第二章 15 教材拓展5 嵌套函数的零点问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考热点“嵌套函数的零点问题”，涵盖a[f(x)]²＋bf(x)＋c型与f(f(x))或f(g(x))型两大核心题型，以“换元解套”为核心方法，通过拆解复合函数、结合图象性质构建知识体系。教学流程包含考点分类梳理、解题策略提炼、真题典例精讲及分层对点练习，帮助学生系统突破函数零点个数判断与参数范围求解难点。 资料采用“题型分类—策略建模—分层训练”三阶教学法，创新运用换元转化与数形结合，引导学生用数学眼光观察函数图象特征，用数学思维推理零点分布逻辑。例如题型二通过设t=f(x)将f(f(x))=k转化为f(t)=k与t=f(x)的根的个数问题，结合图象直观分析，高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

嵌套函数的零点问题 函数的零点问题是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或求参数范围，常考查二次函数与复合函数相关的零点问题，与函数的图象、性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”， 再将复合函数拆解为两个相对简单的函数，最后借助函数的图象、性质求解. 题型一　a[f(x)]2＋bf(x)＋c型 (1)已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－bf(x)＋1＝0有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是　　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1，f'(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示.因为g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，令t＝f(x)，由g(x)＝0，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.当t＝，即f(x)＝时有3个解，则g(x)有3个零点；当t＝3，即f(x)＝3时有1个解，则g(x)有1个零点.综上，g(x)共有4个零点.故选B. (2)作出函数f(x)的图象如图所示.令t＝f(x)，则关于x的方程[f(x)]2－bf(x)＋1＝0有8个不同的实数根等价于方程t2－bt＋1＝0在(0，4]上有2个不同的正根，所以解得2＜b≤，则实数b的取值范围是. a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的处理策略 1.先作出函数f(x)的图象. 2.对a[f(x)]2＋bf(x)＋c进行换元解套. 3.数形结合解决问题. 对点练1.(1)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋a2－1恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0)∪(1，2) B.(－1，1)∪(3，＋∞) C.(－1，0)∪[1，2) D.(－1，1]∪(3，＋∞) 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为当x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝f(x－2)＋1，所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象.同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象.再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示，令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点.故选C. (2)画出f(x)的大致图象如图所示.令g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋a2－1＝0，得f(x)＝a－1或f(x)＝a＋1.设f(x)＝t，由图可知，当t＜0或t＞2时，t＝f(x)有且仅有1个实根，当t＝0或1≤t≤2时，t＝f(x)有2个实根，当0＜t＜1时，t＝f(x)有3个实根，则g(x)恰有4个不同的零点等价于解得－1＜a＜0或1≤a＜2，则实数a的取值范围为(－1，0)∪[1，2).故选C. 题型二　f(f(x))或f(g(x))型 (1)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1的根的个数为(　　) A.7 B.5 C.3 D.2 (2)设函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝若函数h(x)＝g(f(x))－a有6个不同的零点，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：(1)A　(2)(2，3] 解析：(1)令u＝f(x)，先解方程f(u)＝1.①当u≤1时，则f(u)＝2u－1＝1，得u1＝1.②当u＞1时，则f(u)＝｜ln(u－1)｜＝1，即ln(u－1)＝±1，解得u2＝1＋，u3＝1＋e.作出函数f(x)的图象，如图， 直线u＝1，u＝1＋，u＝1＋e与函数u＝f(x)图象的交点个数分别为3，2，2，所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.故选A. (2)函数h(x)的零点即为方程h(x)＝0的解，也即g(f(x))＝a的解.令t＝f(x)，则原方程的解变为方程组的解.作出函数y＝f(x)和直线y＝t的图象如图①所示.作出y＝g(x)的图象如图②所示.由图可知，当t＞－1时，有两个不同的x与之对应，当t＝－1时，有一个x与之对应，当t＜－1时，没有x与之对应.由有6个不同的解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于－1.作出函数y＝g(t)和直线y＝a的图象如图②所示.当a∈(2，3]时满足要求.综上，实数a的取值范围为(2，3]. f(f(x))或f(g(x))型的处理策略 1.换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点. 2.依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 对点练2.(1)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝k的实数根的个数至多是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)已知函数f(x)＝g(x)＝｜x(x－2)｜，若方程f(g(x))＋g(x)－m＝0的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1)B　(2)(－∞，1) 解析：(1)设t＝f(x)，则f(f(x))＝k化为f(t)＝k. 又f(x)＝所以f(0)＝－3＝f(－2)＝f，f(－1)＝－4＝f，函数f(x)的大致图象如图所示.由图可得，当k＞－3时，f(t)＝k有两个根t1，t2，且t1＜－2，t2＞，即f(x)＜－2或f(x)＞，此时方程f(f(x))＝k最多有5个根；当－4＜k≤－3时，f(t)＝k有三个根t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，＜t3≤，即－2≤f(x)＜－1或－1＜f(x)≤0或＜f(x)≤，此时方程f(f(x))＝k最多有6个根；当k＝－4时，f(t)＝k有两个根t1，t2，且t1＝－1，t2＝，即f(x)＝－1或f(x)＝，此时方程f(f(x))＝k有4个根；当k＜－4时，f(t)＝k有一个根t，且0＜t＜，即0＜f(x)＜，此时方程f(f(x))＝k有2个根.综上，方程f(f(x))＝k的实数根的个数至多为6.故选B. (2)令t＝g(x)，t≥0，则f(t)＋t－m＝0，即f(t)＝m－t.在同一平面直角坐标系中作出y＝f(t)与y＝m－t的图象如图①所示，作出y＝g(x)的图象如图②所示，由图可知，当m＞1时，y＝f(t)与y＝m－t的图象有1个交点，设交点横坐标为t1，则t1＞1，由t1＝g(x)，结合图②可知，此时y＝t1与y＝g(x)的图象有2个交点，即原方程有2个实根，且两根之和为2，不符合题意；当m＝1时，y＝f(t)与y＝m－t的图象有2个交点，设交点横坐标为t2，t3，且有t2＝0，t3＝1，结合图②可知，由t2＝g(x)，得x1＝0，x2＝2，由t3＝g(x)，得x3＝1，x4＋x5＝2，故原方程有5个实根，且5根之和为5，不符合题意；当m＜1时，y＝f(t)与y＝m－t的图象有2个交点，设交点横坐标为t4，t5，且有t4＜0，0＜t5＜1，结合图②可知，当t4＝g(x)时无解，当t5＝g(x)时，y＝t5与y＝g(x)的图象有4个交点，即原方程有4个实根，且4根之和为4，符合题意.综上，实数m的取值范围为(－∞，1). 学生用书⬇第56页 学科网（北京）股份有限公司 $