精品解析：天津市塘沽第一中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

塘沽一中&塘沽二中&塘沽六中 教育集团 2025－2026学年度第一学期期中检测联考试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题共36分）和第Ⅱ卷（非选择题共84分）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案填写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解． 【详解】解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是求解关键． 2. 下列方程中，是关于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式方程的左边变形，得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 4. 某区今年1月份工业生产总值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2月、3月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，先分别表示出2月，3月的产值，再根据总产值相等列出方程． 【详解】根据题意可知2月的总产值为亿元，3月的总产值为，得 ． 故选：C． 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的顶点式即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线的顶点式为， ∴顶点坐标为：， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式． 6. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图像的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的图像与性质解答． 7. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程整理，即得出，从而可求出其根的判别式，进而得出该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查由一元二次方程根的判别式判断其根的情况．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根． 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 9. 已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先判断出抛物线的开口，求出抛物线的对称轴，然后根据各点到对称轴的远近即可判断的大小． 【详解】解：∵，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 又∵离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴故选：D． 10. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 11. 如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 12. 如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 已知点与点关于原点对称，则的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 14. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是__． 【答案】－3 【解析】 【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根． 【详解】∵方程的一个根为2， 设另一个根为a， ∴2a=－6， 解得：a=－3． 故答案为：－3 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 15. 把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数图像平移的规律是左加右减，上加下减． 根据图像向左平移加，向上平移加，可得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式是，即为： 故答案为：． 16. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长_______米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 17. 如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，过作于,根据垂径定理求出、,根据勾股定理求出,根据勾股定理求出即可，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键， 【详解】解：过作于,则， ，过， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，得到，证明，得，再由当时，有最小值，求出，得，继而得到，过点作于点，求出，最后根据三角形面积公式计算可得结论． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵当时，有最小值， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴当线段的长度最小时，的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共计66分） 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 20. 如图，顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点O的对称图形． （3）P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，轴对称最短路径问题，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转方式找到B、C对应点的位置， 再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 【小问3详解】 解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P， 由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点， ∴由图可知，点P的坐标为． 21. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的面积，是解决问题的关键． （1）根据方程有两个实数根可知，方程的根的判别式大于或等于0，列不等式求解即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于k的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为；． 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长， 且矩形的面积为8， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴． ∴k的值为． 22. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转得，因为于点H，所以，则垂直平分； （2）连接，由四边形是正方形，，，得，，由旋转得，，则点F在的延长线上，由，求得，进而利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∵于点H， ∴， ∴垂直平分． 【小问2详解】 解：连接 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴点F在的延长线上， ∵，且，， ∴， 解得， ∴． 即的长是． 23. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． （1）写出y与x之间的函数关系式： （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 24. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋转角记为． （1）如图1，当点C恰好落在x轴上时，点C的坐标为____（直接写出结果）； （2）如图2，当时（），设直线，分别与x轴交于点E，F，求点E的坐标和线段的长； （3）如图3，连接，取线段的中点M，连接，在旋转过程中（），直接写出线段的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形三线合一可得，即可求解； （2）由旋转的性质得，可得，由平行线的性质可得，从而可得，设，根据勾股定理求得的值，证明，可得，即可求解； （3）点C的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，取的中点N，连接，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴点C的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，取的中点N，连接， ∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵， 即， 当点C与点B重合时，的最小值为，但， 综上可知，. 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 25. 抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点B，点E为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于点H，且，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，点A的横坐标满足．求四边形的面积S的最大值； （3）若点P为抛物线上的一动点，且位于直线的下方，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为 （3）点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数求最值． （1）利用待定系数法求得本题答案； （2）根据题意设D点坐标为，再利用分割法表示出四边形面积，再利用二次函数求最值即可得到本题答案； （3）延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q，先求得直线的解析式，求得，证明，求得点G的坐标为，再求得直线解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：点和点代入抛物线解析式， ∴，得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设D点坐标为， ∵平行于y轴， ∴C点横坐标为t． ∵平行于x轴，且A到对称轴的距离是点C到对称轴距离的两倍， 对称轴为直线， ∴，即． 代入解析式得A的纵坐标， ∵，得， ∴D在第四象限的抛物线上． ∴四边形面积， ∴四边形面积， ∵时，S随着t的增大而增大， 故当时，面积S最大值； 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为，顶点E的坐标为， 如图，延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴即， ， ∴， 即， 在与中， ，，， ∴， ∴， 点G的坐标为； 当时，， ∴ 同理，直线解析式为， 将与联立方程， 得， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， 点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中&塘沽二中&塘沽六中 教育集团 2025－2026学年度第一学期期中检测联考试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题共36分）和第Ⅱ卷（非选择题共84分）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案填写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 某区今年1月份工业生产总值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2月、3月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 7. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点、、在函数图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 11. 如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 已知点与点关于原点对称，则的值等于________． 14. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是__． 15. 把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 16. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长_______米． 17. 如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于_______． 18. 如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为_______． 三、解答题（本大题共7个小题，共计66分） 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2） 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点O的对称图形． （3）P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________． 21. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 22. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 23. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． （1）写出y与x之间的函数关系式： （2）设每天销售吉祥物“滨滨”利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋转角记为． （1）如图1，当点C恰好落在x轴上时，点C的坐标为____（直接写出结果）； （2）如图2，当时（），设直线，分别与x轴交于点E，F，求点E的坐标和线段的长； （3）如图3，连接，取线段的中点M，连接，在旋转过程中（），直接写出线段的取值范围． 25. 抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点B，点E为抛物线的顶点． （1）求该抛物线解析式； （2）若过抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于点H，且，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，点A的横坐标满足．求四边形的面积S的最大值； （3）若点P为抛物线上的一动点，且位于直线的下方，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $