：； （2）解：由题意得：的解为， 把代入方程得：， 解得：． 题型十二 等式的基本性质 45．下列说法正确的是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质． 根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】由，可得，故A正确； 若，则时，与不一定相等，故B错误； 由，两边同乘得，故C错误； 由，两边同乘2得，而非，故D错误； 故选：A． 46．下列说法正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质和平方的性质，解题的关键是掌握等式的有关性质． 根据等式的有关性质以及平方的性质，对选项逐个判断，求解即可． 【详解】解：∵， ∴或，而不是，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴，而不是，故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项正确，符合题意； 当时，满足，但是，而不是，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 47．假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 【答案】6 【分析】本题考查等式的性质，由题意得出，，则，即可作答． 【详解】解：由题意可得，， ∴，， ∴ 则， 故答案为：6 48．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用等式的性质即可解方程； （）利用等式的性质即可解方程； （）利用等式的性质即可解方程； （）利用等式的性质即可解方程； 本题考查了利用等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十三 一元一次方程的相关概念 49．如果关于x的方程是一元一次方程，则a、b的值分别为（　　） A．1， B．，1 C．0，2 D．0，1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0， 根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴． 故选：D． 50．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：①中未知数最高次数是2，不是一元一次方程； ②中含2个未知数，不是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④中左边不是整式，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥是一元一次方程； 综上可知，一元一次方程有3个， 故选B． 51．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 52．已知，，若方程是关于的一元一次方程，请你从，，中选择一个合适的的值，并求出此时方程的解． 【答案】当时， 当时， 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，一元一次方程的定义，解一元一次方程等知识点，根据一元一次方程的定义得出是解题的关键． 先利用整式的加减运算列出方程，然后根据一元一次方程的定义得出，进而分别令或，并求出此时方程的解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵是关于的一元一次方程， ∴， 当时，原方程为：，解得：， 当时，原方程为：，解得：． 题型十四 一元一次方程的解法 53．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1∶． 54．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． (1)先算括号，移项，合并同类项，最后把系数化“1”，即可得到答案； (2)方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为“1”，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 55．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握其解法是解题的关键． （1）去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： （2）解： . 56．解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题包含三个一元一次方程的求解，需根据每个方程的形式，运用解一元一次方程的一般步骤（去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为等）来解题． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得．移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． （3）解：将分母化为整数，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． 题型十五 已知一元一次方程的解求参数 57．关于x的方程与的解相同，则k的值是（   ）． A．2 B．3 C．13 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；先得出方程的解，然后代入方程即可求解． 【详解】解：解方程得：， 把代入得， ∴； 故选C． 58．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 59．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 60．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 题型十六 一元一次方程解的关系 61．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 62．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设 ，则关于y的方程化为：， ∵方程的解为， ∴， ∴ 故答案为：． 63．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值． 【详解】解：方程右边的漏乘了 6 ，方程化为，， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 64．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 题型十七 绝对值方程 65．若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据绝对值的定义得到或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故选：A． 66．已知，那么 ． 【答案】7或 【分析】本题主要考查了绝对值方程．根据绝对值等于一个正数的数有两个，如果，那么或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：7或． 67．满足的整数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键． 先进行分类讨论，再根据绝对值的性质化简即可求出答案． 【详解】解：当时，， 令，解得：； 当时，，恒为4， ∵是整数 ∴或或0； 当时，， 令， 解得： 综上，整数可能为、、、0、1，共有5个． 故答案为：5． 68．【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可以理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)______； (2)可以理解为______与______两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (3)利用如图所示的数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则______． (4)利用如图所示的数轴直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)和 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离，解一元一次方程； （1）先计算减法，再求绝对值，即可； （2）根据绝对值的几何意义，即可求解； （3）可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于，则； （4）先分析当时，的值为，则或，再分类讨论，化简绝对值，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 故答案为：，． （3）解：可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于． ∴或； 故答案为：或． （4）∵可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离与与两数在数轴上所对应的两点之间的距离之和为， 当时，的值为， ∴或； 当时，； ∴； 解得：； 当时，； ∴； 解得：； 综上所述，和． 题型十八 一元一次方程的实际应用1 69．贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 【答案】(1)甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元； (2)乙种茶叶每盒的售价应是121元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设甲种茶叶商品的进价是元，乙种茶叶商品的进价是元，若购进甲种茶叶商品5盒，乙种茶叶商品3盒 ，共需要700元．列出一元一次方程组，解方程组即可； （2）设每件乙种茶叶商品的售价为元，根据使得这500件茶叶商品所获利润率为，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每盒的进价是元，则乙种茶叶每盒的进价是元． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元． （2）解：设乙种茶叶每盒的售价是元， 根据题意，得， 解得． 答：乙种茶叶每盒的售价应是121元． 70．“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队共有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元） 方案二的花费为：（元） ∵， ∴该团队应该选择方案一． （2）解：该团队共有人． 根据题意，得， 解得 答：该团队共有人． 71．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 72．阳光村在进行新农村建设中，准备修一条村级公路．村委会请来了一个工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了150米，第三天修了前两天总和的一半，三天正好完成任务．这条公路长多少米？ 【答案】360 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意寻找等量关系是解题的关键； 设这条公路长x米，根据题意列一元一次方程，解方程即可． 【详解】设这条公路长x米， 由题意知，， 解得． 答：这条公路长360米． 题型十九 一元一次方程的实际应用2 73．如图所示，数轴上有、两点，点表示的数为，点表示的数为，且、两点满足关系式． (1)求线段 的长． (2)点从点出发以1个单位/秒的速度向终点移动，设点的运动时间为，线段的长为，用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，当点P从B出发时，点Q也同时从点A向它的终点B移动，Q以2个单位/秒的速度运动，若以P、为端点的线段长为1时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值和完全平方的非负性，一元一次方程的动点问题， 对于（1），根据绝对值和完全平方的非负性求出a，b，再根据数轴上两点之间的距离可得答案； 对于（2），根据可得答案； 对于（3），根据题意，得，分两种情况：相遇前两点之间的线段长为1,相遇后两点之间的线段长为1时，列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得， 可得点A表示的数是4，点B表示的数是， 所以； （2）解：根据题意，得， 所以； （3）解：根据题意，得， 相遇前，两点之间的线段长为1时，， 解得； 相遇后，两点之间的线段长为1时，， 解得. 所以t的值是或. 74．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平． (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 【答案】(1)60升 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、长方体的体积，熟练掌握一元一次方程的应用是解题关键． （1）设右边每分钟注水升，根据3分钟之后，右边的水会流到左边，根据左边、右边的水的体积相等建立方程，解方程可得的值，再求出长方体水槽的长，然后利用长方体的体积公式计算即可得； （2）利用长方体水槽的体积除以左右两边注水速度即可得． 【详解】（1）解：设右边每分钟注水升， 由题意得：， ， ， ， ， ， （升， 18升立方厘米， （厘米）， （厘米）， （立方厘米）， 60000立方厘米升， 答：水槽的容积是60升． （2）解： （分钟）， 答：注满水槽共需分钟． 75．问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为、，则线段的长为______，线段的中点表示的数为______； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有、、、四个点，，，点是的中点，点是的中点若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动在运动的过程中，记的中点为，的中点为设运动时间为秒． ①求在运动过程中时的值； ②在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）10，3；（2）①或；②存在，，最小值为12 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）利用数轴可求得，点表示的数为； （2）①以为原点，建立数轴，分别表示出，，，点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（1），点表示的数为：， 故答案为：，； （2）∵，， ，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：， ：， ：， ：， 运动后，：， ：， ：， ：， 此时，：， ：， ：， ：， 由得出， ， 或； ②， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时， ． 76．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过的部分按“调节价”收费．小明家今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是______元，“调节价”是______元； (2)若小明家5月份用水8立方米，则应缴水费多少元？ (3)若小明家6月份水费是26.4元，小明家6月份用水多少立方米？ 【答案】(1)，4 (2)22.4元 (3)该户6月份用水9立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． （1）依据题意，设该市每立方米水费的“基本价”是x元，从而可得，解方程即可得解；依据题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元，从而，进而计算可以得解； （2）结合题意，列式计算，即可作答． （3）依据题意，设该户6月份用水m立方米，又，求出，故，计算即可得解； 【详解】（1）解：设该市每立方米水费的“基本价”是x元， ∴． ∴． 由题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元， ∴． ∴． 答：该市每立方米水费的“基本价”是元．每立方米水费的“调节价”是4元． （2）解：依题意，（元）， ∴小明家5月份用水8立方米，则应缴水费元； （3）解：由题意，设该户6月份用水m立方米， ∵， ∴． ∴． ∴． 答：该户6月份用水9立方米． 基础巩固通关测 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方的非负性和绝对值的非负性、求代数式的值．根据乘方和绝对值的非负性可得和的值，然后代入代数式求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ． 故选：A． 2．下列各组中，是同类项的是（   ） ①与；②与；③与；④与；⑤与． A．①②③ B．①③④ C．③⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，常数项也是同类项．逐一判断各组即可． 【详解】解：∵ 同类项需字母相同且相同字母指数相同， ①中与字母相同但指数不同，不是同类项； ②中与字母不同（前者有z，后者无），不是同类项； ③中与字母相同且指数相同，是同类项； ④中 含字母a，是常数，不是同类项； ⑤中与字母相同且指数相同，是同类项． ∴ ③和⑤是同类项． 故选：C． 3．下列变形中，错误的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 由等式的基本性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由等式基本性质，等式两边同时加上，等式成立，不符合题意； B、由等式基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式成立，但选项中并未明确，选项变形错误，符合题意； C、由等式基本性质，等式两边同时减去，等式成立，不符合题意； 故选：B． 4．单项式的系数与次数分别为（    ） A． B．，6 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式系数和次数的定义． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数进行解答即可． 【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，单项式的系数是，次数是4． 故选：C． 5．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 6．当时，代数式的值为 ． 【答案】31 【分析】本题考查了代数式求值以及有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的有关运算法则． 直接将代入代数式中，按照有理数的运算法则求解即可． 【详解】解：将代入代数式中，可得 原式， 故答案为：31． 7．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值．利用绝对值的非负数的性质列出方程，求出方程的解得到a与b的值，再计算出的值，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．若时，代数式的值为；则时，这个代数式的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．先将代入代数式可得，再将代入化简计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时，则 ， 故答案为：． 9．已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据多项式为五次三项式，确定第二项的次数为，求出，再识别二次项及其系数，求出，最后代入计算． 【详解】解：多项式 是五次三项式， 因此最高次项的次数为， 第一项 的次数为， 第三项 的次数为， 故第二项 的次数必须为， 即 ， 解得， 二次项是次数为的项，即第三项，其系数为 ， 故， 因此，． 故答案为：． 10．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等， ∴， 解得． 故答案为：． 11．合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，注意同类项所含字母相同，相同字母的指数也相同，其与字母的顺序无关．根据合并同类项原则解题即可． 【详解】解： ． 12．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 13．试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买5根跳绳需_____元，购买15根跳绳需_____元． (2)小红比小明多买3根，付款时小红反而比小明少9元，请求出小红购买跳绳的根数． 【答案】(1)75，157.5 (2)小红购买跳绳12根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式即可； （2）设小红购买跳绳根，根据题意列出方程进而求解． 【详解】（1）解：∵（元），（元）， ∴购买5根跳绳需75元，购买15根跳绳需元； 故答案为：，； （2）解：设小红购买跳绳根，则小明购买跳绳根， 根据题意得： ， 解得：． 答：小红购买跳绳12根． 14．一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时10分钟时也经过C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是______千米/小时，B、C两地的距离是______千米；A、C两地的距离是______千米 (2)求甲车的速度； (3)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 【答案】(1)120，260，120 (2)甲车的速度是 (3)乙车出发1小时或小时，两车相距200千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，即行程问题． （1）用乙的路程除以乙的时间，即为乙的速度；算出B、C两地的距离，然后再算出A、C两地的距离； （2）用甲的路程除以甲的时间，即为甲的速度； （3）根据题意，要进行分类讨论，未相遇和相遇以后相距200千米，分别进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，乙车用了10分钟行驶了20千米， 故乙车的速度为：， B、C两地的距离是， A、C两地的距离是， 故答案为：120，260，120； （2）由（1）可知，A、C两地的距离是， 甲车的速度是； （3）设乙车出发x小时，两车相距200千米，根据题意得 ，或， 解得，或， 乙车到达A地用的时间为：， ， 乙车行驶小时，早已到达A地， 此时当甲车距离A地200千米时，两车正好相距200千米， ， 乙出发小时，两车相距200千米， 答：乙车出发1小时或小时，两车相距200千米． 15．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 能力提升进阶练 16．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】依次分析每个选项，根据单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义来判断对错即可． 本题主要考查了单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：的系数是，故A选项错误，不符合题意． 的次数是，故B选项错误，不符合题意． ，是多项式，故C选项错误，不符合题意． 有三项，最高次项是，次数为，是二次三项式，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 17．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 18．某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记分，第二名的班级记分，第三名的班级记分（均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则和的值分别为（　　） A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的运算，根据五个比赛项目设定前三名的记分总和=最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出的值，再结合均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和四个班总成绩的和，是解决本题的关键。 【详解】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为，则, ∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为, ∴， ∴, ∴. ∵均为正整数， ∴当时, ,则， 当时, ,则,此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为分，不符合题意舍去， 当时, ,则,不满足,舍去， 当时, ,则,不满足,舍去， 综上所得：， 故选：B． 19．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 20．现有左、中、右三堆棋子，每堆的数量相同，且每堆的棋子足够多．现从“左堆”中取出3枚棋子放入“中堆”，从“右堆”中取出4枚棋子放入“中堆”，再从“中堆”中取出与此时“右堆”数量相同的棋子放入“右堆”，则这时“中堆”的棋子数量为（   ） A．8枚 B．9枚 C．10枚 D．11枚 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，准确找出数量关系是解题的关键．设三堆棋子原来各有枚，根据题意列出代数式即可得到答案． 【详解】解：设三堆棋子原来各有枚， 从“左堆”中取出3枚棋子放入“中堆”，此时中堆有，左堆， 从“右堆”中取出4枚棋子放入“中堆”，此时中堆有，右堆， 再从“中堆”中取出与此时“右堆”数量相同的棋子放入“右堆”， 此时中堆， 故选D． 21．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识点，根据非负数的性质求得是解题的关键． 先根据非负数的性质求得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．已知，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查代数式求值，令，则，由得，整理得，再把要求的式子变形后代入计算即可． 【详解】解：令，则， ，即， ． 故答案为：20． 23．若式子与是同类项，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了同类项的概念，理解同类项的概念是解题的关键． 根据同类项的概念列式运算即可． 【详解】∵与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 24．已知张强家到学校的路程为，放学后张爸爸从家出发以的速度开车前往学校，同时张强从学校出发以的速度步行回家，这样张爸爸恰好在途中一处容易掉头的路口接到张强并按原速返回家中，如果张强上车和汽车掉头时间忽略不计，那么张强这次从学校到家需要 小时． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设爸爸出发接上张强，则此时张强步行，利用时间=路程÷速度，结合爸爸行驶与张强步行所需时间相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设爸爸出发接上张强，则此时张强步行， 根据题意得：， 解得：， ， 张强这次从学校到家需要小时． 故答案为． 25．表示a、b的差（大减小）的一半．例如：，那么： （1） ； （2）的所有可能性 ． 【答案】 43，51，， 【分析】本题主要考查了新定义运算，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据提供的信息，列出算式，进行计算即可； （2）分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）当时，根据题意得：， 解得：； 当时，根据题意得：， 解得：； 当时，根据题意得：， 解得：； 当时，根据题意得：， 解得：； 综上分析可知：x的所有可能值为43，51，，． 故答案为：43，51，，． 26．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程常见的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的过程，求解即可； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的过程，求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 27．整式计算 (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)15 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解：     ∵， ∴． 28．已知数轴上三点、、对应的数分别为、、，点为数轴上任意一点，其表示的数为． (1)如果点到点、点的距离之和是，那么______________； (2)当点到点，点的距离之和最小，那么的取值范围是__________； (3)有如下的规定：点为数轴上三点，如果点在之间，并且点到的距离是点到的距离4倍，那么我们就称点是的偶点．若点始终在点的左侧，当的值为何值时，中恰有一个点为其余两点的偶点． 【答案】(1)或5 (2) (3) 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离是解题的关键： （1）根据距离公式，列出绝对值方程进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，得到当点在点，点之间（包括点，点）时，点到点，点的距离之和最小，即可得出结果； （3）分在之间和在之间，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：或； 故答案为：或5； （2）点到点，点的距离之和为， ∴当点在点，点之间（包括点，点）时，点到点，点的距离之和最小， ∴； （3）当点在点之间时： ①时，则：，解得：； ②时，则：，解得：； 当点在点之间时： ③时，则：，解得：； ④时，则：，解得：； 综上：． 29．两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 ______ B点在数轴上的位置 _________ 6 14 (2)经过秒时，点对应的数是___________； (3)在两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3且小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？请写出解答过程． ②两点开始运动后，经过____秒感应器开始发出第二次提示．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3)①秒，秒，见解析；② 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，列代数式，解题的关键是根据表格中的数据得出A、B两点运动的速度和方向． （1）根据表格求出移动速度，再根据点的移动进行计算，填表即可； （2）根据点的移动速度和方向，列出代数式即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可； ②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可． 【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为8， 4秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴6秒时，点A在数轴上的位置为； ∵4秒时，点B在数轴上的位置为6， 6秒时，点B在数轴上的位置为14， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 B点在数轴上的位置 6 14 （2）由（1）知道，点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴经过秒时，点对应的数是； 故答案为：； （3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示． 30．阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…． 例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：． （规定当时，，721右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)十进制532写成数字与基数的幂的乘积之和的形式： ； (2)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式： ；此时通过计算就转化为了十进制数 ； (3)根据逢二进一的规则计算：． 【答案】(1) (2)，13 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给“十进制”及“二进制”数的改写方式是解题的关键． （1）根据题中所给示例，按要求进行改写即可； （2）根据“二进制”数的定义，按要求进行改写即可； （3）根据逢二进一的规则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，． 故答案为：． （2）由题知， ． 故答案为：，13； （3）根据逢二进一的规则可知， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元一次方程（复习讲义） ①理解现实情境中字母表示数的意义；借助实际情境理解代数式的意义；能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示； ②会用直接代入法和整体代入法求代数式的值； ③理解单项式、多项式、单项式的系数、次数、多项式的项、多项式的次数、整式的概念；掌握同类项的概念及合并同类项的法则；掌握去括号的法则；能进行整式的加减运算及化简求值。 ④理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； ⑤能说出方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解；理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程； ⑥掌握一元一次方程的一般解法步骤；掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 知识点 重点归纳 常见易错点 代数式 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式 例如：2、等都是代数式。 2.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 3.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 4.代数式的值求法： 方法1：直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； 方法2：整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 考试中通常考整体代入的较多 同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 无论是去括号，还是添括号，要注意“-”对括号的影响，这是最容易犯的错误。 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； （1）数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； （2）单独的一个数； （3）单独的一个字母 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 注意：这里说的“和”是代数和，意思是包括加法和减法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 方程 1.方程定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它代入方程的左边和右边，若左边=右边，则它是方程的解，否则不是． 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 等式的性质 等式的性质： 等式的基本性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1 是一个方程; 2 必须只含有一个未知数; 未知数的次数都是1． 3 含有未知数的式子都是整式; 2.一元一次方程的解法： （1）去分母,； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1； 一元一次方程解法 易错提醒： 犯错最高的四种错误： (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号； （3）移项不要忘了变号； （4）不要把分子、分母写颠倒，学生易错把分子分母弄颠倒。 一元一次方程应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 解方程应用题必须检验，一方面是检验解的未知数的值是不是方程的解；另一方面检验解的结果是不是符合题目的要求和实际意义。 题型一 代数式的概念与书写方式 1．在以下各式中属于代数式的是（　　） ；；；；；； A． B． C． D． 2．下列代数式用自然语言表示正确的是（   ） A．表示与平方的和 B．表示与和的平方 C．表示与的倒数和 D．表示与，的积的商 3．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有 个． 4．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 题型二 用代数式表示数、图形的规律 5．小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为，5个纸杯的高度为，若把n个这样的杯子叠放在一起（　　）． A． B． C． D． 6．将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到（　　）条折痕． A． B． C． D． 7．如图，每个图形都由相同的小正方形按一定规律组成，根据图形与等式的关系，解答下列问题： （1） ； （2） ．（用含的代数式表示） 8．数学探究： (1)例：代数式表示两数和的平方，代数式表示两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式表示___________ (2)试计算取不同数值时，及的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）： 的值 当，时 当，时 当时 24 12 ___________ ___________ 12 ___________ (3)请你再任意给、各取一个数值，并计算及的值： 当___________，___________时，___________，___________． (4)我的发现： ；（填“”、“”或“”） (5)用你发现的规律计算：． 题型三 已知字母、式子的值，求代数式的值 9．已知，；且，则 ． 10．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，x的绝对值为3，n是最小的正整数，m是最大的负整数，则的值为 ． 11．若代数式的值为4，则代数式的值是 ． 12．“整体思想”是数学中一种重要的解题思想，它在代数式的求值中应用广泛.看下面的例子: 例: 已知代数式的值为7，求代数式的值． 解: ∵ ∴ ∴ ∴代数式的值为5． 请根据上面的解法，解答下列问题: (1)填空: ①已知，则_________； ②已知，则_________． (2)若，则_________． (3)已知当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． 题型四 单项式的概念 13．代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦中，单项式的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．在式子，，4， ，，，中，单项式的个数为（ ） A．6个 B．4个 C．5个 D．3个 16．在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 题型五 单项式规律题 17．有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个（k是正整数） ． 18．下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 19．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 20．观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 题型六 多项式的概念 21．下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是3 B．不是单项式 C．的常数项是2 D．是二次三项式 22．下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 23．式子，，，，，，中，多项式有 个． 24．（1）有下列一组式子：，，，，，，，，．将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中．    （2）写出的项． 题型七 多项式系数、指数中字母求值 25．如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 26．已知关于x的多项式是二次三项式，则m的值为（　　） A． B． C． D．3 27．多项式是一个四次二项式，那么 ． 28．已知是关于x、y的八次三项式，求的值． 题型八 合并同类项 29．合并同类项： (1)； (2)． 30．化简： (1) (2) 31．化简： (1)； (2)； 32．计算： (1) ． (2)． 题型九 整式的相关概念 33．下列代数式是整式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 34．下列说法正确的是（    ） A．m与n的2倍的差表示为 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是3 D．多项式 是五次四项式 35．下列式子中：整式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 题型十 已知同类项求指数中字母或代数式的值 37．若单项式与是同类项，则的值是 ． 38．如果单项式与是同类项，那么 ． 39．如果单项式与的和是一个单项式，那么 ． 40．已知单项式与是同类项，多项式是六次三项式，求的值． 题型十一 方程 41．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 43．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 44．已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并解出上述一元一次方程； (2)若方程的解等于1，求k的值． 题型十二 等式的基本性质 45．下列说法正确的是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 46．下列说法正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 47．假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 48．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三 一元一次方程的相关概念 49．如果关于x的方程是一元一次方程，则a、b的值分别为（　　） A．1， B．，1 C．0，2 D．0，1 50．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 51．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 52．已知，，若方程是关于的一元一次方程，请你从，，中选择一个合适的的值，并求出此时方程的解． 题型十四 一元一次方程的解法 53．解下列方程： (1)； (2)． 54．解方程： (1) (2) 55．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 56．解方程： (1)． (2)． (3)． 题型十五 已知一元一次方程的解求参数 57．关于x的方程与的解相同，则k的值是（   ）． A．2 B．3 C．13 D．5 58．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 59．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 60．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 题型十六 一元一次方程解的关系 61．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 62．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 63．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，则 ． 64．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 题型十七 绝对值方程 65．若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 66．已知，那么 ． 67．满足的整数共有 个． 68．【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可以理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)______； (2)可以理解为______与______两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (3)利用如图所示的数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则______． (4)利用如图所示的数轴直接写出所有符合条件的x的值． 题型十八 一元一次方程的实际应用1 69．贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 70．“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 71．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 72．阳光村在进行新农村建设中，准备修一条村级公路．村委会请来了一个工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了150米，第三天修了前两天总和的一半，三天正好完成任务．这条公路长多少米？ 题型十九 一元一次方程的实际应用2 73．如图所示，数轴上有、两点，点表示的数为，点表示的数为，且、两点满足关系式． (1)求线段 的长． (2)点从点出发以1个单位/秒的速度向终点移动，设点的运动时间为，线段的长为，用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，当点P从B出发时，点Q也同时从点A向它的终点B移动，Q以2个单位/秒的速度运动，若以P、为端点的线段长为1时，求的值． 74．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平． (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 75．问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为、，则线段的长为______，线段的中点表示的数为______； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有、、、四个点，，，点是的中点，点是的中点若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动在运动的过程中，记的中点为，的中点为设运动时间为秒． ①求在运动过程中时的值； ②在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 76．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过的部分按“调节价”收费．小明家今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是______元，“调节价”是______元； (2)若小明家5月份用水8立方米，则应缴水费多少元？ (3)若小明家6月份水费是26.4元，小明家6月份用水多少立方米？ 基础巩固通关测 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列各组中，是同类项的是（   ） ①与；②与；③与；④与；⑤与． A．①②③ B．①③④ C．③⑤ D．只有⑤ 3．下列变形中，错误的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 4．单项式的系数与次数分别为（    ） A． B．，6 C． D． 5．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 6．当时，代数式的值为 ． 7．若，则的值是 ． 8．若时，代数式的值为；则时，这个代数式的值为 ． 9．已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 10．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ． 11．合并同类项：． 12．解方程： (1) (2) 13．试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买5根跳绳需_____元，购买15根跳绳需_____元． (2)小红比小明多买3根，付款时小红反而比小明少9元，请求出小红购买跳绳的根数． 14．一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时10分钟时也经过C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是______千米/小时，B、C两地的距离是______千米；A、C两地的距离是______千米 (2)求甲车的速度； (3)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 15．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 能力提升进阶练 16．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 17．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 18．某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记分，第二名的班级记分，第三名的班级记分（均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则和的值分别为（　　） A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4 19．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 20．现有左、中、右三堆棋子，每堆的数量相同，且每堆的棋子足够多．现从“左堆”中取出3枚棋子放入“中堆”，从“右堆”中取出4枚棋子放入“中堆”，再从“中堆”中取出与此时“右堆”数量相同的棋子放入“右堆”，则这时“中堆”的棋子数量为（   ） A．8枚 B．9枚 C．10枚 D．11枚 21．若，则的值为 ． 22．已知，则 ． 23．若式子与是同类项，则的值为 ． 24．已知张强家到学校的路程为，放学后张爸爸从家出发以的速度开车前往学校，同时张强从学校出发以的速度步行回家，这样张爸爸恰好在途中一处容易掉头的路口接到张强并按原速返回家中，如果张强上车和汽车掉头时间忽略不计，那么张强这次从学校到家需要 小时． 25．表示a、b的差（大减小）的一半．例如：，那么： （1） ； （2）的所有可能性 ． 26．解方程： (1)； (2)． 27．整式计算 (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，求代数式的值． 28．已知数轴上三点、、对应的数分别为、、，点为数轴上任意一点，其表示的数为． (1)如果点到点、点的距离之和是，那么______________； (2)当点到点，点的距离之和最小，那么的取值范围是__________； (3)有如下的规定：点为数轴上三点，如果点在之间，并且点到的距离是点到的距离4倍，那么我们就称点是的偶点．若点始终在点的左侧，当的值为何值时，中恰有一个点为其余两点的偶点． 29．两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 4 6 A点在数轴上的位置 8 0 ______ B点在数轴上的位置 _________ 6 14 (2)经过秒时，点对应的数是___________； (3)在两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3且小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？请写出解答过程． ②两点开始运动后，经过____秒感应器开始发出第二次提示．（直接写出结果） 30．阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…． 例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：． （规定当时，，721右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)十进制532写成数字与基数的幂的乘积之和的形式： ； (2)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式： ；此时通过计算就转化为了十进制数 ； (3)根据逢二进一的规则计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $