第八章 5 教材拓展13 阿波罗尼斯圆（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦阿波罗尼斯圆这一高考解析几何核心考点，围绕轨迹方程求解及圆的性质综合应用，按定义阐释、典例精析、分层训练的逻辑架构知识点。通过考点梳理明确轨迹问题转化方法，方法指导教授坐标法化简技巧，真题训练强化高考题型应对，帮助学生系统突破轨迹问题难点。 资料采用问题驱动教学法，结合坐标法与几何直观培养学生数学眼光和逻辑推理能力，如引导学生从距离比条件抽象出圆的轨迹并对比λ值差异深化理解。分层练习覆盖选择、填空、解答题，配合即时反馈保障复习效果，助力学生快速掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

　阿波罗尼斯圆 1.若点A，B为两定点，动点P满足｜PA｜＝λ｜PB｜，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆. 2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐，此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解. 已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹. 解：如图所示， 设动点M(x，y)，连接MO，MA，有｜MA｜＝2｜MO｜， 即＝2， 化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4， 则方程即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆. 已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，求点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值. 解：设C(x，y)，则＝， 即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3， 所以点C的轨迹是以(2，0)为圆心，为半径的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2， 所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2－. 对点练.(1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则｜PA｜2＋｜PB｜2的最大值为(　　) A.16＋8 B.8＋4 C.7＋4 D.3＋ (2)(多选题)在平面直角坐标系中，M(－2，0)，N(1，0)，A(3，1)，｜PM｜＝｜PN｜，设点P的轨迹为C，下列说法正确的是(　　) A.轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝12 B.△PMN面积的最大值为 C.｜AP｜的最小值为4 D.若直线y＝2x＋1与轨迹C交于D，E两点，则｜DE｜＝ (3)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，圆O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P点分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B.若满足｜PB｜＝2｜PA｜的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(1)A　(2)BD　(3) 解析：(1)由题意，设A(－1，0)，B(1，0)，P(x，y)，因为＝，所以＝，即(x－2)2＋y2＝3，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，半径为的圆，因为｜PA｜2＋｜PB｜2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8，即｜PA｜2＋｜PB｜2的最大值为16＋8.故选A. (2)设点P(x，y)，因为｜PM｜＝｜PN｜，所以＝×，化简得(x－4)2＋y2＝18，故A错误；当点P纵坐标的绝对值最大时，△PMN面积最大，此时S△PMN＝×3×3＝，故B正确；设轨迹C的圆心为G，半径为r，所以G(4，0)，r＝3，点A在圆内，所以｜AP｜min＝r－｜AG｜＝3－＝2，故C错误；设圆心到直线y＝2x＋1的距离为d，则d＝，｜DE｜＝2＝，故D正确.故选BD. (3)设点P坐标为P(x，y)，因为｜PB｜＝2｜PA｜，所以｜PB｜2＝4｜PA｜2，即｜PO1｜2－4＝4(｜PO｜2－1)，则(x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，整理得3x2＋3y2＋8x－16＝0. 法一：该方程表示圆心为，半径为的圆.因为点P有且只有两个，所以直线和圆相交，故＜，解得b∈. 法二：因为P在直线x＋y－b＝0上，所以y＝－x＋b，代入3x2＋3y2＋8x－16＝0，得4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0.因为点P有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ＞0，整理得3b2＋8b－80＜0，解得b∈. 学科网（北京）股份有限公司 $