第六章 微专题1 分组与分配问题的破解之术-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦分组与分配问题，先明确区分与顺序关系的核心，按先分组后分配原则，系统梳理不同元素的完全均匀、部分均匀、完全非均匀分组及相同元素隔板法分配，构建从概念辨析到方法应用的学习支架。 通过典型例题（如6本不同书的分配、6个相同小球的放置）引导学生用数学眼光抽象问题，用数学思维推理（分步分类计数），用数学语言表达解法。课中助力教师清晰授课，课后分层练习帮助学生巩固，提升解决实际问题能力。

微专题1　分组与分配问题的破解之术 (对应学生用书第23页) 解决分组与分配问题的关键是区分是否与顺序有关，一般按先分组后分配的原则计算． 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等． (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！． (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．区分是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的分配对象，则为定向分配问题． 3．相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板之间的区域(或最左端、最右端的隔板与端点之间的区域)形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，每个对象至少有一个元素，有种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板． 类型1　不同元素的分组、分配问题 【例1】　按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ (1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本； (2)平均分成3组，每组2本； (3)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (4)分给甲、乙、丙3人，一人4本，其余2人每人1本． [解]　(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有种方法； 第二步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有种方法； 第三步，剩下的2本不同的书全给丙，有种方法． 根据分步乘法计数原理知， 共有××＝90(种)不同的分配方法． (2)每组2本，均分为3组的分组种数为＝15． (3)分成3份共有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案， 故一人得1本，一人得2本，一人得3本的方法有＝360(种)． (4)法一：从6本不同的书中选出4本，有种方法． 将选出的4本书看成一个元素集团，与其余2本书(两个元素)分配给甲、乙、丙三人有种方法． 由分步乘法计数原理，共有＝90(种)不同分法． 法二：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三组，有种分法． 然后分给3个人，则共有·＝90(种)分法． 类型2　相同元素的分组、分配问题 【例2】　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． [解]　(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·＝40(种)放法． [学以致用]　1．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为(　　) A．72　　 B．96 C．114 　 D．124 C　[根据题意，分2种情况讨论： ①将5名志愿者分为1，2，2的三组，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有＝72(种)． ②将5名志愿者分为1，1，3的三组，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有＋＝42(种)． 故不同的安排方法共有72＋42＝114(种)． 故选C．] 2．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为(　　) A．420 　 B．660 C．720 　 D．1 200 B　[当有3人选择去南昌时，剩余3人的分配方式为1人、1人、1人，选法种数为··＝120， 当有2人选择去南昌时，剩余4人的分配方式为1人、1人、2人，选法种数为··＝540， ∴至少有2人选择南昌的选法种数为540＋120＝660． 故选B．] 3．10个相同的小球放在3个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个小球，有________种放法． 36　[依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个小球，可转化为将10个相同小球分成3组，每组至少1个． 可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，可得共有＝36(种)放法．] 微专题强化练(一)　分组与分配问题的破解之术 (对应学生用书第125页) 一、选择题 1．将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有(　　) A．210种　 B．420种 C．240种 　 D．480种 A　[依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等意味着甲、乙两人都分得2张邮票，丙分得3张邮票，所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有＝21×10×1＝210(种)． 故选A．] 2．每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为(　　) A．540 　 B．120 C．90 　 D．60 C　[因为需要将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲， 将6位老师平均分成三组，共有种可能， 则有·＝90(种)排法． 故选C．] 3．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 　 B．60种 C．30种 　 D．20种 B　[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，所以不同的安排方式共有·＝60(种)．故选B．] 4．某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中(1)班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则不同的分配方法种数为(　　) A．90 　 B．60 C．126 　 D．120 C　[由题意可知，若每个班至少3人参加，由于(1)班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 利用隔板法，只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可， 所以共有＝126(种)分配方法． 故选C．] 5．(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的安排方法种数为54 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法种数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方法的种数是＋ D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为( ABD　[根据题意，依次分析选项． 对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有＋种安排方法，故C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故D错误．故选ABD．] 二、填空题 6．将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有________种． 36　[将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有＝36(种)．] 7．某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个名额的分配方案共有________种． 24 310　[根据题意，将18个名额，分配给10个班，每班至少有1个名额， 可以转化为18个元素之间有17个间隔，要求分成10份，每份不空， 相当于用9块档板插在17个间隔中，共有＝24 310(种)不同方法．] 8．2025年第九届“亚冬会”在哈尔滨举办．现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 ________． 14　[4名学生志愿者分为2组，共有两种情况： ①一组3人，另一组1人，共有＝4(种)； ②一组2人，另一组2人，共有＝3(种)， 所以共有4＋3＝7(种)分法， 则不同的分配方案种数为7×＝14．] 三、解答题 9．8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示) (1)平均分成四份； (2)平均分给甲、乙、丙、丁四人； (3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张； (4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张； (5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张； (6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张； (7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张； (8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张． [解]　(1)本题为平均分组问题，是组合问题，与顺序无关，有种不同分法． (2)法一：本题为平均分组问题，并且有分配对象，先分组，与顺序无关，有种分法，再分配给四个人，与顺序有关，有种排列方法，共有种不同的分配方法，所以有种分法． 法二：①甲从8张邮票中取2张有种取法； ②乙从余下的6张中取2张有种取法； ③丙从余下的4张中取2张有种取法； ④丁从余下的2张中取2张有种取法． 所以根据分步乘法计数原理知，不同分法数为． (3)本题为部分平均分组问题，与顺序无关，有种不同分法． (4)本题为部分平均定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有(种)不同分法． (5)本题为部分平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有种不同分法． (6)本题为非平均分组问题，仅仅分组，与顺序无关，是组合问题，共有种不同的分法． (7)本题为非平均定向分配问题，先分组，再分配，但是定向分配不涉及排序，所以共有种不同的分法． (8)本题为非平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，需排列，共有种不同的分法． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $