7.4.2 超几何分布-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，从有放回与不放回抽样的对比引入，系统构建概念、特征、概率公式、均值的知识链，通过问题初探与探究活动搭建学习支架，衔接二项分布对比形成完整认知。 以数学抽象（概念生成）、数学运算（概率与均值计算）、数据分析（分布列应用）为核心，设计典例讲评（如产品抽样、学生选代表）和母题探究，课中微提醒助教师授课，课后分层作业与知识回顾帮学生查漏补缺。

7.4.2　超几何分布 [学习目标]　1．理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几何分布．(数学抽象) 2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率和均值．(数学运算) 3．能用超几何分布的概率模型解决实际问题．(数据分析、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．超几何分布的概念是什么？ 问题2．超几何分布的概率公式是什么？ 问题3．如何求超几何分布的均值？ (对应学生用书第63页) 探究1　超几何分布 问题1　已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列． (1)抽取的3件产品中次品数X服从二项分布吗？ (2)你能写出X的分布列吗？ [提示]　(1)若采取有放回抽样时，X服从二项分布；若采取不放回抽样时，X不服从二项分布． (2)若采用有放回抽样时X服从二项分布，即X~B(3，0.4)，其分布列为P(X＝k)＝0.4k(1－0.4)3-k，k＝0，1，2，3． 若采用不放回抽样，“X＝k，k＝0，1，2，3”表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出3－k件，共有种取法，故X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3． [新知生成] 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r． 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【教用·微提醒】　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)考察对象分两类，且各类对象的个数已知． (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 　超几何分布的判断 [典例讲评]　1．下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列． [解]　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题． 　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 　超几何分布的概率 [典例讲评]　【链接教材P78例4、例5】 2．现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率． [解]　(1)设甲班的学生人数为M， 则，M2－M－6＝0， 解得M＝3或M＝－2(舍去)， ∴7名学生中甲班的学生共有3人． (2)由题意可知，ξ服从超几何分布， ∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ＝． 【教材原题·P78例4、例5】 例4　从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． [解]　设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝1，n＝5． 因此甲被选中的概率为P(X＝1)＝． 例5　一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． [解]　设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且N＝30，M＝3，n＝10． X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3． 至少有1件不合格的概率为 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝≈0.719 2． 也可以按如下方法求解： P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－≈0.719 2． 　(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布． (2)超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行运用． 　求超几何分布的分布列 [典例讲评]　3．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列． [解]　依题意随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)． 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P [母题探究]　如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，如何求解？ [解]　由题意得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)， 所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 　求超几何分布的分布列的步骤 第一步验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值第二步根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率第三步用表格的形式列出分布列 [学以致用]　1．(1)(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　) A．将一枚质地均匀的硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 (2)某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． (3)箱中装有4个白球和m个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球的得分之和． ①若P(X＝6)＝，求m的值； ②当m＝3时，求X的分布列． (1)ACD　(2)A　[(1)由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布．故选ACD． (2)由题意可得所求概率为＋＝．] (3)[解]　①由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量X＝6， 所以P(X＝6)＝＝， 即＝10，所以m＝1． ②由题意得，当m＝3时，X的可能取值为3，4，5，6． P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝， 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 探究2　超几何分布的均值 问题2　从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)如何求所选3人中恰有1名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数X的分布列和均值． [提示]　(1)所选3人中恰有1名男生的概率P＝＝． (2)X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值为E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝． [新知生成] 超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝． [典例讲评]　4．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为． 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)． 性别 专业 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 (1)求m，n的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值． [解]　(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名， 则P(A)＝＝，解得m＝3．因为m＋n＋6＝10，所以n＝1． (2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则P(B)＝＝． (3)法一：由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3． P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 法二：ξ的分布列同法一．由题意知随机变量ξ服从参数n＝3，M＝7，N＝10的超几何分布，故E(ξ)＝＝． 　求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值． (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率． (3)利用均值公式求解． [学以致用]　2．(1)袋中有3个白球、1个红球，从中任取2个球，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值为(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．4 (2)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试．在这8道试题中甲能答对6道，记甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，E(X)＝________． (1)B　(2)　3　[(1)由题意知，X的可能取值为0，2，其中X＝0表示取得2个白球，X＝2表示取得1个白球，1个红球， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝， 故X的均值为E(X)＝0×＋2×＝1． (2)由题意知，甲能通过自主招生初试的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝． 由于X的可能取值为2，3，4， P(X＝2)＝＝，故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3．] 探究3　超几何分布与二项分布的区别与联系 [典例讲评]　【链接教材P79例6】 5．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件．求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差． [解]　(1)法一：由题意知，X的可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 法二：由题意知，P(X＝k)＝，k＝0，1，2， 所以随机变量X服从超几何分布， n＝3，M＝2，N＝10， 所以E(X)＝＝＝． (2)由题意知，抽取1次取到次品的概率为＝， 随机变量Y服从二项分布Y～B， 所以E(Y)＝3×＝， D(Y)＝3××＝． 【教材原题·P79例6】 例6　一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率． [分析]　因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，X～B(20，0.4)；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布． [解]　(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B(20，0.4)，X的分布列为 p1k＝P(X＝k)＝×0.4k×0.620-k，k＝0，1，2，…，20． 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为 p2k＝P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，20． (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.000 01)，如表7.4­2所示． 表7.4­2 k p1k p2k 0 0.000 04 0.000 01 1 0.000 49 0.000 15 2 0.003 09 0.001 35 3 0.012 35 0.007 14 4 0.034 99 0.025 51 5 0.074 65 0.065 30 6 0.124 41 0.124 22 7 0.165 88 0.179 72 8 0.179 71 0.200 78 9 0.159 74 0.174 83 10 0.117 14 0.119 24 11 0.070 99 0.063 76 12 0.035 50 0.026 67 13 0.014 56 0.008 67 14 0.004 85 0.002 17 15 0.001 29 0.000 41 16 0.000 27 0.000 06 17 0.000 04 0.000 01 18 0.000 00 0.000 00 19 0.000 00 0.000 00 20 0.000 00 0.000 00 样本中黄球的比例f20＝是一个随机变量，根据表7.4­2，计算得： 有放回摸球：P(| f20－0.4|≤0.1)＝P(6≤X≤10)≈0.746 9． 不放回摸球：P(| f20－0.4|≤0.1)＝P(6≤X≤10)≈0.798 8． 　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值时都可利用公式代入计算． [学以致用]　3．(源自人教B版教材)袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． [解]　(1)若每次抽取后都放回， 则每次抽到黑球的概率均为＝． 而3次取球可以看成3次独立重复试验， 因此X～B， 所以P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＝， P(X＝2)＝××＝， P(X＝3)＝××＝， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y服从超几何分布， 因此P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 因此Y的分布列为 Y 0 1 2 P (对应学生用书第67页) 1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X ABD　[依据超几何分布的定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故选ABD．] 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． B　[由题意知，10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝．] 3．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E(X)＝(　　) A． 　 B． C．1 　 D． A　[由题意可知，X服从超几何分布，且N＝15，M＝3，n＝2， 所以E(X)＝×2＝． 故选A．] 4．(教材P80练习T2改编)在10个排球中有6个正品，4个次品，从中任取4个，则正品数比次品数少的概率为________． 　[正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品．由超几何分布的概率可知，取出0个正品4个次品的概率P1＝＝，取出1个正品3个次品的概率P2＝＝＝，所以正品数比次品数少的概率为P1＋P2＝＋＝．] 1．知识链： 2．方法链：超几何分布问题的求解方法：公式法、类比法． 3．警示牌：不能正确的区分超几何分布与二项分布，应注意前者是不放回抽样，后者是有放回抽样． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在产品抽样检验中，若抽到的次品数服从超几何分布，则抽样有何特点？ [提示]　抽样方法为不放回抽样． 2．超几何分布的均值公式E(X)＝np，与二项分布的均值公式一样吗？ [提示]　不一样．在二项分布中，n为伯努利试验重复的次数，p为成功概率；在超几何分布中，n是抽取的产品件数，p是N件产品的次品率． 课时分层作业(十八)　超几何分布 (对应学生用书第153页) 一、选择题 1．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C．取出一个红球记2分，取出一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数 C　[选项A，B，D不符合超几何分布的定义，因为超几何分布取球必须是无放回地取球且一次取完， 所以选项A，B，D无法用超几何分布的数学模型计算概率，故选项A，B，D错误； 选项C符合超几何分布的定义，将红球视作次品，黄球视作正品， 则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故选项C正确． 故选C．] 2．在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． C　[记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝．] 3．(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量X服从二项分布 C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝ ACD　[由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝3，故A正确，B错误；P(X＝2)＝＝，故C正确；E(X)＝n·＝3×＝，故D正确．故选ACD．] 4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是(　　) A．　　　 B． C． 　 D． D　[设所选3人中的女生人数为X，则X服从超几何分布，且P(X＝k)＝(k＝0，1，2)， 故所求概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝．] 5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 　 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 　 D．至多有2个是坏的 C　[令X＝k表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)． 所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝．故选C．] 二、填空题 6．一个盒子里有1红1绿4黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X． (1)若取球过程是无放回的，则事件“X＝2”的概率为________； (2)若取球过程是有放回的，则事件“X＝2”的概率为________． (1)　(2)　[(1)无放回取球时，6个球任取三个，有种不同的取法，其中黄色球个数为2个的取法有，故P(X＝2)＝＝． (2)有放回取球时，每次取到黄色球的概率都是＝，取到黄球的次数X服从二项分布，故P(X＝2)＝××＝．] 7．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E(X)＝________． 　[X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．] 8．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中，莫高窟第96窟、第16窟、第17窟被誉为非常值得参观的洞窟．某游客为了节省时间，需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个非常值得参观的洞窟的概率是________． 　[已知8个开放洞窟中有3个非常值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个非常值得参观洞窟，包括2个或3个两种情况． 则所求概率P＝＝．] 三、解答题 9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． [解]　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X， X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率为P(X≥2) ＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝． 10．(多选)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A．恰有3个白球的概率为 B．取出的最大号码X服从超几何分布 C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大 D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 ACD　[对于A，由题意可知，恰有3个白球的概率为＝，故A正确； 对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义， 故X不服从超几何分布，故B错误； 对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布， P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝， P(Y＝4)＝， 显然当Y＝2时，概率最大，故C正确； 对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球， 其概率为，故D正确． 故选ACD．] 11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． C　[由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则P＝；若任取3个数中有3个阳数，则P＝，故这3个数中至少有2个阳数的概率P＝．] 12．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________；E(ξ)＝________． 1　　[由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝， 化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5(m＋n＝－12舍去)． 又取出的两个球为一红一黄的概率 P(ξ＝1)＝＝＝，解得m＝3，故n＝2．所以m－n＝1． 易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝2)＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．] 13．杭州亚运会志愿者有6名男同学、4名女同学．在这10名志愿者中，3名同学来自a大学，其余7名同学来自b、c等其他互不相同的7所大学．现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动(每位同学被选中的可能性相等)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差． [解]　(1)设事件A为选出的3名同学是来自互不相同的大学， 则P(A)＝． (2)由题可知，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3． P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×， D(X)＝． 14．(多选)盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数，则下列说法中正确的是(　　) A．E(X)＝，E(η)＝ B．E(X2)＝E(η) C．E(η2)＝E(X) D．D(X)＝D(η)＝ ABD　[由题意可知，X服从超几何分布，η也服从超几何分布． ∴E(X)＝＝，E(η)＝＝． X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝， D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝＝． η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝， D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝＝． ∴E(X2)＝E(η)，E(η2)≠E(X)，D(X)＝D(η)＝．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $