精品解析：吉林省辽源市跨世纪学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

辽源市跨世纪学校2025－2026学年上学期期中测试 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，点D为的中点，点E为的中点，若，则的面积是（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 4. 如图，直线，，，，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 5. 如图，，点在上，．添加下列条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是______． 8. 将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点，则_______． 9. 如图，在中，，平分，BC=9cm，BD=6cm，那么点到直线的距离是___cm． 10. 如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是_____（把所有正确的序号都填在横线上），①；②；③． 11. 如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，与相交于点P，则的度数是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，在中，是边上一点，延长至点，使得，．求证：． 13. 如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形． 14. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）写出点的坐标． 15. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2． 求证：BC=DE． 16. 已知在中，，，且为奇数． （1）求的周长； （2）判断的形状． 17. 如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 18. 如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图． （1）如图①，画出一条线段，使，且点在格点上； （2）如图②，找一格点，连接，使是等腰直角三角形； （3）如图③，画一个四边形，使其是轴对称图形． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分． 20. 如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 21. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 22. 如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答： （1）当平分时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市跨世纪学校2025－2026学年上学期期中测试 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 3. 如图，已知，点D为的中点，点E为的中点，若，则的面积是（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质求解三角形的面积，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，等底同高的三角形面积相等是解决本题的关键． 先利用点E为的中点，可求解的面积，再根据等底同高可知的面积与的面积相等即可求解． 【详解】解：因为点E为的中点， 则在中，为的中线， 根据三角形中线的性质可知，， 又因为点D为的中点， 则在中，为的中线， 根据三角形中线的性质可知，， 所以的面积是2． 故选：C． 4. 如图，直线，，，，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 5. 如图，，点在上，．添加下列条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定方法：，，，，，逐项进行推论验证即可得到答案． 【详解】解： ，， ， A、由，可得，结合，得到，在和中，，，，可得，故不符合题意； B、在和中，，，可得，故不符合题意； C、由，，条件不足，无法证明，故符合题意； D、在和中，，，，可得，故不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的两个锐角互余解决问题即可． 【详解】解：是的中线， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可求解，理解三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 8. 将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角板的角度计算，三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用；由三角形内角和定理可求解的度数，利用三角形外角的性质可求解的度数，进而可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， 故答案为． 9. 如图，在中，，平分，BC=9cm，BD=6cm，那么点到直线的距离是___cm． 【答案】3 【解析】 【详解】CD=BC-BD=3cm，根据角平分线上的点到角两边的距离相等 10. 如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是_____（把所有正确的序号都填在横线上），①；②；③． 【答案】①② 【解析】 【分析】选①由垂直平分线的判定与性质即可判定是等腰三角形；选②由线段和差即可判定是等腰三角形；选③无法判断即可得到答案． 【详解】解：选①， ， ，即， 是的边上的中线， 是线段的垂直平分线，则， 是等腰三角形； 选②， 是的边上的中线， ， ， ， 是等腰三角形； 选③，无法判断是等腰三角形； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及垂直平分线的判定与性质、线段和差及线段中线性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键． 11. 如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，与相交于点P，则的度数是_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵在等边中，，，， ∴， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，在中，是边上一点，延长至点，使得，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由题意可得，再利用证明，即可得到答案． 【详解】略 13. 如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】 证明：平分， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的概念和平行线的性质，以及等腰三角形的判定；解题的关键是通过转换证明角相等，然后根据等角对等边证明结论． 根据角平分线的概念得到，结合平行线的性质即可证得，从而得到结论． 【详解】略 14. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标． 【小问1详解】 解：，如图所示， 【小问2详解】 解：由图可得． 15. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2． 求证：BC=DE． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC ∴∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ADE≌△ABC（ASA） ∴BC=DE， 【解析】 【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC即可得到答案； 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等． 16. 已知在中，，，且为奇数． （1）求的周长； （2）判断的形状． 【答案】（1）12 （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【小问1详解】 由题意得：，即：， 为奇数，， ∴的周长为； 【小问2详解】 ， 是等腰三角形 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． 17. 如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】略 18. 如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图． （1）如图①，画出一条线段，使，且点在格点上； （2）如图②，找一格点，连接，使是等腰直角三角形； （3）如图③，画一个四边形，使其是轴对称图形． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，点即为所求； （3） 如图所示，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，涉及对称作图、等腰三角形性质等知识，熟练掌握对称性质及等腰三角形性质是解决问题的关键． （1）作出线段关于网格线对称即可得到答案； （2）由等腰三角形性质，找到一个格点到线段两端距离相等即可得到答案； （3）作出线段关于网格对称图即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分． 【答案】（1） （2） 证明：过点作的垂线，垂足分别为点， ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； 【小问1详解】 分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ． 【解析】 【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）0.8cm （3）B点坐标为（4，1） 【解析】 【分析】（1）证，再由证即可； （2）证，得，，即可解决问题； （3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作cm，于点E，过B作于点F，交x轴于点H，证，得，，则，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴cm，， ∴(cm)， 即的长为0.8cm； 【小问3详解】 解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴A， ∴， ∴B点坐标为（4，1）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 22. 如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答： （1）当平分时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得当平分时，，根据距离，速度，时间的关系即可求解； （2）根据，列方程求解即可； （3）分和两种情况讨论，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在等边中，平分， 点Q是的中点， ， 即， ， 【小问2详解】 解：根据题意：，则， 过点P作于点D， 在等边中，，点P在线段的垂直平分线上， ， 解得：， 当时，点P在线段的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：存在， 当时，为直角三角形， 因为 ， 即， 解得：， 当时，为直角三角形， ， 即， 解得： ， 综上：或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $