7.4.1 二项分布-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二项分布核心知识点，以n重伯努利试验的概念和特征为基础，通过实例抽象定义，构建“试验特征-分布公式-均值方差”的知识脉络，辅以问题初探、探究活动、典例分析及分层练习等学习支架，系统衔接前后知识。 该资料以新课标核心素养为导向，采用“情境探究-抽象建模-应用拓展”教学链。如结合射击、投篮实例引导学生用数学眼光观察重复试验共性，培养数学抽象；典例讲评联系教材原题并变式，提升数学运算能力；分层作业覆盖基础与提升题，落实数据分析素养。课中助教师突破难点，课后方便学生查漏补缺，强化知识应用。

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 [学习目标]　1．理解n重伯努利试验的概念．(数学抽象) 2．掌握二项分布的概率表达式．(数学抽象) 3．能利用n重伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(数学运算、数据分析) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．伯努利试验的定义是什么？ 问题2．n重伯努利试验的定义是什么？有哪些特征？ 问题3．二项分布的内容是什么？ 问题3．如何计算二项分布的均值和方差？ (对应学生用书第59页) 探究1　n重伯努利试验 问题1　观察下面试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5； (2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次． [提示]　(1)相同条件下的试验5次、10次、6次． (2)每次试验相互独立． (3)每次试验只有两种可能的结果，发生或不发生． (4)每次试验发生的概率相同，为p；不发生的概率也相同，为1－p． [新知生成] 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【教用·微提醒】　(1)在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． (2)“重复”意味着各次试验成功的概率相同． [典例讲评]　1．下列试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中． 其中是n重伯努利试验的为________．(填序号) (2)　[(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．] 　n重伯努利试验的判断依据 (1)试验是在相同的条件下重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生． [学以致用]　1．下列事件是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 D　[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．] 探究2　二项分布 问题2　射击比赛时，某射击运动员连续射击3次，每次击中靶心的概率都是0.8，用Ai(i＝1，2，3)表示第i次击中靶心这个事件，用Bk表示事件仅击中k次． (1)用Ai如何表示B1，并求P(B1)． (2)P(B2)和P(B3)的值是什么？ (3)由以上问题的结果你能得出什么结论？ [提示]　(1)B1＝． 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且两两互斥， 故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096． (2)P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512． (3)P(Bk)＝×0.8k×0.23-k(k＝0，1，2，3)． [新知生成] 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，n． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 【教用·微提醒】 1．X的分布列可用表格表示为： X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn－k … 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(p＋q)n＝p0qn＋p1qn-1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0中对应项的值，故称X服从参数为n，p的二项分布． 2．二项分布与两点分布的区别与联系 两点分布 二项分布 区别 只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生 在每次试验中只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生，但在n次独立重复试验中共有(n＋1)个结果 联系 两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式 　独立重复试验的概率 [典例讲评]　2．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． [解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意知，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝＝1－＝． (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2， “乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2， 则P(A2)＝×＝， P(B2)＝××＝， 由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝． [母题探究]　 1．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率． [解]　记“甲击中目标1次”为事件A3， “乙击中目标1次”为事件B3， 则P(A3)＝××＝， P(B3)＝××＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P(A3B3)＝×＝． 2．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次，甲未击中、乙击中2次的概率． [解]　记“甲未击中目标”为事件A4， “乙击中2次”为事件B4， 则P(A4)＝＝， P(B4)＝＝， 所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为 P(A4B4)＝×＝． 　n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式(P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率)求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． [学以致用]　2．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明连续投篮四次，恰好两次投中的概率是(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． D　[因为小明每次投篮投中的概率是，所以在他连续四次投篮中，恰有两次投中的概率为P＝××＝．] 　二项分布 [典例讲评]　【链接教材P74例1、P75例3】 3．(源自湘教版教材)抛掷两枚质地均匀的骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，求点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列． [解]　由题意可知，P点的坐标有6×6＝36(种)情况，而符合题意的点只有下列8个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如图所示．那么在抛掷骰子时，点P在圆x2＋y2＝16内的概率为＝． 由题意可知X～B，所以 P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＝， P(X＝2)＝××＝， P(X＝3)＝××＝， 因此，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【教材原题·P74例1、P75例3】 例1　将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率． [分析]　抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．因此，正面朝上的次数服从二项分布． [解]　设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5． 用X表示事件A发生的次数，则X～B(10，0.5)． (1)恰好出现5次正面朝上等价于X＝5，于是 P(X＝5)＝×0.510＝＝； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是 P(4≤X≤6)＝×0.510＋×0.510＋×0.510＝＝． 例3　甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ [分析]　判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率． [解]　解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 p1＝0.62＋×0.62×0.4＝0.648． 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 p2＝0.63＋×0.63×0.42＝0.682 56． 解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3，0.6)．甲最终获胜的概率为 p1＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×0.63＝0.648． 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5，0.6)．甲最终获胜的概率为 p2＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝×0.65 ＝0.682 56． 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利． 　1．判定一个随机变量是否服从二项分布，要看两点． (1)试验是否为n重伯努利试验； (2)随机变量是否为某事件在这n重伯努利试验中发生的次数． 2．若X~B(n，p)，要弄清试验次数n与成功概率p．对于公式P(X＝k)＝pk(1－p)n-k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用． [学以致用]　3．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． [解]　(1)可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即X～B(3，0.9)． 因此P(X＝0)＝×0.90×(1－0.9)3＝0.001， P(X＝1)＝×0.91×(1－0.9)2＝0.027， P(X＝2)＝×0.92×(1－0.9)1＝0.243， P(X＝3)＝×0.93×(1－0.9)0＝0.729， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 (2)要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即X≥1，因此所求概率为 P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999． 探究3　二项分布的均值与方差 问题3　如果随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？ [提示]　当n＝1时，X服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p 则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 一般地，设q＝1－p，则二项分布的分布列为 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn－k … 则E(X)＝0×p0qn＋1×p1qn-1＋2×p2qn-2＋…＋kpkqn－k＋…＋npnq0， 由k＝n， 可得E(X)＝n×p1qn-1＋n×p2qn-2＋…＋npkqn－k＋…＋npnq0 ＝np(p0qn-1＋p1qn-2＋…＋pk-1qn－k＋…＋ ＝np(p＋q)n-1＝np， 同理可得D(X)＝np(1－p)． [新知生成] 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 特别地，若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． [典例讲评]　4．(1)已知X～B(10，0.5)，Y＝2X－8，则E(Y)等于(　　) A．6 　 B．2 C．4 　 D．3 (2)【链接教材P74例2】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是． ①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； ②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差． (1)B　[由题意，随机变量X～B(10，0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5， 因为Y＝2X－8，可得E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2．] (2)[解]　①设M＝“小球落入A袋”， N＝“小球落入B袋”， 则P(M)＝××＋××＝， 所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝． ②易知ξ～B， 则P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)， 故P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝， P(ξ＝4)＝， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝4×＝，D(ξ)＝4××＝． 【教材原题·P74例2】 例2　图7.4­2是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列． [分析]　小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布． [解]　设A＝“向右下落”，则＝“向左下落”，且P(A)＝P＝0.5．因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5)．于是，X的分布列为 P(X＝k)＝×0.510，k＝0，1，2，…，10． X的概率分布图如图7.4­3所示． 　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [学以致用]　【链接教材P76练习T1】 4．某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次． (1)求他们中成功咨询的人数X的分布列； (2)求E(X)与D(X)的值． [解]　(1)依题意知X～B，且P(X＝k)＝××，k＝0，1，2，3． P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＝， P(X＝2)＝××＝， P(X＝3)＝×＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由X～B及二项分布的性质得， E(X)＝np＝3×＝， D(X)＝np(1－p)＝3××＝． 【教材原题·P76练习T1】 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)E(X)＝________，D(X)＝________． [解]　(1)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，“正面向上”的次数X服从二项分布X～，其分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (2)E(X)＝np＝4×＝2， D(X)＝np(1－p)＝4××＝1． (对应学生用书第62页) 1．(多选)从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1个球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知E(X)＝3，则下列说法正确的是(　　) A．D(X)＝　　 B．D(X)＝ C．m＝2 　 D．m＝4 BC　[由题可知，从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1个球，有放回地摸取5次，每次取得白球的概率为．∵有放回地摸取5次，摸得白球的个数为X，∴X～B． ∵E(X)＝3，∴E(X)＝5×＝3，解得m＝2， ∴D(X)＝5××＝．] 2．已知随机变量X～B，若随机变量Y＝3X＋2，则E(Y)＝(　　) A．10　　　 B．12　　 C．30　　　 D．32 B　[随机变量X～B， 则E(X)＝10×＝， 随机变量Y＝3X＋2， 故E(Y)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝12． 故选B．] 3．某档深受观众喜爱的综艺节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，若五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[由题意可知，P＝ ＋＝．] 4．(教材P76练习T1改编)某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________． 48　[设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X， 则X～B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6， E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48．] 1．知识链： 2．方法链：二项分布问题的求解策略、数学建模． 3．警示牌：不能正确判断是不是二项分布而致误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．n重伯努利试验中，X的分布列P(X＝k)＝pk(1－p)n－k中各量表示的含义是什么？ [提示]　k表示事件A发生的次数，n表示试验总次数，p表示事件A发生的概率，1－p表示事件发生的概率． 2．同一个伯努利试验重复做n次即为n重伯努利试验，重复意味着什么？ [提示]　重复意味着各次试验成功的概率相同． 3．判断二项分布的关键点是什么？ [提示]　(1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率为同一常数． (3)X的取值为0，1，…，n，中间不间断． 课时分层作业(十七)　二项分布 (对应学生用书第149页) 一、选择题 1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． A　[记“恰有1次获得通过”为事件A， 则P(A)＝××＝．] 2．小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为X1，X2，则E(X1＋X2)＝(　　) 注：设X，Y为两个随机变量，则有E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)． A．5　　　 B．6 C．7　　　 D．8 C　[种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6， 则X1服从二项分布B(5，0.8)，E(X1)＝5×0.8＝4．同理，E(X2)＝5×0.6＝3， E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)＝7． 故选C．] 3．在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． A　[设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－p0(1－p)4＝，所以1－p＝，解得p＝．] 4．(多选)已知随机变量X满足X～B(4，p)，0＜p＜1，E(X)＝D(X)，则(　　) A．p＝ 　 B．E(X)＝　 C．E(2X＋1)＝ 　 D．D(2X＋1)＝ BCD　[对于A，因为X～B(4，p)，E(X)＝D(X)，所以np(1－p)＝np， 解得p＝，故A错误； 对于B，E(X)＝np＝，故B正确； 对于C，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝，故C正确； 对于D，D(2X＋1)＝4D(X)＝4np(1－p)＝，故D正确．故选BCD．] 5．(多选)若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则(　　) A．X～B B．P(X＝2)＝ C．X的数学期望E(X)＝3 D．X的方差D(X)＝ ACD　[由题意知，从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数， 知X～B，故A正确； P(X＝2)＝×＝，故B错误； X的数学期望E(X)＝5×＝3，故C正确； X的方差D(X)＝5××＝，故D正确．故选ACD．] 二、填空题 6．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为________．(用数值作答) 　[篮球运动员投球的命中率是， 则投球4次，恰好投进3个球的概率为××＝．] 7．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(2ξ)＝24，D(ξ)＝8，则p＝________． 　[E(2ξ)＝24，D(ξ)＝8， 则解得p＝．] 8．(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6．若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________． 0.6　3.2　[由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈， 小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2， 小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6， 小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2， 一周至少跑11圈的概率为0.6＋0.2＝0.8， 则X～B(4，0.8)， 所以E(X)＝4×0.8＝3.2．] 三、解答题 9．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是．记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： (1)求ξ＝2时的概率； (2)求随机变量ξ的分布列和均值． [解]　(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是， 故P(ξ＝2)＝××＝． (2)法一：ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知，P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)． ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝． 法二：∵ξ服从二项分布，即ξ～B， ∴E(ξ)＝4×＝． 10．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A．[0.4，1) 　 B．(0，0.4] C．(0，0.6] 　 D．[0.6，1) A　[由题意知p(1－p)3≤p2(1－p)2， 解得p≥0.4，又∵0<p<1，∴0.4≤p<1．] 11．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象．如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落．数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板，放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍．当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置．若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． A　[因为小球向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 则下落过程中向左一次，向右三次，即可落到4号位置，此时的概率为P＝××＝． 故选A．] 12．(多选)如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，p(0＜p＜1)．同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在A处遇到红灯的次数为X，在A，B两处遇到红灯的次数之和为Y，则(　　) A．P(X＝3)＝ B．D(X)＝　 C．一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为＋p D．当p＝时，E(Y)＝ ACD　[A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，p(0＜p＜1)， 所以X～B，所以P(X＝3)＝××＝， D(X)＝5××＝，故A正确，B错误； 一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为1－(1－p)＝＋p，故C正确； 当p＝时，一次实验中没有遇到红灯的概率为×＝， 遇到一次红灯的概率为××＝，遇到两次红灯的概率为×＝， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为0×＋1×＋2×＝， 所以E(Y)＝5×＝，故D正确． 故选ACD．] 13．设随机变量X服从二项分布B，若P(X≥1)＝0.998 4，则D(X)的值为________． 0.64　[随机变量X服从二项分布B， 若P(X≥1)＝0.998 4， 则P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝1－0.998 4＝0.001 6＝×， 则n＝4，则D(X)＝np(1－p)＝4××＝0.64．] 14．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，整理得到频率分布直方图如图所示． (1)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率； (2)若规定分数在[80，90)为“良好”，[90，100]为“优秀”．用频率估计概率，从该校高三年级学生中随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和均值． [解]　(1)设“不及格”为事件A，则“及格”为事件， ∴P(A)＝1－P＝1－(0.2＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.1， 故该学生不及格的概率为0.1． (2)设“样本中测试分数为‘良好’或‘优秀’”为事件B，则P(B)＝0.2＋0.1＝0.3． 由题意可知X～B(3，0.3)， P(X＝0)＝0.73＝0.343，P(X＝1)＝×0.31×0.72＝0.441， P(X＝2)＝×0.32×0.71＝0.189，P(X＝3)＝0.33＝0.027， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 E(X)＝3×0.3＝0.9． 15．综艺节目中有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示． 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 人数 20 33 31 16 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5 C　[根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为＝，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ， 则ξ～B， 其中P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，…，20， 当k≥1时，由 得 化简得 解得，又k∈N，所以k＝4， 所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $