13.1.3 反证法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（新教材）数学八年级上册 第13章 勾股定理 13.1.3 反证法 22100 直角三角形的判定 如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数. 复习导入 22100 作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a=1.0，b=2.4，c=2.6；(2)a=2，b=3，c=4；(3) a=2，b=2.5，c=3. 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 22100 可以发现，第一组恰好满足a²+b²=c²，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形. 可以得到什么样的猜想呢？ 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 22100 思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c， BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. 探究： (1) 假设它是直角三角形； (2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾； (3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形. c a b A C B 反证法 22100 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 像这样的证明方法叫“反证法”. 知识要点 22100 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a²+b²≠c²时，这个三角形不是直角三角形. 分析：想从已知条件a²+b²≠c²(a≤b≤c)出发， 直接经过推理得出结论，十分困难. 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： (1)假设它是直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a²+b²=c²，与已知条件a²+b²≠c²矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是直角三角形. 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 22100 反证法：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做“反证法”. 步骤： (1)假设结论的反面是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3)说明假设不成立，进而得出原结论正确. 22100 知识点 反证法 1. 在中，若，则 .下面是运用反证法 证明这个命题的四个步骤： ①所以 ，这与三角形的内角和为 矛盾； ②因此假设不成立，所以 ； ③假设在中， ； ④由，得 ，即 . 这四个步骤正确的顺序应是( ) D A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 返回 22100 9 2.［2025长春月考］用反证法证明“若，则 ”时，应假设 ( ) C A. B. C. D. 返回 22100 10 先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程. 假设：a²+b²=c² 推理矛盾：∠C≠90°是否成立？ 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 22100 例1 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 22100 例1 写出下列各结论的反面： (1) a∥b； (2) a≥0； (3) b 是正数； (4) a⊥b. a＜0 b 是 0 或负数 a 不垂直于 b a 不平行于 b 典例精析 22100 例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　(　　　　　 ). 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B＝∠C AB＝AC 等角对等边 已知 AB≠AC ∠B≠∠C 小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 22100 例2 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是∠A+∠B+∠C > 60°+60°+60°=180 °， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 22100 1. 求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等. 已知：在△ABC中，AB≠AC. 求证：∠C≠∠B. 证明：假设∠C=∠B， 由“等角对等边”可知AB=AC， 这与已知“AB≠AC”矛盾， 所以假设不成立，即∠C≠∠B. 22100 现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢? 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗? 想一想 22100 1. 反设： 证明： 3. 得出结论： 2. 推出矛盾： 假设在△ABC 中，∠C≠90° 时， a2 + b2 = c2 成立. 根据勾股定理的逆定理，当 a² + b² = c² 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾. 所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a² + b²≠c² ”是真命题. 22100 2. 求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线AB、CD分别与直线EF交于点G、H，∠1≠∠2. 求证：AB不平行于CD. 证明：假设AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可知∠1=∠2，这与已知“∠1≠∠2”矛盾.所以假设不成立，即AB不平行于CD. D C A B E F G H 1 2 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 20 步骤 内容 从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的； 2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； 3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确. 反证法 22100 谢谢大家聆听 22100 $