第七章 随机变量及其分布 章末重构拓展-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中概率统计核心知识，系统梳理条件概率、全概率公式，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及二项分布、超几何分布、正态分布的应用，形成从基础概念到公式运用再到综合测评的递进式学习支架。 资料以青团抽取、铅球比赛等生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过分步推导全概率公式、构建分布列等过程培养逻辑推理与数学运算素养，借助符号表达与表格呈现发展数学语言能力。课中助力教师高效授课，课后综合测评帮助学生巩固知识、查漏补缺。

(对应学生用书第73页) 类型1　条件概率与全概率公式 (1)求条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法： ①定义法，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝． ②借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝． (2)理解全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)中化整为零的计算思想． (3)掌握条件概率与全概率公式，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 【例1】　“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1 000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”． (1)求从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率； (2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，求从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率． [解]　(1)设事件A＝“从甲箱中取出一个‘青团’是蛋黄馅”，则P(A)＝． (2)设事件B＝“甲箱中取出的第一个‘青团’是蛋黄馅”，事件C＝“取出的第二个‘青团’是肉馅”， 则P(C|B)＝＝＝． (3)设事件D＝“从乙箱取出的‘青团’是蛋黄馅”． 设事件A1，A2，A3分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”、肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”， 则P(D)＝P(A1)P(D|A1)＋P(A2)P(D|A2)＋P(A3)P(D|A3) ＝×＋×＋×＝． 类型2　离散型随机变量的分布列、 期望与方差 (1)均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛． (2)掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与数学运算的核心素养． 【例2】　(1)现有7张卡片，分别写有数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________． (2)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． ①估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； ②设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)． (1)　[由题意知P(ξ＝2)＝． ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝， P(ξ＝4)＝， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝．] (2)[解]　①设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A． 因为比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖，甲以往的比赛成绩中达到9.50 m以上(含9.50 m)的有9.80 m，9.70 m，9.55 m，9.54 m，共4个， 所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)＝0.4． ②X的所有可能取值为0，1，2，3． 由①知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)＝0.4． 设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B，C， 则P(B)＝0.5，P(C)＝0.5． P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.5)＝0.15， P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5×(1－0.5)＋(1－0.4)×(1－0.5)×0.5＝0.4， P(X＝2)＝0.4×0.5×(1－0.5)＋0.4×(1－0.5)×0.5＋(1－0.4)×0.5×0.5＝0.35， P(X＝3)＝0.4×0.5×0.5＝0.1， 所以E(X)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4． 类型3　两种特殊概率分布的均值与方差 (1)两种特殊概率分布的均值与方差： ①若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 特别地，若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X服从参数M，n，N的超几何分布，则E(X)＝． (2)掌握二项分布与超几何分布的均值与方差，提升数据分析、数学运算的核心素养． 　二项分布的均值、方差 【例3】　假设某种人寿保险规定：若投保人没活过65岁，则保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取其中的4个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司支出给这4人的总金额为Y万元．参考数据：0.94＝0.656 1． (1)求X的分布列及均值，并写出Y与X的关系； (2)求P(Y≥22)． [解]　(1)由于每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，因此X服从二项分布，即X～B(4，0.9)，则P(X＝k)＝0.9k×(1－0.9)4-k(k＝0，1，2，3，4)，故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.000 1 0.003 6 0.048 6 0.291 6 0.656 1 E(X)＝4×0.9＝3.6． 因为4个投保人中，活过65岁的人数为X，所以没活过65岁的人数为4－X，因此Y＝10(4－X)＋4X， 即Y＝40－6X(X＝0，1，2，3，4)． (2)由Y≥22，得40－6X≥22，即X≤3， 所以P(Y≥22)＝P(X≤3)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1－P(X＝4)＝1－0.656 1＝0.343 9， 所以P(Y≥22)＝0.343 9． 【教师·备选题】 【例3】　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分，未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ [解]　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”． ∵P(X＝5)＝×＝， ∴P(A)＝1－P(X＝5)＝， ∴这两人的累计得分X≤3的概率为． (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)， 由已知得，X1～B，X2～B， ∴E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝， ∴E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝． 即E(2X1)>E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大． 　超几何分布的均值、方差 【例4】　某学院为了调查本校学生2024年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，…，[25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数不低于20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数不低于20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y)． [解]　(1)由题图可知，健康上网天数低于20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75， 所以这40名学生中健康上网天数不低于20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10(名)． (2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2， 且Y服从超几何分布， 所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×＝． 类型4　正态分布的应用 (1)解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点： ①注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率． ②注意数形结合，由于正态密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题． (2)掌握正态分布的实际应用问题，提升数据分析、数学建模的核心素养． 【例5】　新高考改革后部分省份采用“3＋1＋2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门． (1)若按照“3＋1＋2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数． (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4 000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N(245，552)． ①估计4 000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人(结果保留到个位)； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． [解]　(1)甲、乙两名学生必选语文、数学、外语． 若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种， 在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门， 则有＝6(种)，共2×6＝12(种)； 若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有＝48(种)， 所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12＋48＝60(种)． (2)①设此次网络测试的成绩记为X，则X～N(245，552)． 由题知μ＝245，σ＝55，μ＋2σ＝245＋110＝355，μ－σ＝245－55＝190， 则P(190≤X≤355)＝0.682 7＋≈0.818 6， 所以4 000×0.818 6＝3 274.4≈3 274(人)． 所以估计4 000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3 274人． ②不可信． μ＋3σ＝245＋3×55＝410＜425， 则P(X＞μ＋3σ)＝＝0.001 35， 4 000名学生中成绩大于410分的约有4 000×0.001 35＝5.4人， 这说明4 000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 章末综合测评(二)　随机变量及其分布 (时间：120分钟　满分：150分) (对应学生用书第183页) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．重复n次成功概率为p的伯努利试验，其成功次数X的分布为(　　) A．伯努利分布　 B．二项分布　 C．超几何分布 　 D．正态分布 B　[重复n次成功概率为p的伯努利试验，其成功次数X的分布为二项分布． 故选B．] 2．设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X＜2a－1)＝P(X＞a＋3)，则实数a＝(　　) A．　　　 B．1 C．2　　　 D．4 C　[因为X～N(4，σ2)，且P(X＜2a－1)＝P(X＞a＋3)， 所以＝4，解得a＝2．故选C．] 3．下表是离散型随机变量ξ的概率分布列，则P(ξ≥2)＝(　　) ξ 1 2 3 4 P A．　　　 B． C．　　　 D． B　[由离散型随机变量ξ的概率分布得， ＋＋＋＝1，且0≤≤1， 解得a＝2， ∴P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝1)＝1－＝． 故选B．] 4．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． B　[已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为，所以3位患者中恰有1位患者被治愈的概率为P＝××＝．故选B．] 5．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<1)＝0.1，则P(3≤X≤5)＝(　　) A．0.1 　 B．0.2 C．0.3 　 D．0.4 D　[因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)， 所以正态曲线关于直线x＝3对称， 又P(X<1)＝0.1，所以P(X>5)＝0.1， 则P(3≤X≤5)＝＝＝0.4．故选D．] 6．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A，B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为，B部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏(只考虑A、B两个易损部分)的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． A　[事件E：第一次打击后就有部位损坏，事件F：A，B两个部位都损坏， 则P(E)＝1－＝，P(EF)＝×＝， 所以P(F|E)＝＝． 故选A．] 7．记A，B为随机事件，已知P(B)＝，P＝，P＝，则P(A＋B)＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． D　[记P(A)＝x，由全概率公式有P()＝P(A)·P(|A)＋P()P()， 代入数据有(1－x)，解得x＝， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(A)P(B|A)＝1－(1－P(|A))＝． 故选D．] 8．下列说法正确的是(　　) A．随机变量X～B(3，0.2)，则P(X＝2)＝0.032　 B．某人在7次射击中，击中目标的次数为X且X～B(7，0.8)，则当X＝5时概率最大　 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件　 D．从除颜色外完全相同的10个红球和20个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 D　[由二项分布的概率公式可得P(X＝2)＝(0.2)2×0.8＝0.096，故A错误； 在7次射击中，击中目标的次数为X且X～B(7，0.8)， 当X＝k时，对应的概率为P(X＝k)＝·(0.8)k·(0.2)7-k， 当k≥1时，＝，由≥1可得1≤k≤，k∈N*， 即当k＝6时概率最大，故B错误； 至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误； 设摸出红球的个数为k，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4，5)， 故满足超几何分布，故D正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量X，Y，其中Y＝3X＋1，已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m n 若E(X)＝3，则(　　) A．m＝ C．E(Y)＝10　　 D．D(Y)＝21 AC　[由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3，可得m＋4n＝0.7， 由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，可得m＋n＝0.4， 从而得m＝0.3，n＝0.1，故A正确，B错误； E(Y)＝3E(X)＋1＝10，故C正确； 因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6， 所以 D(Y)＝9D(X)＝23.4，故D错误． 故选AC．] 10．已知一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有(　　) A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 ABD　[恰有1个白球的概率P＝＝，故A正确； 每次任取1个球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故B正确； 设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}， 则P(A)＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝，故C错误； 每次取到红球的概率p＝， 所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为＝，故D正确．故选ABD．] 11．某企业有A，B两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：A生产线的产品质量指标值X～N(83，36)，B生产线的产品质量指标值Y～N(80，25)．已知A生产线的产量是B生产线的2倍，则(　　) A．A生产线产品质量指标值的均值高于B生产线产品质量指标值的均值　 B．该企业产品质量指标值的均值是82　 C．A生产线产品质量指标值的标准差低于B生产线产品质量指标值的标准差　 D．A，B两条生产线的产品质量指标值低于65的概率相同 ABD　[对于A，因为A生产线的产品质量指标值X～N(83，36)，B生产线的产品质量指标值Y～N(80，25)， 所以A生产线产品质量指标值的均值为83，B生产线产品质量指标值的均值为80， 故A生产线产品质量指标值的均值高于B生产线产品质量指标值的均值，故A正确； 对于B，该企业产品质量指标值的均值是83×＋80×＝82，故B正确； 对于C，A生产线产品质量指标值的标准差为＝6， B生产线产品质量指标值的标准差为＝5， 故A生产线产品质量指标值的标准差高于B生产线产品质量指标值的标准差，故C错误； 对于D，P(X＜65)＝P(X＜μA－3σA)，P(Y＜65)＝P(Y＜μB－3σB)， 故A，B两条生产线的产品质量指标值低于65的概率相同，故D正确． 故选ABD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活．网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.3，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为________． 0.42　[题目可转化为2重伯努利试验，即重复做2次试验，每次试验发生的概率为0.3，则恰有1次发生的概率为×0.3×(1－0.3)＝0.42．] 13．设一次试验成功的概率为p，进行100重伯努利试验，则当p＝__________时，成功次数的方差最大，其最大值为__________． 　25　[设成功次数为X，则X～B(100，p)， 所以D(X)＝100p(1－p)≤100×＝25， 当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的方差最大，其最大值为25．] 14．某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，n∈N*和n≥20，每次投篮的命中率都为p，随机变量ξ表示投篮命中的次数，ξ服从二项分布B(n，p)，记η＝，当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N(0，1)，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若n＝40，则该同学投中次数的期望为 ________次；若保证该同学n次投篮总得分在区间(0.8n，1.2n)的概率不低于0.8，则n的最小值为 ________． 附：η～N(0，1)，则P(η＜1.28)＝0.9，P(η＜0.84)＝0.8． 20　41　[因为该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分， 若n＝40，此时投篮命中的次数ξ服从二项分布B(40，0.5)， 所以E(ξ)＝40×0.5＝20(次)， 则该同学投中次数的期望为20次． 因为该同学n次投篮总得分在区间(0.8n，1.2n)， 所以该同学n次投篮命中次数ξ在区间(0.4n，0.6n)， P(0.4n＜ξ＜0.6n) ＝P ＝P≥0.8， 因为P(η＜1.28)＝0.9，所以P(η≥1.28)＝0.1， 因为η服从标准正态分布N(0，1)，所以P(η≥0)＝0.5， 即P(－1.28≤η≤1.28)＝0.8， 此时n需满足≥1.28，解得n≥40.96， 则n的最小值为41．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率． [解]　设A1为“第一次患病心肌受损害”， A2为“第二次患病心肌受损害”， 则所求概率为P()． 由题意可知，P(A1)＝0.3，P(A2|)＝0.6， 又P()＝1－P(A1)＝0.7， P()＝1－P(A2|)＝0.4， 所以P()＝P()P()＝0.7×0.4＝0.28． 16．(15分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X为参赛的男生人数，求X的分布列． [解]　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全是从B中学抽取的(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝． 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝． (2)根据题意，知X可能的取值为1，2，3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 17．(15分)某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩ξ～N(110，100)，现规定：成绩在[140，150]的同学为“成绩顶尖”，在[130，140)的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”． (1)已知高三年级共有2 000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数(小数按四舍五入取整处理)； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率； (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分．请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3． [解]　(1)因为ξ～N(110，100)， 所以μ＝110，σ＝10， 所以“成绩优秀”的概率P(130≤X＜140)＝P(μ＋2σ≤X＜μ＋3σ)＝＝0.021 4， “不及格”的概率P(X＜90)＝P(X＜μ－2σ)＝＝0.022 75， 所以“成绩优秀”的人数为2 000×0.021 4＝42.8≈43人，“不及格”的人数为2 000×0.022 75＝45.5≈46人． (2)设事件A：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件B：丙入选， 则P(B|A)＝＝＝＝． (3)因为ξ～N(110，100)， 所以由正态分布曲线的对称性可知，P(ξ＞μ＋3σ)＝＝0.001 35， 而在该班随机抽查中，同学成绩142＞140＝μ＋3σ在一次随机事件中就发生了， 这说明班级成绩优于年级成绩． 18．(17分)一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和均值． [解]　(1)设Ai表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i人”，i＝0，1，2，Bj表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j＝0，1，2， 依题意有P(A1)＝2××＝， P(A2)＝×＝，P(B0)＝×＝＝2××＝， 故一个试用组为“甲类组”的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝． (2)η的可能取值为0，1，2，3，且η～B， 则P(η＝0)＝＝， P(η＝1)＝××＝， P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝＝， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P ∵η～B，∴E(η)＝3×＝． 19．(17分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下． AQI [0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250] (250，300] 空气 质量 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染 天数 6 14 18 27 25 10 (1)从空气质量指数在[0，50]，(50，100]内的20天中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率； (2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为 y＝ 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是，9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替． ①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列； ②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的均值是否会超过2.88万元？说明你的理由． [解]　(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数， 则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝． (2)①X的所有可能取值为0，220，1 480， P(X＝0)＝P(0≤x≤100)＝＝， P(X＝220)＝P(100<x≤250)＝＝， P(X＝1 480)＝P(250<x≤300)＝＝， 则X的分布列为 X 0 220 1 480 P ②由①知E(X)＝0×＋220×＋1 480×＝302(元)， 故该企业9月因空气质量造成的经济损失的均值为30E(X)＝9 060(元)． 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元， Y的所有可能取值为0，220，1 480， 则P(Y＝0)＝＋＝，P(Y＝220)＝＋＋＝，P(Y＝1 480)＝． 所以E(Y)＝0×＋220×＋1 480×＝320(元)． 所以该企业7月与8月因空气质量造成的经济损失总额的均值为320×(31＋31)＝19 840(元)． 因为19 840＋9 060＝28 900>28 800， 所以该企业这三个月因空气质量造成的经济损失总额的均值会超过2.88万元． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $