专题06 线段动点问题精练6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题06 线段动点问题精练 目录 典例详解 类型一、求线段长度 类型二、求两点的相遇时间 类型三、求两点满足特定距离时的时间 类型四、求线段之间的数量关系 类型五、定值问题 类型六、动点中的“新定义” 压轴专练 类型一、求线段长度 【例1】已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ； （2）解：假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ， 故答案为：． 【例2】如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 【变式1-1】如图，点、分别为线段（端点A、除外）上的两个不同的动点，点在点的右侧，图中所有线段的和等于60cm，且，则的长度是（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【详解】∵图中所有线段的和等于60cm， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用数形结合的思想是解题关键． 【变式1-2】已知，，点C为射线上一个动点，点E，F分别是的中点． (1)如图，若点C在线段上，且，求的长度； (2)若点C在线段的延长线上，求的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）∵E是线段的中点， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， 若点C在线段上，且， ∴， 则； （2）如图，若点C在线段的延长线上， ， 故EF的长度为：8． 【点睛】本题考查两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的关系是解题的关键． 【变式1-3】点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 类型二、求两点的相遇时间 【例3】如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点， (1)图中共有_______条线段 (2)求线段的长度 (3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？ 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，图中的线段有、、、、、、、、、， 共有10条线段， 故答案为：10； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ ； （3）解：假设经过，P，Q两点相遇，根据得，， ∴， 解得， 所以经过，P，Q两点相遇． 【例4】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为，，．动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点表示的数是__________，点表示的数是__________； (2)若点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的长度为__________； (3)①求当为何值时，． ②请直接写出当，相遇时的值为__________，此时，在数轴上表示的数为__________． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②， 【分析】 【详解】（1）解：∵点表示的数为，，，点在点的左侧，点在店的右侧， ∴点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，． （2）解：∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴ ∴ （3）解：①点的运动时间为秒， 依题意，点表示的数为：， ∵ ∴， 解得：或； 故答案为：或． ②依题意，点表示的数为 当，相遇时 解得： 此时 故答案为：，． 【变式2-1】如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 【变式2-2】如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【答案】(1)2． (2)． 【分析】 【详解】（1）解： ，，且为最大的负整数， ，，． 由题意，得，． 为的中点， ， 即， 解得． 的值为2． （2）解：根据题意，得，，． 当点，相遇时，由， ，解得． 当，相遇时，． 【变式2-3】如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 【答案】(1)再经过4秒后 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：设再经过秒后， 由题意得：， 解得， 答：再经过4秒后． （2）解：要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间为秒或秒， ①当点旋转秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； ②当点旋转5秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； 综上，点运动的速度为或． 类型三、求两点满足特定距离时的时间 【例5】如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例6】如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒 (1)线段_____； (2)当点运动到线段的延长线上时，_____；（用含的代数式表示） (3)如图2，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度； (4)当点从点出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动．当点到点和点的距离和为10时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可知，； 故答案为：． （2）由点的运动可知，， ， 当点运动到的延长线时； 故答案为：； （3）解：∵当秒时，则，， ∴ 点是的中点，点是的中点， ∴， ． （4）∵，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线的方向向右运动， ，当时运动到点， ∴当时，点在线段上， ∴，， ∵点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动． ∴ ∵点到点和点的距离和为10 ∴，即 解得： 当时，在线段的延长线上 当在点的右侧时，， ∴ 解得： 综上所述：或 【变式3-1】如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 【变式3-2】如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)线段的中点表示的数为，线段的长度为； (2)或； (3)或或． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴秒后，两点表示的数为，两点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的长度为； （2）解：（秒），（秒）， 由题意可得，当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点恰好是线段的中点有两种情况： 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，当的值为或时，点恰好是线段的中点； （3）解：由（）可得， 当时，， 此时只能，即，解得， 而当时，， 此时，即，解得或， ∴的值为或或． 【变式3-3】如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 类型四、求线段之间的数量关系 【例7】如图，已知线段，，作线段，使得． (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向左匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②若点为的中点，点为的中点，当点在线段上运动时，且点在点的左侧时，试猜想线段与之间的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)①或；② 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①由题意得，，， 当点相遇前时，则， 解得； 当点相遇后时，则， 解得； 综上，当 时，的值为或； ②，理由如下： 如图，由①知，，， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 即． 【例8】已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)仍然成立，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴仍然成立． 【变式4-1】如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 【变式4-2】（1）计算：； （2）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题． ①作射线； ②作直线与射线相交于点； ③分别连接、； ④我们容易判断出线段与的数量关系是__________，理由是____________________． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；③见解析；④；两点之间，线段最短 【分析】 【详解】解：（1） （2）①如图，射线即为所求； ②如图，即为所求； ③如图，线段、即为所求； ④线段与的数量关系是， 理由是两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短． 【变式4-3】已知：如图，点是线段上一定点，cm，、两点分别从A、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则_________ ； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为________． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故的长度为； （2）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 故答案为：6； （3）解：①当点N在线段上时，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵，， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 类型五、定值问题 【例9】如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【例10】在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 【变式5-1】如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 【变式5-2】如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【分析】 【详解】（1）解：， 点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：， 故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ， 解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， ， 线段的长度为10． 【变式5-3】已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 类型六、动点中的“新定义” 【例11】定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【分析】 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 【例12】定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】 【详解】解：如图所示： ∵，点K为线段的中点， ∴， ∴， ∵点Q是折线的“折中点”， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式6-1】定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 【变式6-2】定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 【答案】2或6 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ，， ； 故答案为2或6． 【变式6-3】定义：如图，点C把线段分成两条线段和，若，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点；由图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，也满足，点D叫做线段的黄金“左割”点．如果，那么约为（   ） A．1.382 B．0.764 C．0.472 D．0.236 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 1．定义：C是线段上的一点，若点C将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点C是线段的“圆满分割点”．已知，P、Q分别是线段的“圆满分割点”，则的长是 ． 【答案】2或4 【详解】解：∵，P是线段的“圆满分割点”， ∴或 ∵Q线段的“圆满分割点”， ∴， ∴或， 综上所述：的长是2或4， 故答案为：2或4． 2．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 3．按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②；③不论取何值(小于)，的长不变， 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． ③设， ∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 4．如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4 【分析】 【详解】（1）解：点C在线段上， ∵，， ∴； 点C在线段的延长线上， ∵，， ∴ ∴． 综上分析可知：或30． （2）解：①点Q在点D的左侧， 依题意有， 解得； 点Q在点D的右侧， 依题意有， 解得． 综上分析可知：当t为1或5时，； ②根据题意可知： ∵点D在线段上，， ∴， 点P，R相遇时， ， 解得， 点P，R相遇前，即当时，，， ， 点P，R相遇后，即当时，，， ， 综上可得； 当时，， ； 点P到达点B时，， 解得， 当点P到达点B前，即当时，， 当点P到达点B后，即当时，， 综上可得； 点P，R相遇前，即当时， ， ， 点P，R相遇后，即当时， ， ， 综上可得； 当时，分三种情况： 当点P，R相遇前，即当时， 依题意有， 解得； 当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时， 依题意有， 解得（舍去）； 当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时， 依题意有， 解得． 综上分析可知：或4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和线段的和差，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 5．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：若点C是中点，则， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴． ∴不论取何值（不超过），的长不变． 6．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 7．如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 8．如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7 (2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【分析】 【详解】（1）解：设出发x秒后， ，，， 由题意得，， 解得：； 故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点， ，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 9．学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）； (2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)， (2)不发生变化．其值为7 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，都等于7；理由如下： ∵①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 10．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． 11．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 12．如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：运动时间是， 当，，， 若，则， 解得：； （2）解：点停止运动时，用的时间为秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 秒 ∵ 点不能追上点； （3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时， ，解得：． 当、均在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时 ，解得：或（舍）． 综上所述：或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 线段动点问题精练 目录 典例详解 类型一、求线段长度 类型二、求两点的相遇时间 类型三、求两点满足特定距离时的时间 类型四、求线段之间的数量关系 类型五、定值问题 类型六、动点中的“新定义” 压轴专练 类型一、求线段长度 【例1】已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【例2】如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【变式1-1】如图，点、分别为线段（端点A、除外）上的两个不同的动点，点在点的右侧，图中所有线段的和等于60cm，且，则的长度是（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【变式1-2】已知，，点C为射线上一个动点，点E，F分别是的中点． (1)如图，若点C在线段上，且，求的长度； (2)若点C在线段的延长线上，求的长度． 【变式1-3】点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 类型二、求两点的相遇时间 【例3】如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点， (1)图中共有_______条线段 (2)求线段的长度 (3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？ 【例4】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为，，．动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点表示的数是__________，点表示的数是__________； (2)若点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的长度为__________； (3)①求当为何值时，． ②请直接写出当，相遇时的值为__________，此时，在数轴上表示的数为__________． 【变式2-1】如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【变式2-2】如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【变式2-3】如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 类型三、求两点满足特定距离时的时间 【例5】如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【例6】如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒 (1)线段_____； (2)当点运动到线段的延长线上时，_____；（用含的代数式表示） (3)如图2，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度； (4)当点从点出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动．当点到点和点的距离和为10时，求的值． 【变式3-1】如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【变式3-2】如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【变式3-3】如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 类型四、求线段之间的数量关系 【例7】如图，已知线段，，作线段，使得． (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向左匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②若点为的中点，点为的中点，当点在线段上运动时，且点在点的左侧时，试猜想线段与之间的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由． 【例8】已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【变式4-1】如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题． ①作射线； ②作直线与射线相交于点； ③分别连接、； ④我们容易判断出线段与的数量关系是__________，理由是____________________． 【变式4-3】已知：如图，点是线段上一定点，cm，、两点分别从A、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则_________ ； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为________． 类型五、定值问题 【例9】如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【例10】在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【变式5-1】如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【变式5-2】如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【变式5-3】已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 类型六、动点中的“新定义” 【例11】定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【例12】定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为 ． 【变式6-1】定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【变式6-2】定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 【变式6-3】定义：如图，点C把线段分成两条线段和，若，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点；由图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，也满足，点D叫做线段的黄金“左割”点．如果，那么约为（   ） A．1.382 B．0.764 C．0.472 D．0.236 1．定义：C是线段上的一点，若点C将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点C是线段的“圆满分割点”．已知，P、Q分别是线段的“圆满分割点”，则的长是 ． 2．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 4．如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 5．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 6．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 7．如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 8．如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 9．学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）； (2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 10．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 11．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 12．如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $