第6章 图形的相似（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学苏科版九年级下册

第6章 图形的相似 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则 ；反之，也成立。 和比性质：若，则 ； 更比性质：若，则 ； 反比性质：若，则 ； 等比性质：若，则 。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的 。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使 ，叫做把线段AB ，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的 。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的 。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角 ， 的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做 。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组 ，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的 ，并且夹角 ，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 4）相似三角形的性质 ①对应角 ，对应边的比 ； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都 。 ③相似三角形周长的比等于 ，面积的比等于 。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 。这时的相似比又称为 。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：① ，相似图形没有；② ，相似图形没有。2、联系： 。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比 。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形 ；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形 。 画位似图形的一般步骤：① ；② （分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③ ；④ ，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1） ：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2） :①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3） 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 易错点1 相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 一、易错点总结 1.忽略相似三角形的对应关系，未分“△ABC∽△DEF”和“△ABC∽△DFE”两种情况讨论，导致漏解。 2.计算时间时未考虑动点运动范围，如超过线段端点仍继续计算，得出无效时间值。 3.误用运动速度，混淆“单向运动”与“往返运动”的速度方向，导致时间计算错误。 二、注意事项总结 1.解题第一步明确动点运动路径和速度，标注线段长度，确定运动时间的取值范围（如t≥0，且动点不超出线段）。 2.遇相似条件先列出所有可能的对应顶点组合，分别列比例式求解，最后验证解是否符合运动范围，排除无效解。 例题1．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 易错点2 相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 一、易错点总结 1.未分类讨论相似三角形对应顶点，仅按一种对应关系列比例式，漏求线段长。 2.计算时忽略动点位置限制，未判断所求线段长是否符合实际运动场景，得出不合理值。 3.混淆动点运动的“线段”与“直线”背景，误用无限延伸条件算线段长。 二、注意事项总结 1.先明确相似的所有可能对应情况，每种情况列比例式，避免漏解。 2.求出线段长后，结合动点运动范围（如在线段上）验证，排除超出或负数的无效结果。 例题2．（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 易错点3 由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 一、易错点总结 1. 误用平行线分线段成比例定理，未确认截线是否“同时截两条平行线”，如截线不平行却套用定理，导致比值错。 2. 混淆“分线段成比例”与“分线段相等”，默认截线等分线段，忽略非等分情况。 3. 计算时未找准对应线段，将不对应的线段列入比例式。 二、注意事项总结 1. 先判断是否满足“两平行线被一组直线所截”，确认定理适用条件。 2. 标注线段端点，明确对应关系后列比例式，计算后结合图形验证，避免对应错误。 例题3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 易错点4 相似三角形与几何图形综合易错问题 一、易错点总结 1. 未结合图形特性找相似条件，如在矩形、菱形中忽略隐含的直角、等边关系，漏相似三角形。 2. 误用相似性质，将“对应高比=相似比”错用为“高=相似比×对应高”，计算线段长出错。 3. 忽略图形动态变化（如折叠、旋转）后的相似对应关系，导致比例式列错。 二、注意事项总结 1. 先分析图形固有性质（如直角、对边相等），挖掘隐含相似条件。 2. 列比例式前标注相似三角形对应顶点，结合图形动态状态验证，确保性质应用正确。 例题4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 易错点5 相似三角形与圆的综合易错问题 一、易错方法总结（2点） 1. 条件关联混淆：易忽略“圆中隐含条件”与相似三角形判定的结合，如未用“同弧所对圆周角相等”推导角相等，直接套用SSS、SAS判定，导致条件缺失。 2. 比例线段错配：证明相似后，易将对应顶点顺序打乱，如△ABC∽△DEF，却错写为AB/DE = BC/DF，忽略“对应边成比例”需严格匹配对应顶点。 二、注意事项总结（2点） 1. 优先挖掘圆的隐含条件：遇圆与相似结合题，先标记“直径所对圆周角为直角”“切线与半径垂直”等条件，再用这些角或边推导相似所需关系。 2. 验证相似的“双向性”：用AA判定相似后，需反向检查角的对应关系是否唯一，避免因圆的对称性导致相似三角形对应关系误判（如一个角对应多个圆周角时）。 例题5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 一、单选题 1．（24-25九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（　　） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025年贵州省遵义市初中毕业生（学业）水平检测一模检测数学试卷）如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点P、Q分别在边、上，且．线段与相交于点E，过点E作，交于点F，射线交的延长线于点G，设，给出下列说法： ①当四边形为平行四边形时，； ②； ③当点运动时，四边形的面积始终等于； ④当是以线段为腰的等腰三角形时，最多有四种结果 说法正确的个数是多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ； 6．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，连接，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连接，，设点的运动时间是秒，当直线与坐标轴垂直时，的值为 ． 7．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时， ．    8．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点P、Q分别为上一动点，将沿折叠得到，点B的对应点是点D，若点D始终在边上，当与相似时，的长为 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 12．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点D是斜边上的一点，以为直径的圆交边于E，F两点，连结，并且平分． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，求的长 13．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知内接于，是的直径，D为圆上一点，是的切线，连结，与交于点E． (1)如图1，延长与交于点F． ①若，求的大小． ②若，求的半径． (2)如图2，，，延长与交于点F，若，求与的面积比． 14．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 图形的相似 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 4）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 易错点1 相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 一、易错点总结 1.忽略相似三角形的对应关系，未分“△ABC∽△DEF”和“△ABC∽△DFE”两种情况讨论，导致漏解。 2.计算时间时未考虑动点运动范围，如超过线段端点仍继续计算，得出无效时间值。 3.误用运动速度，混淆“单向运动”与“往返运动”的速度方向，导致时间计算错误。 二、注意事项总结 1.解题第一步明确动点运动路径和速度，标注线段长度，确定运动时间的取值范围（如t≥0，且动点不超出线段）。 2.遇相似条件先列出所有可能的对应顶点组合，分别列比例式求解，最后验证解是否符合运动范围，排除无效解。 例题1．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 易错点2 相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 一、易错点总结 1.未分类讨论相似三角形对应顶点，仅按一种对应关系列比例式，漏求线段长。 2.计算时忽略动点位置限制，未判断所求线段长是否符合实际运动场景，得出不合理值。 3.混淆动点运动的“线段”与“直线”背景，误用无限延伸条件算线段长。 二、注意事项总结 1.先明确相似的所有可能对应情况，每种情况列比例式，避免漏解。 2.求出线段长后，结合动点运动范围（如在线段上）验证，排除超出或负数的无效结果。 例题2．（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 易错点3 由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 一、易错点总结 1. 误用平行线分线段成比例定理，未确认截线是否“同时截两条平行线”，如截线不平行却套用定理，导致比值错。 2. 混淆“分线段成比例”与“分线段相等”，默认截线等分线段，忽略非等分情况。 3. 计算时未找准对应线段，将不对应的线段列入比例式。 二、注意事项总结 1. 先判断是否满足“两平行线被一组直线所截”，确认定理适用条件。 2. 标注线段端点，明确对应关系后列比例式，计算后结合图形验证，避免对应错误。 例题3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 易错点4 相似三角形与几何图形综合易错问题 一、易错点总结 1. 未结合图形特性找相似条件，如在矩形、菱形中忽略隐含的直角、等边关系，漏相似三角形。 2. 误用相似性质，将“对应高比=相似比”错用为“高=相似比×对应高”，计算线段长出错。 3. 忽略图形动态变化（如折叠、旋转）后的相似对应关系，导致比例式列错。 二、注意事项总结 1. 先分析图形固有性质（如直角、对边相等），挖掘隐含相似条件。 2. 列比例式前标注相似三角形对应顶点，结合图形动态状态验证，确保性质应用正确。 例题4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1， (2)．证明见解析 (3)①画图见解析；②的长为或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 易错点5 相似三角形与圆的综合易错问题 一、易错方法总结（2点） 1. 条件关联混淆：易忽略“圆中隐含条件”与相似三角形判定的结合，如未用“同弧所对圆周角相等”推导角相等，直接套用SSS、SAS判定，导致条件缺失。 2. 比例线段错配：证明相似后，易将对应顶点顺序打乱，如△ABC∽△DEF，却错写为AB/DE = BC/DF，忽略“对应边成比例”需严格匹配对应顶点。 二、注意事项总结（2点） 1. 优先挖掘圆的隐含条件：遇圆与相似结合题，先标记“直径所对圆周角为直角”“切线与半径垂直”等条件，再用这些角或边推导相似所需关系。 2. 验证相似的“双向性”：用AA判定相似后，需反向检查角的对应关系是否唯一，避免因圆的对称性导致相似三角形对应关系误判（如一个角对应多个圆周角时）。 例题5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定； （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证； （2）根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定义得出，结合（1）的结论，即可证明； （3）①根据轴对称的性质可得，，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②由①可得，得出，则，设，则，证明得出，则，根据，得出 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴ 又． ∴． （3）①∵点，关于对称，，， ∴， 又∵． ∴ ∴ ∵ ∴ 即，解得：， ∵ ∴ ∴即 解得：； ②由①可得， ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴即 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 一、单选题 1．（24-25九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（　　） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故选：A 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的面积公式得到，由勾股定理求出，判定，推出，求出，即可得到菱形的边长． 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出，判定． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 菱形的边长为． 故选：C． 3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得，根据证明，，，列比例式可求得：和的长，从而得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025年贵州省遵义市初中毕业生（学业）水平检测一模检测数学试卷）如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点P、Q分别在边、上，且．线段与相交于点E，过点E作，交于点F，射线交的延长线于点G，设，给出下列说法： ①当四边形为平行四边形时，； ②； ③当点运动时，四边形的面积始终等于； ④当是以线段为腰的等腰三角形时，最多有四种结果 说法正确的个数是多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①由平行四边形的性质即可求值；②由平行线分线段成比例即可求解其比值；③点P在上运动时，由相似三角形的判定与性质可得与的比始终是，且，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；④以线段为腰，则可能是，也可能是，所以分情况求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴，即． 作，垂足为点N，过E作于M， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，故③正确； 作，垂足为点H，则，， （i）当时，， ∴， 解得， （ii）当时，， 解得或， 综上，当是以为腰的等腰三角形时，x的值为、2或，故④错误， ∴正确的结论有3个． 故选：D． 二、填空题 5．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解． 【详解】解：作交于点H，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，连接，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连接，，设点的运动时间是秒，当直线与坐标轴垂直时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，合理分类讨论是解题的关键． 分类讨论垂直的情况，利用相似三角形和全等三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】①解：当轴时，延长交于点，设与的交点于点，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴，， 又∵， ∴（SSS）， ∴， ∵，； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． ②当轴时，连接，与交于点，设与交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴(ASA)， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 7．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时， ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由折叠知，设，则，再分和两种情况，可证与相似，利用对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，设，则， ∵是直角三角形时， ∴当时， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点P、Q分别为上一动点，将沿折叠得到，点B的对应点是点D，若点D始终在边上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当与相似时， ∵点D始终在边上， 根据折叠， 设，则， ∴分两种情况： ①，此时， ∴， 即， 解得， ∴， ②，此时， ∴， 即， 解得， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）当时，可分别计算出、的长，再对的形状进行判断即可； （2）先证为等边三角形，进而得出四边形是矩形，再分、、三种情况分别列比例式建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下： 当时，，， ， ， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图：过Q作，垂足为E， ∵， ，， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， ∴ ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ∵与以P、R、Q为顶点的三角形相似 ∴当时， ∴，即，解得：； ∴当时， ∴，即，解得：； 当时，不符合题意． 综上，当时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明，利用相似三角形性质即可证明； （2）作于点，延长交于点，利用等腰三角形性质得到，，再结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及垂径定理“知二推三”推出，过圆心，最后结合等腰三角形性质，以及弧、弦、圆心角之间的关系，即可证明； （3）连接，过点作于点，结合圆周角定理，证明，利用相似三角形的性质，得到，设，则，利用勾股定理得到，进而算出，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：作于点，延长交于点， ， ，， ， 过圆心， ， ， ， ； （3）解：连接，过点作于点， ，， ， ， ， 由（2）知，，， ， ， ∴ ， 设，则， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 则． 12．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点D是斜边上的一点，以为直径的圆交边于E，F两点，连结，并且平分． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆内接四边形对角互补结合邻补角得到，由，即可证明相似； （2）先证明，再由相似得到，设，则，在中由勾股定理建立方程求解即可； （3）如图，连结，先证明，则，设，圆O的半径为r，则，证明．则，解得：，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形内接于圆， ∴ ∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：平分， ∴， ∴ ∵， ∴． 设，则 根据勾股定理，得 解得：（舍负）， ∴； （3）解：如图，连结， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 设，圆O的半径为r，则 ∵四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴． ∴， 即， 解得： ∵， ∴， ∴． 13．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知内接于，是的直径，D为圆上一点，是的切线，连结，与交于点E． (1)如图1，延长与交于点F． ①若，求的大小． ②若，求的半径． (2)如图2，，，延长与交于点F，若，求与的面积比． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可； ②利用切割线定理解答即可； （2）过点C作，交的延长线于点H，交于点G，连接，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设，则，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：①连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径； （2）解：过点C作，交的延长线于点H，交于点G，连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴与的面积比． 14．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $