7.4.2 超几何分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，通过对比有放回抽样的二项分布引入不放回抽样的超几何分布，系统梳理分布列构建、均值计算方法，明确与二项分布的区别联系，形成从概念到应用的完整知识支架。 该资料以问题链驱动探究，结合产品抽样、竞赛选拔等实际情境，通过变式训练与对点练习，培养数学抽象、数学建模及数学运算核心素养。课中助力教师高效授课，课后练习题与知识总结帮助学生巩固提升，查漏补缺。

7.4.2　超几何分布 学习目标 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念及特征，掌握超几何分布的均值的计算，培养数学抽象的核心素养.　2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系，会用超几何分布解决一些简单的实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　超几何分布的分布列 (阅读教材P77－78，完成探究问题1、2) 问题1.已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列. 提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，其分布列为P(X＝k)＝(0.4)k(1－0.4)3－k，k＝0，1，2，3. 问题2.已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P(X＝2)吗？ 提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有种取法，故P(X＝2)＝. 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. [微提醒]　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. (链教材P78例5)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 解：依题意，知随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 学生用书⬇第57页 [变式探究] 1.(变设问)本例中，求所选出4人中至少1位男生的概率. 解：法一：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝. 法二：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 2.(变条件)如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，求X的分布列. 解：依题意，得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)， 所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 求超几何分布的分布列的步骤 对点练1.端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍. (1)求既有专业组又有业余组的概率； (2)设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列. 解：(1)依题意，既有专业组又有业余组的概率为＝. (2)依题意，知X的可能取值为1，2，3. 则P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 任务二　超几何分布的均值 (阅读教材P78－79，完成探究问题3) 问题3.我们已经知道，若随机变量X～B(n，p)，则其均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)，用起来非常方便，同样，随机变量X服从超几何分布，有没有类似的结论呢？ 提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E()＝p，即E(X)＝np. 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数，则E(X)＝. 注：超几何分布的方差公式推导起来繁琐，且不太好记忆，课标不再作要求，只需利用方差的定义求解即可. (链教材P79例6)某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个. 学生用书⬇第58页 (1)求该学生能通过自主招生初试的概率； (2)若该学生答对的题数为X，求X的分布列以及均值. 解：(1)该学生通过自主招生初试的概率P＝＋＝， (2)该学生答对题的数量X的可能取值为2，3，4. 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝或E(X)＝＝＝. 求超几何分布均值的步骤 第1步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第2步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第3步：利用均值公式或套用超几何分布均值的公式求解. 对点练2.一个袋中装有10个大小与质地相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是. (1)求袋中的白球个数； (2)若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的均值. 解：(1)依题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是， 则不含白球的概率为，可得＝， 即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5. (2)依题意，知随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3， 所以E(X)＝＝. 任务三　二项分布与超几何分布的实际应用问题 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续15年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列.为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X(单位：nm). (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ). (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及η的方差. 解：(1)依题意，可知ξ可取0，1，2，3. 则有P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝； 或E(ξ)＝＝＝. (2)依题意，可知η可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 则有P(η＝4)＝)4()2＝，P(η＝5)＝)5()＝，P(η＝6)＝)6＝. 所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝. 因为η～B(6，)， 所以η的方差D(η)＝6××(1－)＝. 学生用书⬇第59页 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 ①当这n次试验是伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 对点练3.某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及均值； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/(元/件) 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 解：(1)依题意得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以X的可能取值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为Y，则Y～B(3，)， 所以P(Y＝1)＝××()2＝. (3)依题意得，方案二的产品的平均售价为24×＋22×＋18×＋16×＝21.2(元/件)， 因为21＜21.2， 所以从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 任务再现 1.超几何分布的概念.2.超几何分布的均值及应用.3.二项分布与超几何分布的实际应用问题 方法提炼 公式法、定义法 易错警示 混淆超几何分布与二项分布 1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是(　　) A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.X表示取出的号码之和 D.X表示取出的黑球个数 答案：D 解析：由超几何分布的概念知D符合. 2.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为(　　) A.1－ B. C.1－ D. 答案：AD 解析：从12个产品中任意抽取4个，基本事件总数为个；其中恰好有1个二等品的基本事件有个，所以恰好有1个二等品的概率P＝；也可由对立事件计算可得P＝1－.故选AD. 3.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为　　　　. 答案： 解析：记中奖为事件A，概率为P(A)＝＝，所以中奖的概率为. 4.设10名学生代表中有3名女生，从中抽取2名进行采访，则抽到女生人数的均值为　　　　. 答案： 解析：法一：设抽到女生人数为X，则随机变量X的可能取值有0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 法二：E(X)＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $