专题02 三角函数的实际应用 8大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题02 三角函数的实际应用 8大高频考点概览 考点01 仰角俯角问题 考点02 坡度坡角问题 考点03 仰俯角与坡度问题结合 考点04 方位角问题 考点05 生活实际物体问题 考点06 跨学科问题 考点07 古代文化相关问题 考点08 其他问题 地 城 考点01 仰角俯角问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时，，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁丹东·期末)“黄海明珠”丹东塔屹立在元宝山上，为全市之最．设计者将塔顶设计为球型，象征着丹东这座东北东部现代化沿海城市犹如一颗璀璨的明珠在祖国的东方冉冉升起，因此冠名“黄海明珠”．某天，测量小组位于点处进行测量，此时测得测量点到塔底点距离米，顶端的仰角为，则塔高为（   ）米． A． B． C． D． 3．(24-25九上·辽宁名校联盟·期末)如图，一个人在距离旗杆底部处仰视旗杆顶部，测得点B关于点D的仰角为，若该人的身高为，则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图1是旅顺博物馆广场中心的中苏友谊纪念塔，某综合实践小组要测量该塔的高度．如图2，中苏友谊纪念塔与地面垂直，在点D处用测角仪测得塔尖B的仰角，然后沿水平方向向前移动5m到达点C处，在点C处用测角仪测得塔尖B的仰角．已知于点D，于点C，，测角仪的高． (1)________m； (2)求中苏友谊纪念塔的高度．（精确到0.1m，参考数据，，）． 5．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)我国无人机在全球范围内处于领先地位，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端A的俯角为，面向方向继续飞行5米到达Q点，测得该建筑物底端B的俯角为，已知建筑物的高为3米，求无人机飞行的高度（结果保留根号形式）． 6．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图是大连森林动物园内的海达索道，大连能看到海的索道．如图是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点为莲花山观景台，点是海达索道在南门的停靠点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离． (1)求点到山脚的距离； (2)求的长（结果精确到）．（参考数据：） 7．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图是小明绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点均在同一平面内，小明在家测量时的位置在点处，点到地面的距离m，想要测量高度的楼房是，小明在点处测得地面上一点的俯角是，楼房的最高点的仰角是，图中，，点在上，点到的距离m，请根据以上小明测得的数据，计算出楼房的高度．（结果精确到1m，参考数据：） 8．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）． 9．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，） 10．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，） 11．(24-25九上·辽宁大连三十九中学·期末)中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 任务1 求敬闲亭的高度的长． 任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长． 12．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果保留根号）？ 地 城 考点02 坡度坡角问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（    ）    A．米 B．30米 C．米 D．10米 2．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，梯子和靠墙摆放，其中比较陡的梯子是（    ） A． B． C．一样陡 D．无法比较 3．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 4．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（    ）    A．米 B．20米 C．米 D．30米 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则 米． 6．(23-24九上·辽宁沈阳和平区·期末)2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度为 米． 地 城 考点03 仰俯角与坡度问题结合 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 2．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．    (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 3．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 4．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)如图，建筑物后有一座假山，其坡度，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离，与凉亭距离，小明从建筑物顶端测得E点的俯角为，求建筑物的高度． 5．(23-24九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A沿着坡面到山脚的距离，铁塔B沿着坡面到山脚的距离，坡面与山脚水平线的夹角，坡面与山脚水平线的夹角． (1)求铁塔A到山脚水平线的距离； (2)若从铁塔A看铁塔B的俯角为10°，求铁塔A与铁塔B的距离的长（结果精确到1m）．（参考数据：，，，，，，） 地 城 考点04 方位角问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（    ） A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ． 三、解答题 4．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)某景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点在点正南方，点在点正东方，，点在点的北偏西方向，，点在点正北方且在点正东方．    (1)求的距离（结果精确到m）； (2)小华和小亮同时从游客中心点出发，前往点处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿 到达点后，立即骑行到达点，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达点？（参考数据：） 5．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 6．(23-24九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的D处． (1)求C处距离辽宁舰有多远； (2)求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）． （参考数据：，，；，，） 7．(23-24九上·辽宁丹东凤城·期末)如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 8．(23-24九上·辽宁阜新太平区·期末)为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（，，）    (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 地 城 考点05 生活实际物体问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．（结果保留根号）（参考数据：，，） 3．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，求： (1)的长度（结果精确到米）． (2)铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，） 4．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）    5．(24-25九上·辽宁本溪·期末)如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，可绕点O旋转，O是的中点，测得厘米．（参考数据：，，） (1)正常放置时，，求此时点A到的距离； (2)如图3，绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）． 6．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)图是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图的滑板车或图的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； (2)如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：，，） 7．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)某小区门口安装了汽车出入道闸，当道闸关闭时如图1，四边形为矩形，长3米，长1米．，与水平地面垂直，点到地面的距离长为0.2米．在道闸打开的过程中如图2，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．一辆轿车想要通过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至时，轿车能安全通过道闸？请说明理由．（参考数据：，，） 8．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． (1)求此时液压杆的长度； (2)若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 9．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，． (1)如图③，A处离地面多高？ (2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，） 10．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．    素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 (1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 11．(23-24九上·辽宁辽阳·期末)某体育馆的篮球架是可升降的，其侧面示意图如图2，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于地面，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．某幼儿园要在此体育馆举行趣味篮球赛，将点调至离地面的高度在之间方符合要求．现工作人员借用调节伸缩臂，将由调节为，试问工作人员调完后是否符合要求？若符合，请求出此时点离地面的高度；若不符合，请说明理由．（参考数据：，，） 地 城 考点06 跨学科问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁名校联盟·期末)在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为．将按照题干所述方式分解为和，与绳和地面的位置关系如图所示．若，绳子与水平方向成角为． (1)求绳子运动的速度和的大小； (2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为，绳子由滑轮到人的距离为，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：，，） 2．(23-24九上·辽宁盘锦兴隆台区第一完全中学·期末)如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 地 城 考点07 古代文化相关问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，表的长为米．求圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 地 城 考点08 其他问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，学校内的一块空地四边形用来做劳动实践地． 数学实践小组通过测量，获得相关数据，，，，，，．学校准备先开辟面积为的地块用来种植蔬菜，点E为边上一点． (1)求的长； (2)剩余空地的面积是多少？（结果精确到，参考数据： 2．(24-25九上·辽宁朝阳朝阳一中联盟校·期末)如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． (1)求河的宽度； (2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的实际应用 8大高频考点概览 考点01 仰角俯角问题 考点02 坡度坡角问题 考点03 仰俯角与坡度问题结合 考点04 方位角问题 考点05 生活实际物体问题 考点06 跨学科问题 考点07 古代文化相关问题 考点08 其他问题 地 城 考点01 仰角俯角问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时，，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 在中，, ∴（m）， ∴机与指挥台的距离为m， 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁丹东·期末)“黄海明珠”丹东塔屹立在元宝山上，为全市之最．设计者将塔顶设计为球型，象征着丹东这座东北东部现代化沿海城市犹如一颗璀璨的明珠在祖国的东方冉冉升起，因此冠名“黄海明珠”．某天，测量小组位于点处进行测量，此时测得测量点到塔底点距离米，顶端的仰角为，则塔高为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形应用——仰俯角问题．熟练掌握仰角概念，正切定义，是解题的关键． 根据正切定义解答，逐一判断即得． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁名校联盟·期末)如图，一个人在距离旗杆底部处仰视旗杆顶部，测得点B关于点D的仰角为，若该人的身高为，则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数中正切函数的应用，通过构建直角三角形，利用正切函数求出相关线段的长度，进而得到旗杆的高度．解题的关键是理解仰角的概念，并能正确运用三角函数关系进行计算． 【详解】过点B，做，交与H， 在直角三角形中，， 根据正切函数的定义，，即，所以 ， 旗杆的高度等于人的身高加上的长度，即． 故选：C． 二、解答题 4．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图1是旅顺博物馆广场中心的中苏友谊纪念塔，某综合实践小组要测量该塔的高度．如图2，中苏友谊纪念塔与地面垂直，在点D处用测角仪测得塔尖B的仰角，然后沿水平方向向前移动5m到达点C处，在点C处用测角仪测得塔尖B的仰角．已知于点D，于点C，，测角仪的高． (1)________m； (2)求中苏友谊纪念塔的高度．（精确到0.1m，参考数据，，）． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意直接求解； （2）延长交于点N，可得四边形，都为矩形，则 ，由得，在Rt中，故，则，解得，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：5； （2）解：由题意，得，． ∴． ∵，， ∴，     延长交于点N， ∵， ∴，． ∴，． ∴四边形，都为矩形．     ∴，． ∵， ∴． ∴．     在Rt中，， ∴． 即． ∴． ∵，，    ∴． ∴．    ∴． 答：中苏友谊纪念塔的高度约为．     5．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)我国无人机在全球范围内处于领先地位，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端A的俯角为，面向方向继续飞行5米到达Q点，测得该建筑物底端B的俯角为，已知建筑物的高为3米，求无人机飞行的高度（结果保留根号形式）． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数的定义，并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长，，相交于点，由题意可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，由可得，解方程即可求出的值，进而求得无人机飞行的高度． 【详解】解：如图，延长，，相交于点， 由题意可得：，则， 又， ， ， ， 设， ，， ，， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 无人机飞行的高度为米． 6．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图是大连森林动物园内的海达索道，大连能看到海的索道．如图是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点为莲花山观景台，点是海达索道在南门的停靠点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离． (1)求点到山脚的距离； (2)求的长（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)点到山脚的距离约为 (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， 在中，， ， 答：点到山脚的距离约为； （2）解：如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：的长约为． 7．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图是小明绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点均在同一平面内，小明在家测量时的位置在点处，点到地面的距离m，想要测量高度的楼房是，小明在点处测得地面上一点的俯角是，楼房的最高点的仰角是，图中，，点在上，点到的距离m，请根据以上小明测得的数据，计算出楼房的高度．（结果精确到1m，参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，含角的直角三角形，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键．过点作于点，可得四边形是矩形，在中，，可得（负值舍去），，在中，运用仰俯角解直角三角形可得的值，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高度为． 8．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，可得． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 9．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】分别求出的长，即可求出结果． 本题主要考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键． 【详解】解：在中， 在中， ∴， ∴速度为 答：这枚火箭从A到B的平均速度为． 10．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，） 【答案】40.4米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，得然后在中，得的值，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点， 为的中点， ， 由题意得：， 在中，． ， ， 在中，， ， （米） 塔高的值为40.4米． 11．(24-25九上·辽宁大连三十九中学·期末)中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 任务1 求敬闲亭的高度的长． 任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长． 【答案】任务1：敬闲亭的高度的长约为；任务2：敬闲亭底面圆的半径的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务1：延长交于点F，根据题意可得：，，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； 任务2：设与相交于点S，根据题意可得：，，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：任务1：延长交于点F， 由题意得：，，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴敬闲亭的高度的长约为； 任务2：如图：设与相交于点S， 由题意得：，， ∴， ∴敬闲亭底面圆的半径的长约为． 12．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果保留根号）？ 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 在直角三角形中和直角三角形中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：如图， 由题意可得， ，，米，， 在中，，米， （米）， 在中，，米， （米）， （米）， 答：这栋楼的高度约为米． 地 城 考点02 坡度坡角问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（    ）    A．米 B．30米 C．米 D．10米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是银师的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：迎水坡的坡度， ， 米， 米， 由勾股定理得：（米， 故选：A． 2．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，梯子和靠墙摆放，其中比较陡的梯子是（    ） A． B． C．一样陡 D．无法比较 【答案】A 【分析】比较和的正切值可得答案． 此题考查了锐角三角函数的定义，掌握相关三角函数的定义是关键． 【详解】解：∵ ， ∵ ∴， ∴梯子比较陡． 故选：A． 3．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 作，作，根据题意可知，进而得出 ，，然后根据勾股定理求出，即可得出，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】如图所示，过点B作，过点C作，交于点E，F， 根据题意可知，， ∴，． 在中，， 根据勾股定理，得， 解得． ∴， 则． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（    ）    A．米 B．20米 C．米 D．30米 【答案】A 【分析】由堤高米，迎水坡AB的坡比，根据坡度的定义，即可求得AC的长． 【详解】∵迎水坡AB的坡比， ∴， ∵堤高米， ∴(米). 故选A. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡比的定义，掌握坡比的定义是解题的关键． 根据坡比的定义，代入数据即可解答． 【详解】解：迎水坡的坡比为，米， ，即， 解得：（米）， 故答案为：． 6．(23-24九上·辽宁沈阳和平区·期末)2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查坡度和勾股定理，由可得，设，，根据勾股定理求出，再根据长度求出k值，即可求解． 【详解】解：由题意知（米）， 扶梯的坡度， ， 设，， 则， ， （米）， 故答案为：． 地 城 考点03 仰俯角与坡度问题结合 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)10米 (2)约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过作，根据比例设，结合勾股定理求出，即可得到答案； （2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过作， ∵的坡比， 设， ∴在中，， ∴， ∴； 答：小李从斜坡走到处高度上升了10米． （2）解：延长角的水平边交于则， 在中，， 设， 在中，， ， ∵四边形是矩形， ， 又∵， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度为米． 2．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．    (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 【答案】(1)3m (2)塔的高度约为 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为．    根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 4．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)如图，建筑物后有一座假山，其坡度，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离，与凉亭距离，小明从建筑物顶端测得E点的俯角为，求建筑物的高度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键．过点作延长线于，过点作于点，根据，坡度为，分别求出、的长度； 在中求出，继而可得建筑物的高. 【详解】解：过点作延长线于，过点作于点，则四边形BHEF为矩形， ，， 在中， ， ∴ 又， ，， ， ， 在中， ， 答：楼房的高为． 5．(23-24九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A沿着坡面到山脚的距离，铁塔B沿着坡面到山脚的距离，坡面与山脚水平线的夹角，坡面与山脚水平线的夹角． (1)求铁塔A到山脚水平线的距离； (2)若从铁塔A看铁塔B的俯角为10°，求铁塔A与铁塔B的距离的长（结果精确到1m）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)铁塔A到山脚水平线的距离约为128.6m； (2)铁塔A到铁塔B的距离的长约为440m． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的概念和直角三角形问题中的常见视角；掌握利用锐角三角函数求线段长的方法及运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法是解题关键． （1）过A作交延长线于E，利用锐角三角函数就可以求出所要求的结果． （2）过B作交的延长线于F，过A作交的延长线于H，则四边形为矩形，再利用锐角三角函数求出，，最后求出． 【详解】（1）解：如下图，过A作交延长线于E， ，， ， ． 在中，， ． 答：铁塔A到山脚水平线的距离约为128.6m． （2）如上图，过B作交的延长线于F，过A作交的延长线于H， 则， 四边形为矩形， ． ， ； ， 在中，， ， ． 在中，， ． 答：铁塔A到铁塔B的距离的长约为440m． 地 城 考点04 方位角问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（    ） A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【详解】∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向， ∴∠BAP=37°， ∵AP=40海里， ∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里； 故选D． 2．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长． 【详解】解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m． 则AB=OA=100m． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D． 根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°， 设AD=x米，在Rt△ACD中，tan∠ACD=， ∴CD===x， 在Rt△ABD中，tan∠ABC=， ∴BD===x， ∴BC=CD+BD=x+x=80， ∴x=． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角． 三、解答题 4．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)某景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点在点正南方，点在点正东方，，点在点的北偏西方向，，点在点正北方且在点正东方．    (1)求的距离（结果精确到m）； (2)小华和小亮同时从游客中心点出发，前往点处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿 到达点后，立即骑行到达点，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达点？（参考数据：） 【答案】(1)的距离约为米 (2)小亮先到达点 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． （1）设的延长线交于点，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可； （2）在直角中，求解米，在直角中，求解米，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设的延长线交于点，    由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，， 在直角中， ，米， （米）， 米， 在直角中， ，米， （米）， （米）， 答：的距离约为米； （2）在直角中， ，米， （米）， 在直角中， ，米， （米）， 米， 小华到达点所花时间为 ， 小亮到达点所花时间为 ， ， 小亮先到达E点． 5．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【答案】(1)有触礁危险 (2)没有触礁危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解； （2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解； 熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于，如图： （海里）， 设， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 答：渔船继续向东航行，有触礁危险． （2）过点于，如图：    由（2）得：（海里）， 在中，，，海里， ， 答：没有触礁危险． 6．(23-24九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的D处． (1)求C处距离辽宁舰有多远； (2)求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）． （参考数据：，，；，，） 【答案】(1)C处距离辽宁舰约有 (2)D处距离辽宁舰约有 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）在中，根据计算即可． （2）在中，根据计算即可． 【详解】（1）由题意：，，，． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：C处距离辽宁舰约有． （2）在中， ∵， ∴． 答：D处距离辽宁舰约有． 7．(23-24九上·辽宁丹东凤城·期末)如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点作于点，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 8．(23-24九上·辽宁阜新太平区·期末)为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（，，）    (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海监船继续向正东方向航行是安全的 【分析】（1）在中，求出的度数即可解决问题； （2）作于E．求出 的值即可判定； 【详解】（1）解：由题意得，，， ， （2）解：由（1）可知， （海里） 过点作于点，    在中，（海里） ∵ 海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 地 城 考点05 生活实际物体问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】摆动一步的路程约为0.8米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：过点C作于点H， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得，， （米）， 答：摆动一步的路程约为0.8米． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，先根据在Rt中，，，且结合勾股定理列式计算得，，运用线段的和差关系得，然后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于点． 在Rt中，，， 则设， ∴， 则， ∴， 解得（负值已舍去） ，， ，， ， ． 3．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，求： (1)的长度（结果精确到米）． (2)铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，） 【答案】(1)的长度约为米； (2)铁架垂直管的长度约为米． 【分析】（）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出； （）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出； 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ∴米， 在中，米，， 则（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：在中，米，， 则（米）， 在中，米，， 则（米）， ∴（米， 答：铁架垂直管的长度约为米． 4．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）    【答案】操作平台C离地面的高度为7.6m． 【详解】分析：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可． 详解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，    易得四边形AHEF为矩形， ∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°， ∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°， 在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=， ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）， 答：操作平台C离地面的高度为7.6m． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算． 5．(24-25九上·辽宁本溪·期末)如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，可绕点O旋转，O是的中点，测得厘米．（参考数据：，，） (1)正常放置时，，求此时点A到的距离； (2)如图3，绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）． 【答案】(1) (2)厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点D，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数求出的长； （2）作于点E，根据在中，可求，然后在中，，即可解答． 【详解】（1）解：作于点D， ∴． ∵O是中点且， ∴． 在中，，， ∵， ∴． 答：点到的距离是4． （2）作于点E，∴． 在中，，， ∵， 又∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∴． 答：点在竖直方向上升的高度约为2.1厘米． 6．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)图是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图的滑板车或图的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； (2)如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由题意可知，根据三角函数定义即可得到结论； （2）过点作于点，过点作于点，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意可知：，点是的中点，，， ， ， 在中，， ； （2）解：过点作于点，过点作于点， ， 由题意知， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 7．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)某小区门口安装了汽车出入道闸，当道闸关闭时如图1，四边形为矩形，长3米，长1米．，与水平地面垂直，点到地面的距离长为0.2米．在道闸打开的过程中如图2，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．一辆轿车想要通过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至时，轿车能安全通过道闸？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】能通过，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，从而可得，当米时，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行比较即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：轿车能安全通过道闸， 理由：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， ， 当米时，则（米， 在中，（米， 米， 米， （米， 米米， 轿车能安全通过道闸． 8．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． (1)求此时液压杆的长度； (2)若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)3米 (2)伸长到的最大长度为6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； （2）由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 9．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，． (1)如图③，A处离地面多高？ (2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先证明，在中，再根据即可求解； （2）过点B作于点E，过点B作于点F，则可得四边形是矩形，即有，，根据，，可得，即有，在中，，根据即可求解． 【详解】（1）解：连接，图， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中， ， 即A处离地面； （2）解：过点B作于点E，过点B作于点F，图②， 根据题意有：，则可得四边形是矩形， 即有，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴ ． 答：的长度约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确题意，找准对应关系，灵活运用三角函数是解答本题的关键． 10．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．    素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 (1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1，过作于，   ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． （2）解：过作于，过作于，   ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 11．(23-24九上·辽宁辽阳·期末)某体育馆的篮球架是可升降的，其侧面示意图如图2，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于地面，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．某幼儿园要在此体育馆举行趣味篮球赛，将点调至离地面的高度在之间方符合要求．现工作人员借用调节伸缩臂，将由调节为，试问工作人员调完后是否符合要求？若符合，请求出此时点离地面的高度；若不符合，请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】工作人员调完后符合要求，此时点离地面的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的性质应用；过点作于点，过点作于点，在中，得出，过点作于点，过点作于点，解得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵，点离地面的高度为． ∴ 在中，， ∴ 如图所示，将由调节为，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ ∴工作人员调完后符合要求，此时点离地面的高度越为 ． 地 城 考点06 跨学科问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁名校联盟·期末)在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为．将按照题干所述方式分解为和，与绳和地面的位置关系如图所示．若，绳子与水平方向成角为． (1)求绳子运动的速度和的大小； (2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为，绳子由滑轮到人的距离为，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)绳子的速度为， (2)绳子长度为 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的性质． （1）以，，，标记矩形的四个顶点，由题意可得：，，，，，根据，，即可求解； （2）延长交墙壁于．设绳子与滑轮的切点为，由题意得：，，，根据求出，再根据绳子长度为，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，以，，，标记矩形的四个顶点． ，，，，． 在中，，， ． 在中，，， ， 绳子的速度为，； （2）延长交墙壁于．设绳子与滑轮的切点为． 由题意得：，，， 在中， ， ． ． 答：绳子长度为． 2．(23-24九上·辽宁盘锦兴隆台区第一完全中学·期末)如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 【答案】(1)米 (2)4米 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】（1）解：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； （2）解：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为4米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 地 城 考点07 古代文化相关问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，表的长为米．求圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长约为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．根据和的正切值，求出和，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， 在中，，， ， 米， 在中，，， ， 米， （米） 答：圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长约为米． 地 城 考点08 其他问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，学校内的一块空地四边形用来做劳动实践地． 数学实践小组通过测量，获得相关数据，，，，，，．学校准备先开辟面积为的地块用来种植蔬菜，点E为边上一点． (1)求的长； (2)剩余空地的面积是多少？（结果精确到，参考数据： 【答案】(1) (2)约 【分析】本题考查直角三角形三边关系，锐角三角函数解直角三角形等． （1）过点作于点，继而得，，再利用面积列式即可； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，继而得，再利用三角函数得，再利用面积关系列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：． 2．(24-25九上·辽宁朝阳朝阳一中联盟校·期末)如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． (1)求河的宽度； (2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)（30+30）米； (2)20米． 【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． 【详解】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E， 设CE＝x米， ∵CD＝60米， ∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝30+30， 经检验：x＝30+30是原方程的根， ∴AE＝（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米， ∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $