第一章 5 教材拓展1 不等式链与柯西不等式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考不等式专题核心考点，系统整合基本不等式链与柯西不等式知识，按“概念梳理-题型突破-应用强化”逻辑架构展开。通过考点解析明确考查要求，结合2025年模拟真题精讲典型问题，配套分层对点练巩固方法，助力学生构建知识网络，突破应用难点。 资料突出实战导向与素养培养，创新采用“题型示例-思维拆解-即时反馈”教学模式。如在柯西不等式最值问题中，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过对比不同解法培养逻辑推理能力，分层练习适配不同水平学生，帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生应试能力。

不等式链与柯西不等式 题型一　基本不等式链 若a＞0，b＞0，则 ≤ ，当且仅当a＝b时等号成立. 其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数. (多选题)(2025·河南南阳模拟)已知正数m，n满足＋＝，则(　　) A.mn B.m2＋n2≥2 C.m＋n D.∃m，n∈(0，＋∞)，mn 答案：AD 解析：对于A，＋＝2，则mn，当且仅当m＝n＝时等号成立，故A正确；对于B，应用重要不等式得m2＋n2≥2mn(m＝n时取得等号)，由A中mn，当m＝n＝时取得等号，得m2＋n2≥2mn≥2×＝1，即m2＋n2的最小值为1，与m2＋n2≥2矛盾，故B错误；对于C，因为＋＝，则×＝×＝1，m＋n＝×(m＋n)＝×，其中＋2＝2，当且仅当m＝n＝时取得等号，则m＋n，即m＋n的最小值为，且m＋n＝＜，故C错误；对于D，mn⇔4mn⇔4mn＋，且＋＝，得mn＋≤2，而mn＋2＝2，当且仅当mn＝1时等号成立，即∃m，n∈(0，＋∞)，mn＝1，＝mn，故D正确.故选AD. 对点练1.(1)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.＋ C. D. (2)(多选题)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)因为a，b为互不相等的正实数，所以＋＞，＜＝＜，＜ ＝＜，所以最大的是＋.故选B. (2)对于A，由均值不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由＝＝，得＋，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ＝，得a2＋b2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤ ＝，得＋，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 题型二　柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立. 2.三维形式的柯西不等式 (＋＋)(＋＋)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当＝＝时，等号成立. (1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为　　　　. (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为　　　　. 答案：(1)13　(2) 解析：(1)由柯西不等式，得(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，所以x2＋y2≥13，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时取等号. (2)由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c＝时，＋＋. 对点练2.(1)实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－5 B.－6 C.3 D.4 (2)若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) A.14 B. C.29 D. 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以＋＝1，所以(16＋9)≥(2x＋y)2，即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y，即时，左边取等号，当时，右边取等号，所以z＝2x＋y的最小值是－5.故选A. (2)由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立，所以x2＋y2＋z2的最小值为.故选B. 学生用书⬇第13页 学科网（北京）股份有限公司 $