专题4.3 指数函数与对数函数的关系（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.3 指数函数与对数函数的关系 教学目标 1．理解反函数概念及指数、对数函数的反函数关系 2．掌握反函数的核心性质与求法步骤 3．能运用性质解决图像对称、定义域值域互化问题 教学重难点 重点：反函数的定义、指数与对数函数的反函数关系 难点：反函数的求解（含定义域值域转化） 知识点01 反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有_______的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的_______与_______，然后从中求出y得到． 【即学即练】 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．  B．  C．  nnD．   知识点02 反函数的性质 若函数的反函数记作_______，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的_______，的值域是的_______。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线_______呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性_______。 【即学即练】 函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点03 求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的_______。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的_______筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号_______，得到，其定义域需依据原函数的_______确定，不可随意设定。 【即学即练】 若函数的反函数为，则的解析式为 ． 知识点04 指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线_______对称。 【即学即练】 已知指数函数的反函数的图象经过点，则 . 题型01 反函数存在的条件 【例1】下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各图中，存在反函数的函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数存在反函数，则实数a的取值范围是 ． 【变式1-3】已知函数，，判断其是否存在反函数.若存在，求出反函数；若不存在，说明理由. 紧扣“定义域内任意对应唯一”，即原函数是一一映射（既单射又满射） 02 求反函数的解析式 【例3】若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数与的图象关于对称，求的解析式. 【变式2-1】若一个对数函数的反函数图象经过点，则此反函数解析式 . 【变式2-2】把的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，则函数的解析式为 . 【变式2-3】已知函数，函数是定义在区间上的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． 题型03 过定点问题 【例5】已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 【例6】函数（且）的反函数过定点 ． 【变式3-1】已知函数是函数的反函数，则过定点 . 【变式3-2】已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为 . 【变式3-3】已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则 . 利用“原函数与反函数图像关于对称”，先找原函数过的定点，再求其关于的对称点，即为反函数的定点。 题型04 反函数含参问题 【例7】若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为 ． 【例8】若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【变式4-1】已知函数与互为反函数，函数的图像与的图像关于轴对称，若，则实数的值为 . 【变式4-2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为 【变式4-3】设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为 ． 利用原函数与反函数的定义域、值域互逆，以及图像关于对称的性质，建立参数满足的等式或不等式。 题型05 反函数的定义域问题 【例9】若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【例10】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（    ） A． B．R C． D． 【变式5-1】函数反函数的定义域为 . 【变式5-2】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】函数的值域是或，则此函数的定义域为 . 题型06 反函数的值域问题 【例11】函数的反函数的值域是 ． 【例12】已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若为函数的反函数，则的值域是 ． 【变式6-2】已知函数，且过点，若的反函数为，则的值域为 . 【变式6-3】设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 题型07 反函数的图象 【例13】若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【例14】函数的反函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若函数的图象位于第一、二象限，则它的反函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 【变式7-2】如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数，则函数的大致图象是(　　　) A． B． C． D． 题型08 反函数与单调区间 【例15】奇函数的反函数是，函数在上是减函数，则函数在上是 A．增函数 B．减函数 C．非单调函数 D．常数函数 【例16】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】函数是定义在上的减函数，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【变式8-2】若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 【变式8-3】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的单调减区间为 题型09 指数函数与对数函数的综合应用 【例17】（多选）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【例18】已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式9-1】方程的实根是 ． 【变式9-2】设是函数的反函数图象上不同的三点，如果满足等式的实数有且仅有一个，求实数的取值范围． 【变式9-3】设． (1)判断函数的单调性并证明； (2)若的反函数为，求证：有唯一解； (3)解关于的不等式：． 一、单选题 1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 3．设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 6．已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 二、多选题 7．已知函数和，以下结论正确的有（    ） A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称 8．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（    ） A． B．， C．函数在定义域内是减函数 D．函数的值域为 三、填空题 9．已知函数（且）的反函数图像经过点，则 ． 10．若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 ． 11．已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则 ． 四、解答题 12．求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3)（或）． 13．已知 (1)求的反函数； (2)若 ，求a的值. (3)如何作出满足（2）中条件的的图像 14．已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求x的取值范围． 15．已知函数的反函数是，且函数的图像与函数的图像关于点对称． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上有意义，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 指数函数与对数函数的关系 教学目标 1．理解反函数概念及指数、对数函数的反函数关系 2．掌握反函数的核心性质与求法步骤 3．能运用性质解决图像对称、定义域值域互化问题 教学重难点 重点：反函数的定义、指数与对数函数的反函数关系 难点：反函数的求解（含定义域值域转化） 知识点01 反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 【即学即练】 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．  B．  C．  nnD．   【答案】D 【详解】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x. 对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错； 对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错； 对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错； 对于D，满足反函数的定义，D对. 故选：D 知识点02 反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 【即学即练】 函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 知识点03 求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 【即学即练】 若函数的反函数为，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】由， 得， 将互换得，， 且函数的值域为R， 因此，函数， 故答案为：． 知识点04 指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 【即学即练】 已知指数函数的反函数的图象经过点，则 . 【答案】 【详解】解：设指数函数， 因为指数函数的反函数的图像经过点， 所以指数函数的图像过点， 所以，解得， 所以， 所以， 故答案为： 题型01 反函数存在的条件 【例1】下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误. 故选：A 【例2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：若函数在上存在反函数， 则函数在上单调即可， 又因为函数在上递减，在上递增， 所以，所以. 故选：B. 【变式1-1】下列各图中，存在反函数的函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域， 所以要有反函数，则的定义域与值域建立一一对应关系，结合各个选项的图形，选项C满足题意， 故选：C. 【变式1-2】已知函数存在反函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 若函数存在反函数，则在定义域内和上单调， 又，显然时，满足题意. 因此，实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式1-3】已知函数，，判断其是否存在反函数.若存在，求出反函数；若不存在，说明理由. 【答案】不存在 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当时，有两个的值和与之相对应， 所以函数，不存在反函数. 紧扣“定义域内任意对应唯一”，即原函数是一一映射（既单射又满射） 02 求反函数的解析式 【例3】若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设指数函数且，点在的图象上， 所以，解得. 所以，故反函数. 故选：A 【例4】已知函数与的图象关于对称，求的解析式. 【答案】 【解析】由题意得与互为反函数，根据反函数的定义即可求出答案． 【详解】∵函数与的图像关于对称， 与互为反函数， 而， ． 【点睛】本题主要考查反函数的求法，同底的指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题． 【变式2-1】若一个对数函数的反函数图象经过点，则此反函数解析式 . 【答案】 【详解】根据题意，所求反函数为指数函数，故可设， 又其图象过点，则，解得（舍）或，故. 故答案为：. 【变式2-2】把的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】把y＝2x的图象向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到函数y＝2x﹣2﹣1的图象，即f﹣1（x）＝2x﹣2﹣1，据此可得函数f（x）的解析式为y＝log2（x+1）+2． 故答案为：y＝log2（x+1）+2． 【点睛】本题考查函数图象的平移变换，反函数的概念及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 【变式2-3】已知函数，函数是定义在区间上的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以当时，， 因为是定义在区间上的奇函数，所以时，， 当时，，所以， 所以. 【点睛】本题考查了求反函数的解析式，考查了根据奇函数求函数解析式，属于基础题. 题型03 过定点问题 【例5】已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】 【详解】是函数的反函数， 所以， 所以的图象经过的定点. 故答案为：. 【例6】函数（且）的反函数过定点 ． 【答案】 【详解】对于函数（且），令，即，所以， 即函数（且）恒过点， 所以函数（且）的反函数恒过点. 故答案为： 【变式3-1】已知函数是函数的反函数，则过定点 . 【答案】 【详解】函数是函数的反函数， 又函数过定点所以函数过定点. 故答案为： 【变式3-2】已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为 . 【答案】 【详解】因为（且）过定点且函数和函数（且）互为反函数， 所以恒过定点的坐标为. 故答案为：. 【变式3-3】已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则 . 【答案】8 【详解】函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为，又的反函数过点，所以函数过点，所以，解得，所以. 故答案为：8 利用“原函数与反函数图像关于对称”，先找原函数过的定点，再求其关于的对称点，即为反函数的定点。 题型04 反函数含参问题 【例7】若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为 ． 【答案】1 【详解】函数的反函数的图像过点，所以函数图像过点，则，解得． 故答案为：1 【例8】若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上， 所以点在函数的图象上， 所以， 即， 解得， 所以． 故答案为：． 【变式4-1】已知函数与互为反函数，函数的图像与的图像关于轴对称，若，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为函数与互为反函数，所以，又因函数的图像与的图像关于轴对称，所以 由可解得 故答案为： 【变式4-2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为 【答案】1 【详解】由得， 即，即的反函数为， 因为函数的图象关于直线对称， 故与为同一函数， 故， 故答案为：1 【变式4-3】设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为 ． 【答案】1 【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称 ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：1nn 利用原函数与反函数的定义域、值域互逆，以及图像关于对称的性质，建立参数满足的等式或不等式。 题型05 反函数的定义域问题 【例9】若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 【例10】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（    ） A． B．R C． D． 【答案】C 【详解】∵当时，， ∴函数，的值域为， 又与互为反函数互为反函数， 故的定义域为. 故选：C. 【变式5-1】函数反函数的定义域为 . 【答案】 【详解】当时，单调递增，可知． 所以反函数的定义域为． 故答案为：． 【变式5-2】函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴函数的值域为， ∵的定义域即函数的值域， ∴的定义域为． 故选：C 【变式5-3】函数的值域是或，则此函数的定义域为 . 【答案】 【详解】，其中或， 当时,是减函数,此时， 当时,是减函数,此时， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 题型06 反函数的值域问题 【例11】函数的反函数的值域是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域满足, 解得,即定义域为 根据互为反函数的两个函数定义域与值域关系可知,函数的反函数的值域即为函数的定义域 所以函数的反函数的值域为 故答案为: 【点睛】本题考查了反函数的性质及简单应用,属于基础题. 【例12】已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数过点，则，解得， ∴，的反函数为，得， 由，∴的定义域为，当，有，则的值域为. 故选：D 【变式6-1】若为函数的反函数，则的值域是 ． 【答案】 【详解】由反函数的值域为原函数的定义域， 而中，即， 故反函数的值域为. 故答案为： 【变式6-2】已知函数，且过点，若的反函数为，则的值域为 . 【答案】 【详解】∵函数，且过点, ∴，即，又，且， ∴，， ∵，即，∴， ∵的反函数为，则的值域为. 故答案为：. 【变式6-3】设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以可得或， 所以的定义域为或， 因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得， 所以的定义域为， 因为函数图象与函数图象关于直线对称， 所以与互为反函数， 故的值域即为的定义域. 故选：. 题型07 反函数的图象 【例13】若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 【例14】函数的反函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以函数的反函数为， 函数的图象可由反比例函数的图象向左平移一个单位得到，从选项得知B满足， 故选：B. 【变式7-1】若函数的图象位于第一、二象限，则它的反函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 【答案】D 【详解】由题意，函数的图象位于第一、二象限， 因为函数和反函数的图象关于对称， 可得反函数的图象位于第一、四象限. 故选：D. 【点睛】本题主要考查反函数的性质的应用，其中解答中互为反函数的两个函数的关系是解答的关键，属于基础题. 【变式7-2】如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，函数的反函数是， 这是一个在上的单调递增函数，且，所以只有选项C的图像符合. 故选：C. 【变式7-3】已知函数，则函数的大致图象是(　　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以，其图象可由的图象向右平移一个单位得到， 故选:C． 题型08 反函数与单调区间 【例15】奇函数的反函数是，函数在上是减函数，则函数在上是 A．增函数 B．减函数 C．非单调函数 D．常数函数 【答案】A 【详解】因为函数的反函数是， 且在上是减函数， 而和关于对称， 所以在上单调性相同， 所以可得在上是减函数， 而是奇函数，所以在上也是减函数， 而的图像与的图像，关于轴对称， 所以在上是增函数， 故选项. 【点睛】本题考查原函数与反函数的图像之间的关系，奇函数图像的特点，函数的对称变换，属于简单题. 【例16】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵函数与的图象关于直线对称， ∴函数是的反函数，则， ∴， 由，解得， 令，， 在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减， ∴的单调增区间为． 故选：A． 【变式8-1】函数是定义在上的减函数，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】C 【详解】为上的减函数     与图象关于对称    在上为减函数 在上为增函数 故选 【点睛】本题考查反函数性质的应用，关键是明确函数与其反函数在对称区间内单调性相同，同时原函数的定义域为其反函数的值域，原函数的值域为其反函数的定义域. 【变式8-2】若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数， 令，解得：， 可知的定义域为， 则在上递增，在上递减， 利用复合函数的单调性可知： 在上递减，在上递增. 故答案为：. 【变式8-3】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的单调减区间为 【答案】（0,1） 【详解】由题意函数f（x）的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，所以函数f（x）是的反函数即f（x）＝， 即f（2x﹣x2）＝，令2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2， 又f（x）＝是减函数，t＝2x﹣x2在（0，1）上增，在（1，2）上减， 由复合函数的单调性知，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）， 故答案为：（0,1）． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性以及单调区间的求法．对于复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”． 题型09 指数函数与对数函数的综合应用 【例17】（多选）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D， 则，， 又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称， 可知点，D两点关于对称，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，则， 取倒数有，即，故B错误； 对于选项C：由得，当且仅当时取等号， 由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 令，可知在区间上单调递减， 所以，故D正确； 故选：ACD. 【例18】已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由可得：， 又由可得：。 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 【变式9-1】方程的实根是 ． 【答案】2025 【详解】令，则函数单调递增，且， 因此函数与函数互为反函数，则与函数的交点在直线上， 因此，故， 故，解得， 故答案为：2025 【变式9-2】设是函数的反函数图象上不同的三点，如果满足等式的实数有且仅有一个，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】的反函数为，则，，， 由得，故， 此方程等价于， （1）当，即时，方程有唯一实根，符合题意； （2）当，即时，方程有两个实根， 显然且满足条件，从而，解得， 而时，点重合，矛盾，所以. 综上，实数的取值范围为. 【变式9-3】设． (1)判断函数的单调性并证明； (2)若的反函数为，求证：有唯一解； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1)在上是减函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以的定义域为，任取， 则， 则，又， 且， 所以，所以，所以， 所以在上是减函数． （2）因为，所以，即有一个根， 假设还有一个根，则， 因为，所以，所以与假设相矛盾． 所以是的唯一解． （3）因为，所以， 又因为在上单调递减，所以， 则，得， 所以或． 故不等式的解集为：. 一、单选题 1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为， 又在函数的图象上，故，解得， 故选：. 2．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【详解】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 3．设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的反函数的图象经过点， 所以，函数的图象经过点， 所以，，可得，解得. 故选：A. 4．已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是的反函数， 所以， 则， 则，解得， 所以函数的定义域为，故排除AB； 令，在上是减函数， 而函数是减函数， 所以函数在上是增函数，故排除C. 故选：D. 5．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 6．已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】因为， 且函数的定义域为，则为奇函数， 因为均为上的单调增函数，则也为上的增函数， 根据函数与反函数关于直线对称， 则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数， 故在上单调递增，且的关于点对称， 因为，则， 即其最大值与最小值之和为. 故选：A. 二、多选题 7．已知函数和，以下结论正确的有（    ） A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称 【答案】ABD 【详解】A选项，注意到，则其与函数互为反函数，故A正确； B选项，函数定义域为，值域为R.函数定义域为R，值域为.故B正确； C选项，当时，两函数均在定义域内单调递减.当时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误； D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 8．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（    ） A． B．， C．函数在定义域内是减函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，令，，故点在函数的图象上， 由的图象关于直线对称，则也在函数的图象上，故，得，故， 由可得，故函数的图象关于对称，A正确； 对于B，函数中，，，B正确； 对于C，函数在、上单调递减，在定义域上不单调，C错误； 对于D，， 因为，则，可得，故，D正确， 故选：ABD． 三、填空题 9．已知函数（且）的反函数图像经过点，则 ． 【答案】1 【详解】由函数（且）的反函数图像经过点， 可得原函数的图像经过点， 代入可得，且，即， 则. 故答案为： 10．若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 ． 【答案】（或） 【详解】因为函数，且函数与函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 令，解得，所以的定义域为， 又在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上单调递增， 所以的单调递减区间为（或， 故答案为：（或）． 11．已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则 ． 【答案】或 【详解】由已知函数的图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数， 则函数在其定义域上不同的处的取到的函数值也不相同. 如图,结合反比例函数的图像和性质与旋转情况可得, 当，可得函数，其存在反函数； 当，可得函数，其存在反函数； 当，且时， 将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数，必存在平行于轴的直线与函数的图象有两个交点（例如下图情况中的）， 即函数，在其定义域上存在，，使. 故不存在反函数，不满足题意. 综上所述，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则或. 故答案为：或. 四、解答题 12．求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3)（或）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由得， 所以函数的反函数为． （2）由得， 对，两边同时取以2为底的对数，得， 所以函数的反函数为． （3）由得． 当时，，得，即； 当时，，得，即． 故函数（或）的反函数为 13．已知 (1)求的反函数； (2)若 ，求a的值. (3)如何作出满足（2）中条件的的图像 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由得. ∴的反函数为 （2）若，即，化简得，解得. （3）当时，， 只需要将反比例函数图像向右平移2个单位，再向上平移2个单位，即得图象，故图象如下： 14．已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）的图象过点，则，即，∴（负值舍去）， ∴， 由得，所以； （2）在定义域内是减函数， 因此由得，解得． 15．已知函数的反函数是，且函数的图像与函数的图像关于点对称． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上有意义，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由得． 又函数的图像与函数的图像关于点对称，则， 于是． （2）由（1）的结论，有． 要使有意义，必须又，故． 由题设在上有意义，所以，即． 于是，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $