7.4.2 超几何分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，系统梳理其概念、分布列、均值及与二项分布的关系，通过情境引入、定义解析、辨析对比等学习支架，衔接古典概型与后续概率模型学习。 以“抽卡获奖”情境引入，通过概念辨析、例题解析及分层练习，培养数学抽象（概念理解）和数学运算（概率计算）素养，课中助力教师高效授课，课后供学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

7．4.2　超几何分布 课程标准 素养解读 1.理解超几何分布的概念 2.理解超几何分布与二项分布的关系 3.会用超几何分布解决一些简单的实际问题 1.通过学习超几何分布，体会数学抽象的素养 2.借助超几何分布解题，提高数学运算素养 [情境引入] 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏；准备了10张相同的卡片，其中只有5张卡片上印有“奖”字，游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一个小礼品，如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除小礼品外，还可获赠一套丛书，一名同学准备试一试， 能获得小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？ [知识梳理] [知识点]　超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N， m＝max{0，n－N＋M}，r＝min {n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．记法：X～H(N，n，M)． 3．分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示. X 0 1 … K … s P … … 　　 4.均值：E(X)＝np，其中p＝是N件产品的次品率． 1.不放回抽取和有放回抽取有何不同？ 提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布． 2．怎样理解r是M与n中的较小者？ 提示：在超几何分布中，确定X的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下： 注意：在超几何分布中，随机变量X的最大值r未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，r＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，r＝M.故X的最大值r是M与n中的较小者．同理，可推测m的取值规律． 3.利用超几何分布公式计算概率时有什么规律？ 提示：因为公式中都是组合数，用组合数公式展开后，要先约分再进行运算，这样可以简化运算的过程． [预习自测] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)． (1)将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布．(　　) (2)盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) 提示：(1)×　正面向上的次数X服从二项分布． (2)×　由超几何分布的定义，黑球的个数X不服从超几何分布． (3)×　命中目标的次数X服从二项分布． 2．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E(X)＝(　　) A.　　　 B.　　 　C．1　　 　D. 解析：A　[依题意，X的可能取值有0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.] 3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：D　[若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．取到10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝(注意袋中球的个数为80＋20＝100)．] 　　　超几何分布的辨析 [例1]　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，求X的概率分布； (5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． [思路点拨]　根据超几何分布的定义判断． 解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的概率公布，所以不属于超几何分布问题． 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： 1．总体是否可分为两类明确的对象； 2．是否为不放回抽样； 3．随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． [变式训练] 1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，则X是否服从超几何分布？ 解：不服从超几何分布． 因为随机变量X是否服从超几何分布，关键是看随机变量X的分布列是否由P(X＝k)＝确定，对应的N，M，n是多少． 本题随机变量X的可能取值为3,4,5,6. 不妨探讨“X＝4”与“X＝5”两种情况： “X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2个”，其概率P(X＝4)＝；“X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”，其概率P(X＝5)＝.显然仅从“X＝4”与“X＝5”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由P(X＝k)＝确定的，所以随机变量X不服从超几何分布． 　超几何分布的概率及其分布列 [例2] 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率． [思路点拨]　 　→→ 解：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8. P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝. 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P (2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为 P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 求超几何分布的分布列的步骤  [变式训练] 2．10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X的分布列． 解：X的可能取值为0,1,2,3. 由题意知X服从超几何分布， 所以P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　　　超几何分布的均值 [例3]　在5件产品中含有2件次品，从这5件产品中选出3件所含的次品数设为X，则X的均值为　________　. [思路点拨] 明确N，M，n的值各是什么，代入均值公式计算． 解析：法一：X可能取的值是0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 法二：由题意，N＝5，M＝2，n＝3，故E(X)＝＝＝. 答案： 关于超几何分布的均值求法 首先明确随机变量是否服从超几何分布，把握等可能、不放回两个特点；其次是明确公式中的参数，即N，M，n的值各是什么；最后代入公式计算均值． [变式训练] 3．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为　________　. 解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2，∴E(X)＝n·＝2×＝. 答案： 　　　超几何分布与二项分布间的联系 [例4]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． [思路点拨]　(1)结合频率分布直方图求解； (2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列； (3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解． 解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40,2,12)， ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B， P(Y＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 (1)当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； (2)当这n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回的n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布，如本题(2) [变式训练] 4．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)．由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； (2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． 解：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035，平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5. 设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，∴x≈42.1. (2)由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2,3. 设第2组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)＝＝. (3)从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保护问题的概率为. 易知X的所有可能取值为0,1,2,3， ∴P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C3＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P [当堂达标] 1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C．1－ D. 解析：D　[设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数．则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.] 2．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：B　[由题意得所求概率为P＝＝＝.] 3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则P(X＝1)＝　________　. 解析：P(X＝1)＝＝. 答案： 4．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝　________　. 解析：易知P(X＝1)＝＝. 答案： 5．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道试题进行测试，至少答对2道试题才算及格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率． 解：因为X＝1,2,3，P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 该考生及格的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. [基础过关] 1．(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，如下几种变量中不服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的球的最大号码 B．Y表示取出的球的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分 D．η表示取出的黑球个数 解析：ABC　[对于A，X的可能取值为4,5,6,7,8,9,10，不是从0开始的连续自然数，故不服从超几何分布；同理BC也不服从；D中η和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且η的取值为0,1,2,3,4，故服从超几何分布．] 2．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则事件{X＝k}中含有的基本事件个数为(　　) A．CC　　　　　 B．CC C．CC D．CC 解析：B　[事件{X＝k}表示从含M件次品的N件产品中，任取n件产品，其中恰有k件次品，则必有n－k件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件．] 3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A.　　 B.　　 C.　 　D. 解析：B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.] 4．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用X表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：C　[X服从超几何分布，故P(X＝k)＝，k＝4.] 5．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是(　　) A.　　 B.　　 C.　 　D. 解析：D　[法一：设取出的白球个数为离散型随机变量X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝＝.故至少有2个白球的概率为. 法二：设A＝“至少有2个白球”，则＝“至多有1个白球”，所以P(A)＝1－P()＝1－－＝1－－＝＝.] 6．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取两个，则概率为的事件是(　　) A．没有白球 B．至少有一个白球 C．至少有一个红球 D．至多有一个白球 解析：B　[＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．] 7．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试．已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为　__________　. 解析：由题意可得X＝0,1,2,3.则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案： 8．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列. ξ＝k 0 1 2 P(ξ＝k) 　______　 　______　 解析：由题意可知ξ～H(100,2,20)． 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝. 答案：　 9．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝　________　，E(ξ)＝　________　. 解析：P(ξ＝2)＝＝＝⇒C＝36，所以m＋n＋4＝9 P(一红一黄)＝＝＝＝⇒m＝3， 所以n＝2，则m－n＝1. P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝0)＝＝＝， ∴E(ξ)＝×2＋×1＋×0＝＋＝， 答案：1　 10．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列． 解：由题意知X服从超几何分布． X的所有可能取值为0,1,2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 11.已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36,24,24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量调查． (1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？ (2)若抽取的7人中有3人睡眠不足，4个睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望． 解：(1)由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人，2人，2人． (2) 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [能力提升] 12．盒内有大小、形状完全相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解：(1)P＝1－＝. (2)取出的3个球得分之和恰为1分包含的情况有两种：①1红2白，②2红1黑．(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则取出的3个球的得分之和恰为1分的概率为，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (3)ξ的可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3. 故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 13.春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》．妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影． (1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率； (2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望． 解析：(1)设事件A2姐姐恰好看了2部贺岁片． 则P(A2)＝＝，所以姐姐恰好看了2部贺岁片的概率为. (2)设Ai表示姐姐看了i部贺岁片(i＝0,1,2)．Bi表示弟弟看了i部贺岁片(i＝0,1,2)． 则知P(Ai)＝，P(Bi)＝. 知P(A0)＝P(B0)＝＝. P(A1)＝P(B1)＝＝，P(A2)＝P(B2)＝.随机变量ξ表示姐弟二人观看贺岁片的总数ξ的取值有0,1,2,3,4.∴P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)P(B0)＝×＝，P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝P(A0)·P(B1)＋P(A1)·P(B0)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A2B0)＋P(A1B1) ＝P(A0)·P(B2)＋P(A2)·P(B0)＋P(A1)·P(B1)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)·P(B2)＋P(A2)·P(B1)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝×＝. 从而随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.4. 即姐弟2人观看贺岁片的部数的数学期望为2.4. 答案：(1) (2)分布列见解析，期望为2.4 [素养培优] 14．在一次购物抽奖中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列． 解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况． P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列为 X 0 1 P (2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60. 且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝. 因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 学科网（北京）股份有限公司 $