第七章 微专题3 二项分布与超几何分布的综合应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中二项分布与超几何分布的综合应用，先通过摸球模型建立知识框架，明确放回摸球对应二项分布、不放回对应超几何分布，对比两者均值相同、方差差异及超几何分布近似二项分布的条件，再分三类应用构建学习支架。 资料特色在于结合纸伞制作、交通拥堵等现实实例，引导学生用数学眼光抽象模型，通过对比推理培养数学思维，用分布列等数学语言解决问题。课中助教师高效授课，课后强化练习助学生查漏补缺，巩固知识。

微专题3　二项分布与超几何分布的综合应用 (对应学生用书第67页) 1．建立模型 袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则： 摸球方式 X的分布 E(X) D(X) 放回摸球 二项分布B(n，p) np np(1－p) 不放回摸球 参数为N，n，M的超几何分布 np np(1－p) 2．二项分布与超几何分布的联系与区别 (1)由古典概型得出超几何分布，由n重伯努利试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布． (2)对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近． (3)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用二项分布近似．从方差的角度看，由于≈1，所以两个分布的方差也近似相等． (4)在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可． 类型1　二项分布的应用 【例1】　纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，它的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求．已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，只有当每个环节制作都合格才能被认为是一件优秀作品． (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X的概率分布列和期望． [解]　(1)由题意可知，制作一件优秀作品的概率为××＝， 所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率P＝××＝． (2)该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由题意可知，X～B，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝××＝， P(X＝2)＝××＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝×＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∵X～B，∴E(X)＝4×＝． 　(1)解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值． (2)根据二项分布的概率列出分布列． (3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差． 类型2　超几何分布的应用 【例2】　交通拥堵指数(TPI)是衡量交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如表所示的4个等级： TPI [1，1.5) [1.5，2) [2，4) 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图： (1)从2023年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； (2)从2024年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及均值E(X)． [解]　(1)由题图可知，2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共有2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为． (2)由题图可知，2024年元旦及前后共7天中TPI比2023年同日高的只有1月3日和1月4日这2天， 所以X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 　解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差． 类型3　二项分布与超几何分布的综合应用 【例3】　甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其均值； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ [解]　(1)设X为甲正确完成面试题的数量， Y为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得，X的可能取值为1，2，3， ∴P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴X的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＝2． ∵Y～B，∴P(Y＝0)＝×＝， P(Y＝1)＝×＝＝， P(Y＝2)＝×＝＝， P(Y＝3)＝×＝， ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P ∴Y的均值为E(Y)＝3×＝2． (2)D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝np(1－p)＝3××＝， ∵D(X)<D(Y)， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 　(1)根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型． (2)根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差． (3)利用均值与方差的意义进行决策判断． 微专题强化练(三)　二项分布与超几何分布的综合应用 (对应学生用书第155页) 1．一个袋子中有60个大小相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数． (1)有放回地摸球，求X的分布列； (2)不放回地摸球，求X的分布列． [解]　(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～，X的分布列为P(X＝k)＝××，k＝0，1，2，…，10． (2)对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，10． 2．几位大学生自主创办了一个服务公司提供A，B两种民生消费产品服务，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为，购买B产品的概率为，购买B产品的概率也是． (1)求某人第二次来，购买的是A产品的概率； (2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列及均值． [解]　(1)由题意可得，某人第二次来购买的是A产品的概率P＝． (2)由题意可得X~B， ∴P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝3×＝1． 3．某城市的垃圾分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，减少造纸能源消耗．某环保小组调查了该城市某垃圾处理厂2024年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示． (1)现从2024年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率； (2)从2024年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数．求X的分布列及均值． [解]　(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A， 由题图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨， ∴P(A)＝． (2)6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月． ∴X的所有可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 4．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505 g的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列． [解]　(1)质量超过505 g的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505 g的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)质量超过505 g的产品数量为12件，则质量未超过505 g的产品数量为28件，X可能的取值为0，1，2，X服从超几何分布． P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的均值为E(X)＝0×． (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505 g的概率为＝． 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505 g的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝××，k＝0，1，2， ∴P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝1)＝××＝，P(Y＝2)＝×＝， ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $