专题03 相似三角形的性质（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形的性质 月录 A题型建模·专项突破 题型一、利用相似三角形对应角相等求角·· 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边..3 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例.......... 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例.9 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题..….10 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用相似三角形对应角相等求角 1.(2526九年级上全国课后作业)若△48C△4"9C,相似比为号且4C=3BC=44B=5,则 A'C'= B'C'= ,AB'= 2.(24-25九年级上河南新乡·期末)如图，在ABC中，CD⊥AB于点D,∠CAD=30°.若 △ABC∽△CBD,则∠CBD的度数为 B 3.(24-25九年级上浙江杭州期中)如图，已知LABC=∠D=90°，AC=10,BC=6,若ABC与 △BDC相似，则BD=」 A a B 4.(24-25九年级上·浙江金华·期中)如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（△ABC∽△EDF),则 ∠ABC+LACB=° 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ------- A 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边 5.(25-26九年级上·福建莆田·阶段练习)已知△ABC∽△DEF,若∠B=40°，∠D=60°，则∠F的度数为 0 6.(25-26九年级上·山东济南阶段练习)如图，若△AED∽△ACB,且AE=6,EB=3,AD=7.则 AC= 6 E 3 B 7.(25-26九年级上·上海阶段练习)在ABC和△ABC,中.己知∠B=∠B,AB=6,BC=8,B,C,=4,则 AB,=时，ABC与△AB,C,相似 8.(2025九年级上·上海·专题练习)在ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,D是边AB上的一点，E是 边AC上的一点(D、E与端点不重合)，如果△CDE与ABC相似，那么CD的长是 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 9.(25-26九年级上·上海阶段练习)已知△ABC∽△A'B'C',顶点A、B、C分别与A八、B、C'对应， D分别是4BC和aAB'C'的角平分线，职=，AB=9,则AB 10.(24-25九年级上·湖南长沙阶段练习)已知两个相似三角形相似比是1：2，那么对应高的比是」 11.(25-26九年级上·全国·课后作业)已知△ABC∽△A'B'C',对应中线的比为2：√5，且BC边上的高为 55,则B'C'边上的高为 12.(24-25九年级下·上海·开学考试)如果两个相似三角形对应高之比是1：9，那么它们的对应中线之比等 于 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 13.(2025·上海徐汇·一模)两个相似三角形的对应面积比为1：2，则其对应周长比为 14.(24-25九年级上江苏淮安期末)若ABC与aDEF的相似比为2：3，且两个三角形的周长之和为45， 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则较大三角形的周长为 15.(24-25九年级上·福建泉州期中)如果两个相似三角形的对应高之比是4：5，则它们的周长之比 是」 16.(24-25九年级上，安徽安庆阶段练习)已知△ABC∽△DEF,若ABC与aDEF的周长比为2：3，则 BC:EF=. 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 17.(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)己知△ABC∽△A'B'C',若AB=4,A'B'=3,则ABC与 △A'B'C'的面积比为_ 18.(25-26九年级上辽宁大连阶段练习)已知ABC与aDEF相似且对应高的比为2：5，则ABC与 △DEF的面积比为 19.(25-26九年级上·上海普陀·阶段练习)如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长 之比为 20.(24-25九年级上·吉林·期中)已知△ABC∽△DEF,且面积比为9：16，则ABC与aDEF的对应角平 分线之比为 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题 21.(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，平行四边形ABCD,DE交BC于F,交AB的延长线于E ,且∠EDB=∠C. D B (I)求证：△ADE∽△DBE; (2)若DE=20cm，BE=16cm,S△D8e=32,求SiBn的值. 22.(辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高. D B (I)求证：△ACD∽△CBD; (2)若AB=8,BD=2,求ABC的面积 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，AB为⊙0直径，C为00上一点，过点C作⊙0的切线， 与AB的延长线交于点D. (I)求证：∠BCD=∠A: (②)若BD=2,CD=4,求AC·BC的值 24.(25-26九年级上重庆阶段练习)已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F. E A B (1) (2) (I)如图(1)，求证：△ABE∽△FCB; (2)如图(1)，若BC=4,求BF·BE的值； 收图2，港结0交C7于G,者C-C的他 DC B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上·浙江湖州·期末)如图，已知△ABC∽△DEF,∠A=35°，则∠D的度数是() B A.35° B.40° C.45° D.55° 2.(25-26九年级上全国·课后作业)如图，在口ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F,连接AF、 EF.若AFI0,AE=8,∠AFE=∠B,则BC的长为() 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.10 B. 25 2 C.102 D.45 3.(25-26九年级上·上海·课后作业)在ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E,ED∥CB交AB于点D, 已知：AD=1,DE=2,则BC的长为() y D 2 B A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2025九年级上全国.专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G,交 AD于点F,交AC于点E,若AF=2FD,则BE的值为() EG G F D E B B.1 c D. 5.(2023八年级下·全国·竞赛)如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区 城可以分成三个全等的梯形。内部三角形的边长是大三角形边长的子：间一个梯形的面积与内部三角形的 面积之比是多少？ A.3:8 B.5:12 C.7:16 D.4:9 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26九年级上北京课后作业)△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,EC=5cm,且DE∥BC,则DE的 长为cm. B 7.(20-21九年级上陕西榆林·期中)已知△ABC∽△DEF,且ABC与△DEF相似比为3：4，若AC=15, 则DF= 8.(24-25七年级下·重庆自主招生)如下图所示，一个直角三角形ABC里面有一个正方形BEDF,且 AB=6,BC=8,则正方形BEDF的面积为 B 9.(2025九年级上·全国.专题练习)如图所示，在△ABC中，DE‖BC,AQ平分∠BAC,交DE于点P, 如果DE=6,BC=8,AQ=12,那么AP的长是 B Q 10.(2026江西·模拟预测)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=8,点M是BC边上一动点，连 接AM,当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），BM的长为一· 三、解答题 11.(25-26九年级上·北京课后作业)已知：如图所示，要在高AD=80mm,底边BC-120mm的三角形余料 中截出一个正方形板材PQMN.求正方形的边长， 6/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P N o DM 12.(23-24九年级上·江苏南通阶段练习)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,连接BD,点E在BD上， 连接CE,若∠1=∠2. A B E (I)求证：△ABDn△EDC. (2)若∠A=125°，BE=BC,求∠DBC的度数. 13.(25-26九年级上浙江温州开学考试)四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BD⊥CD. D A B (I)求证：△ABD∽△DCB. (2)若AB=4,BD=5,求BC的长. 14.(2025浙江·模拟预测)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的平分线交AD延长线于E,交CD 于F E D C A B (I)求证：CB=CF; (2)若AB=5,BC=3,求△DEF与CBF的面积之比. 15.(20-21九年级上·四川泸州期末)已知：如图，在菱形ABCD中，E为CD边上一点，∠AEB=∠C. B D 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABE∽△BEC; (2)若AB=3,求AE·BE的值 16.(22-23九年级下·河南驻马店·期中)如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上， 且∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G, A B (I)求证：BE2=AE.BG; (2)若AB=6,求CG的长。 17.(25-26九年级上·四川成都阶段练习)已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F. 图(1) 图(2) (I)如图(1)，求证：△ABE∽aFCB; (②)如图(1)，若BC=4,求BF·BE的值： (3)如网、连结BD交CF于G，右BG2’水D的值. 18.(23-24九年级上广东揭阳期中)【情境再现】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且DE⊥AF,求证：DE=AF. 【迁移应用】 (2)如图2，在矩形ABCD中，4D=k(k为常数)，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边上，且 AB EG⊥FH,求证： EG =k Fh 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=60°，CD=4,点E、F分别在边AB、BC上， 且CEL DF,F43-6,求AB的长 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D D E A E B F B 图1 图2 图3 9/9 专题03 相似三角形的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用相似三角形对应角相等求角 1 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边 3 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 6 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 8 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 9 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用相似三角形对应角相等求角 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若，相似比为，且，则 ， ， ． 【答案】 5 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质求对应边长是解题的关键．根据相似比为求出对应边长即可． 【详解】解：已知，相似比为，且，，，利用相似比求对应边长 则, , 故答案为：5，，． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，垂直的定义等知识，由相似三角形的性质得出，再根据垂直的定义即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知，，， 若与相似， 则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质和勾股定理，利用分类讨论得出结果是解题的关键． 根据相似三角形的性质当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为或． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（），则 °． 【答案】45 【分析】本题考查相似三角形的性质，找到对应边和对应角是解题的关键．根据相似三角形的对应角相等及三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案是：． 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边 5．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知，若，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，若，且，，．则 ． 【答案】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在和中．已知，则 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意易得或，根据三角形的性质对应边成比例，据此即可求出答案． 【详解】解：，与相似， ∴或， 或， ，，， 或， ∴或． 故答案为：或． 8．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，，是边上的一点，是边上的一点、与端点不重合），如果与相似，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质，需要注意进行分类讨论．分为三种情况进行分析：当，则，，证明，即可解决问题；当，则，，接着证明，利用面积法可计算出；当， ，，证明为斜边上的中线，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， 当，如图， 则，， 为等腰三角形， ， ， ， ， 当，如图， 则，， 而， ， ， ， 当，如图， 则，， ， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴， ， 故答案为：6． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知两个相似三角形相似比是，那么对应高的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形相似比是， ∴对应高的比是， 故答案为： ． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，对应中线的比为，且BC边上的高为，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，特别是相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比． 设边上的高为，则根据相似三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：设边上的高为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的根． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的对应中线之比等于． 故答案为：． 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 13．（2025·上海徐汇·一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）若与的相似比为，且两个三角形的周长之和为，则较大三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质，结合相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：因为与的相似比为， 所以设的周长是，则的周长是， 则， 解得：， 那么较大三角形的周长是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果两个相似三角形的对应高之比是，则它们的周长之比是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应边上高的比比等于相似比直接解题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高之比是， ∴它们的周长之比是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，若与的周长比为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 17．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，若，，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， 与的面积比， ，， 与的面积比为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为. 故答案为：． 19．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 20．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 与对应角的角平分线之比为， 故答案为：． 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题 21．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知， ， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得 ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 23．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 24．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结交于G，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，   ， ， ， ， ，， ， ； （2）四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； （3）延长交于点，   ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为上一点，延长至点，连接、．若，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，再证，然后证，得，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海·课后作业）在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先由平分，可证明，则，长度可求，再证明，由对应边成比例即可求得长度． 【详解】解：， ， 又平分， ， ， ， ， 又， ， ， ∴， ， ，， 即， ． 故选：D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．设，则，证明，则，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：由，可以设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2023八年级下·全国·竞赛）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似，利用相似图形的相似比求对应的面积比是解题的关键，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：延长、和相交于点，如下图所示： 四边形为等腰梯形， ， 在和中， ， ． ， ，， ， ， 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·北京·课后作业）中，，，，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质和判定， 由，可得，即可求得，又由，，，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）已知，且与相似比为，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可解得答案． 【详解】解：，且与相似比为， ， ， ． 故答案为：20． 8．（24-25七年级下·重庆·自主招生）如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理与相似三角形的判定与性质，灵活的运用相关知识是解题的关键． 在直角三角形中根据勾股定理可得，设正方形的边长为x，则，，，利用正方形的性质可知，，则可证得，利用相似比可得，由此求解出正方形的边长，再计算其面积即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ， 设正方形的边长为x， 则，，， 在正方形中， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 正方形的面积为：． 故答案为：． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 10．（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知：如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．求正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，再证出四边形是矩形，则可得，，然后证出，根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：正方形的边长为． 12．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理求出的值，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵，， ∴． （2）解：在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于 (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，得到根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ∽， 15．（20-21九年级上·四川泸州·期末）已知：如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是利用相似三角形对边相等的性质． （1）根据菱形的对边平行，可得出，结合即可证明两三角形相似； （2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出． 【详解】（1）证明：在菱形中， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 16．（22-23九年级下·河南驻马店·期中）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键． （1）由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论； （2）由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，求得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形为正方形，且， ． ． ， ， 即； （2）解：四边形为正方形， ． 又为边的中点， ． 在Rt中，， 由（1）知 即， ， ． 17．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，求解即可； （3）过点作于点，证明和，根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）在矩形中，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）过点作于点，如图所示， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴，即， ∴， ∴． 18．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $