第2章 圆（复习讲义）数学湘教版九年级下册

第二章 圆（复习讲义） 🎯 基础目标：掌握核心概念与定理 此层级对应阶段考基础题、中考选择题与填空题，旨在确保基础分数。 圆的定义与要素：能复述圆的集合定义，并准确指出圆心、半径、弦、直径、弧、圆周角、圆心角等基本要素。 垂径定理及其推论：能独立证明垂径定理，并应用其解决弦长、弦心距、半径之间的计算问题。 圆心角、弧、弦关系：能阐述“在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对弧相等 ⇔ 所对弦相等”这一系列关系，并进行简单转换。 圆周角定理：能证明“圆周角等于其所对圆心角的一半”，并直接应用该定理进行角度计算。 点、直线与圆的位置关系：能根据半径与点到圆心距离（d）的数量关系，快速判断点与圆、直线与圆（相离、相切、相交）的位置关系。 切线的判定与性质：能复述切线的判定定理（连半径，证垂直）与性质定理（切线垂直于过切点的半径），并完成基础证明。 圆的内接四边形：能复述“圆内接四边形对角互补”的性质，并用于求解角度。 🚀 进阶目标：灵活应用与综合推理 此层级对应阶段考中档题、中考解答题前几道，是获得高分的关键。 切线长定理应用：会证明切线长定理，并熟练应用该定理解决从圆外一点引圆的两条切线所形成的线段相等、角度相等问题。 弧长与扇形面积计算：能熟练推导并应用弧长公式（l = nπr/180）与扇形面积公式（S = nπr²/360 或 S = 1/2lr），解决与组合图形相关的计算问题。 圆锥的侧面积与全面积：能理解圆锥侧面展开图与扇形的关系，并推导、应用圆锥侧面积与全面积计算公式解决实际问题。 三角形的“四心”识别：能准确区分并说出三角形的外心（外接圆圆心，三边垂直平分线交点）与内心（内切圆圆心，三条角平分线交点）的定义和性质。 圆的综合证明：能综合运用垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、圆内接四边形性质等，完成涉及多个知识点的几何证明题。 🌟 拓展目标：融会贯通与构造建模 此层级对应阶段考压轴题、中考压轴题，旨在冲刺顶尖分数。 圆与相似三角形综合：能敏锐发现在复杂图形中，由切线、圆周角等条件构成的相似三角形，并利用比例线段进行计算与证明。 锐角三角函数解圆：能灵活构造直角三角形，将圆中的线段、角度问题转化为锐角三角函数的应用问题，建立方程求解。 圆与动点问题：能分析动点在圆上运动时，相关几何量（如线段长度、图形面积）的变化规律或最值，常需结合函数思想。 辅助线的构造：掌握圆中常见辅助线的添设方法，如“见直径，想直角”、“见切线，连半径”、“作弦心距”等，以构造出有用的基本图形。 隐圆模型的识别：能根据条件（如定点定长、对角互补的四边形、定弦定角等）识别出题目中隐藏的圆，并利用圆的性质化难为易。 知识模块 核心要点 关键细节与易错点 1. 圆的基本性质 1. 定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 2. 对称性：轴对称图形（任何直径所在直线），中心对称图形。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 弧、弦、圆心角关系：在同圆或等圆中，一组量相等，其余各组量也相等。 • 易错：忽略垂径定理的推论（平分弦的直径垂直于弦）中“弦非直径”的前提条件。 • 细节：等弧必须是“在同圆或等圆中”能够互相重合的弧，仅长度相等不能称为等弧。 • 细节：计算弦长、弦心距时，常需构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2. 与圆有关的位置关系 点与圆：d>r（外），d=r（上），d<r（内）。 直线与圆：d>r（相离），d=r（相切），d<r（相交）。 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 切线的判定：① 连半径，证垂直；② d=r。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 • 易错：证明切线时，未说明“半径”而直接证垂直，逻辑不完整。 • 细节：切线长定理包含三条信息：切线长相等、圆心与圆外点连线平分两切线的夹角。 • 易错：混淆“切线的性质”与“切线的判定”，性质是已知切线得到垂直，判定是证得垂直来证明切线。 3. 与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角。 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 推论：① 同弧或等弧所对的圆周角相等；② 直径所对的圆周角是直角。 • 易错：运用圆周角定理时，找错其所对的弧或圆心角。 • 细节：在圆中，遇到直径，应立刻联想到“直径所对的圆周角是90°”，从而构造直角三角形。 • 细节：圆内接四边形的外角等于其内对角，这是一个常被忽视但很有用的性质。 4. 圆与多边形 圆的内接多边形：顶点都在同一个圆上的多边形。 圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角。 三角形的外接圆：外心是三边垂直平分线的交点。 三角形的内切圆：内心是三条角平分线的交点。 • 易错：混淆三角形的外心（外接圆圆心）与内心（内切圆圆心）的定义、性质和作图方法。 • 细节：直角三角形的外心是斜边的中点，其外接圆半径等于斜边的一半。 • 细节：求内切圆半径时，常利用“面积法”：S△ = 1/2 * r * (a+b+c)。 5. 弧长与扇形面积 弧长公式：l = (nπr)/180 （n为圆心角度数）。 扇形面积公式：S = (nπr²)/360 或 S = 1/2 lr （l为弧长）。 圆锥的侧面积：S侧 = πrl （l为母线长）。 圆锥的全面积：S全 = πrl + πr²。 • 易错：混淆扇形面积公式中的“n”与“r”，或与弧长公式记混。 • 关键：理解圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，即 2πr（底面） = (nπl)/180。 • 细节：在圆锥问题中，母线l、高h、底面半径r构成直角三角形，满足勾股定理：l² = h² + r²。 6. 正多边形与圆 定义：各边相等，各角也相等的多边形。 关系：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且是同心圆。 中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心。 中心角：正多边形每边所对的外接圆的圆心角。 • 细节：正n边形的中心角α = 360°/n，此角度常用于弧长和扇形面积计算。 • 细节：将正多边形问题转化为直角三角形问题，这个直角三角形由中心、一个顶点和一条边的中点构成。 题型一、判定点与圆的位置关系 一、判定点与圆的位置关系 【例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 【变式1-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知矩形的边．若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆内，时点在圆外，结合矩形的边长和勾股定理确定距离范围是解题的关键． 先求出矩形中各点到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系确定半径的取值范围． 【详解】解：连接，如图． ， ． 以点A为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外， 的半径的取值范围是． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 题型二 点与圆上一点的距离最值问题 【例2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围． 【详解】解：如图，连接，，取的中点，连接，， ，， ，， ， ， ， 的半径为5， ， ,分别为，的中点，， 为的中位线， ， 点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， ， ， 的取值范围为． 故选C． 【变式2-2】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 8 18 【分析】当三点在一条直线上时，线段的长取得最值，由此用勾股定理求解即可． 【详解】解：当三点在一条直线上时，线段的长取得最值． 是边的中点， ． ， ． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为． 故答案为：8；18． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型三 圆心角、弦、弧之间的关系 【例3】（25-26九年级上·西藏拉萨·期中）如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系．根据C、D是弧的三等分点易得度数为度数的． 【详解】解：∵， ， ∵点、是的三等分点， ∴ ， ， 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北·期中）如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 故选D． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 题型四 圆周角定理的应用 【例4】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、圆周角定理和三角形外角的性质，由平分可得，由得，由圆周角定理得，再由三角形外角性质可得结论． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆心角是，圆周角是， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 点、、在上， ， 则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】根据圆及圆周角定理得，，再结合等边对等角及三角形内角和定理即可得出答案． 本题考查圆周角定理，等边对等角及三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵点、、在上， ∴， ∵在中，和所对的弧是，且， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题重点考查圆的有关概念和性质、弧的度数的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键；由，得，由为，得，则，所以． 【详解】证明：弦经过直径上一点，， ， ， ∵为， ，即， ， ． 题型五 圆周角定理的推论 【例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用直角三角形的性质求出，再利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【答案】//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，BD，CE是锐角的高，连接DE．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得四点共圆，再利用四点共圆对角互补，可证． 【详解】证明：取的中点，连接，，如图， 是锐角的高， ， 在中，是中点， ，同理可证， ， 四点共圆， ， ， ． 【点睛】本题考查了四点共圆的性质，熟练掌握四点共圆中对角互补是解题关键． 【变式5-3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点D，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理及利用三角形面积公式求高， （1）根据圆上任意一点与直径构成的三角形为直角三角形这一性质，利用勾股定理求得的距离； （2）利用三角形面积公式求出的距离即可． 【详解】（1）解：∵是的直径，C是上一点， ∴， 又∵，， 在中，由勾股定理得，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． (1)求证：点是的中点． (2)若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到，得到，根据等边三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 即点是的中点； （2）解：∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式5-5】（2025九年级·全国·专题练习）已知为等边三角形的外接圆． (1)如图①，若为的直径，连接，求证：． (2)如图②，若为上任意一个点，连接，则结论还成立吗？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据为等边三角形和为直径，可得和是含的直角三角形，从而得到，得证； （2）在上取一点，使，连接，先证明为等边三角形，再证，得到，通过等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ． 为的直径， ， ， ， ． （2）解：成立，证明如下： 如图，在上取一点，使，连接． ， 为等边三角形， ． ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题关键． 题型六 圆内接四边形的性质 【例6】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点C，D是以为直径的半圆O上的两点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理推论及圆内接四边形性质，先求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 在半圆O中，为直径， ， ， ， ， 故选：C． 【变式6-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D，E都在上，连接．若所对圆心角的度数为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作辅助线构造圆内接四边形是解题关键． 连接，由圆周角定理可得，由于四边形为的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接． 所对圆心角的度数为， ． 点都在上， ∴四边形为的内接四边形， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，同角的补角相等，由四边形是圆内接四边形，则有，由，，所以，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七 垂径定理的应用 【例7】（20-21九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 【变式7-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径． 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理的应用，由题意得平分，得出．设圆的半径是x米，则，根据即可求解； 【详解】解：为高，且过圆心， 平分， ， ． 设圆的半径是x米，则， 在中，， 即：，解得： 即此门洞的半径OC的长度是米． 【变式7-3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 题型八 三角形的外接圆 【例8】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键． 设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵抛物线关于y轴对称， ∴的外心在y轴上， 设的外心P的坐标为，连接，则有， 对于二次函数，当时，， 当时， ∴ ∴， 则，， 在中，，即 解得：， ∴的外心P的坐标为， 故选：A． 【变式8-2】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形与其外接圆之间的关系， 勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，进而得到该三角形的斜边即为其外接圆的直径，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴三边长为6，8，10的三角形是直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴这个三角形的外接圆半径是5， 故答案为：5． 题型九 直线与圆的位置关系 【例9】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关系定是解此题的关键．根据点为圆心，得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 【变式9-1】（2024·浙江宁波·二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据点到直线的距离与半径之间的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为，点到直线的距离为， ∴的半径为， ∵， ∴与的位置关系是相离； 故选A． 【变式9-2】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 【变式9-3】（2023·湖南株洲·一模）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是 ．    【答案】相切 【分析】根据角的余弦值，求得，再利用勾股定理，得到，比较与半径r的大小，即可得出与的位置关系． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 由勾股定理得：， 当时，与的位置关系是相切， 故答案为：相切． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，直线和圆的位置关系，求出的长是解题关键． 题型十 切线的判定 【例10】（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）连接，由知，则，由可证，根据得，得证； （2）设，在中由勾股定理求得 【详解】（1）证明：连接， ， ． ． ， ． ． ． ， ， 又是半径． 是的切线． （2）解：设， ， ． 在中， ，，， ． 解得． 的半径是3． 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直． 【变式10-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知 中，为直径，点与点是上的点，分别位于直径两侧，且，，交直径于点，延长至使得，连接，． (1)求证：是 的切线； (2)求证：； (3)若直径，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的证明，三角形全等的证明、解直角三角形，熟练应用相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）由，，等边对等角以及等量代换易得，，由为直径，可得，从而利用角的等量代换易得，从而得证； （2）利用同弧（等弧）所对的圆周角相等，可得， ，  用“”证明即可求解； （3）过点作交于点，过点作交于点，易知和均为等腰直角三角形， 设，则， ，从而得到， 进而得到，在中，由勾股定理可求解出，最后根据，列式求解即可得到的长度． 【详解】（1）证明：，， ，， ， 在中，为直径， ， ，， 即， ， ，即，即， 是的切线； （2）证明：和所对的是同一段弧， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：如图所示，过点作交于点，过点作交于点， ，，， ，， ， 和均为等腰直角三角形， 设，则， ， ， 在中，为直径， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， ， 即点到的距离为． 【变式10-2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)7 【分析】（1）连接，可知，得，结合已知可证得，再根据垂直可知，则，进而可证得结论； （2）由，，得出，进而可得结论； （3）利用三角函数的定义得，进而求得，，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴是的切线； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 由（2）知，设，则，， ∵，， ∴， ∴，则 ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理． 题型十一 切线的性质 【例11】（2025·湖南·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 【变式11-1】（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，且于点D，过点C作于点E． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，从而，进而，根据圆周角定理得到，即，得出，根据“”即可证明； （2）由（1）得到，由得到，在中解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的半径为． 【变式11-3】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接 (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 题型十二 切线长定理的应用 【例12】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 【变式11-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B， ∴，． ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 【变式11-2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 【变式11-3】（2025·湖南株洲·三模）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，进而有，因此要得到的度数只需得到或的度数；由切线的性质可得，已知，根据即可得到的度数，接下来，在中根据三角形的内角和定理即可完成解答． 【详解】解：∵切于点A，是半径， 分别切于点A、B， ． 故答案为：． 【变式11-4】（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，或，． 【分析】（1）根据切线长定理得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算，证明结论； （2）过点作，垂足为，根据勾股定理列式计算，得到答案； （3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据函数关系式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：、是的两条切线， ， 同理可得，， 为的直径，和是的两条切线， ∴， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 则四边形为矩形， ，， 切、、于、、， ，， ，， 在中，，即， ， ． （3）解：、是方程的两个根， ，即， 整理得，， 解得，，， 则，， ，或，． 【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、矩形的性质、求函数关系式、一元二次方程根与系数的关系，掌握切线长定理、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型十三 三角形的内切圆 【例13】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 【变式13-1】（2023·广西梧州·二模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）    A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可. 【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r， 则，， ∵ ， 又的周长为18，面积为9， ∴， ∴， 故选：A.    【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键. 【变式13-2】（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 【变式13-3】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的内心在x轴上，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的内心有关的计算，求一次函数解析式，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，推出，进而得到，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∵的内心在x轴上， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴； 故答案为：． 【变式13-4】（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，如图所示，则O到的三边距离之和是 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内接圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 首先证明点O是的内心，由，即可解决问题． 【详解】解：由题意点O是垂直平分线的交点， ，， 的垂直平分线经过B且平分，的垂直平分线经过A且平分， ∴O是的内心， 则， ∴点O到的三边的距离之和是， 故答案为12． 题型十四 正多边形与圆 【例14】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：B． 【变式14-1】（24-25九年级上·江苏·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 【变式14-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键．先求出正六边形的内角度数，再设的半径为，根据扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：正六边形， ， 设的半径为， 则， 解得：， 即的半径为3 故选：A． 【变式14-3】（2025·湖南·模拟预测）如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，， 在中，，， ， 同理， ， ， 故选：C． 【变式14-4】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，扇形面积等知识点，连接，由题意得：，推出是等边三角形，，，进而得，，证，推出即可求解； 【详解】解：连接，交于，如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即平分； ∴，， ∵， ∴； ∴； ∴， 故答案为： 【变式14-5】（22-23九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十五 弧长与扇形面积 【例15】（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 【变式15-1】（2024·湖南·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据弧长公式即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由弧长公式得它的弧长为， 故答案为：． 【变式15-2】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知四边形是菱形，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、扇形面积公式以及图形面积的转化，利用三角形全等转化面积是解题关键．连接，设与交于点，与交于点，证明，即可得到阴影部分面积等于扇形面积减去的面积，先求出扇形的面积，再求出菱形中的面积即可． 【详解】解：连接，设与交于点，与交于点， 四边形是菱形，， ， . ， 是等边三角形， ， 是等边三角形，， ， ，是等边三角形， 的高为， ， 扇形的圆心角为， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 扇形的半径为6，圆心角为， ， 图中阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式15-3】（2024·湖南·模拟预测）2023年9月23日晚8点，2022年第19届亚运会于杭州盛大开幕．会徽以“潮涌”为主题，寓意了活力与创新，体现了水乡特色．如图是会徽的几何图形，若，几何图形面积为，扇形面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积． 设，，可得，，从而可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式15-4】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由为角平分线得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，根据垂直于，得到垂直于，即可得证； （2）根据E为弧的中点，得到，利用等弧对等弦得到，证明四边形是菱形，进而证明，推出点F为的中点，易证为的中位线，得到，即，可得出弓形与弓形面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形的面积，求出即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴与圆O相切； （2）解：连接，交于F， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， 四边形是菱形， 为直径，得到， ， 与相切，C为切点， ， ， ， ， 即， ∴点F为的中点， 点O为的中点， 为的中位线， ，即， 在中，根据勾股定理得：， 则． 【点睛】本题考查切线的判定，角平分线的定义，平行线判断，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，三角形中位线，求不规则图形的面积等知识点．解题的关键是掌握判定切线的方法． 【变式15-5】（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交于点E，F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切；理由见解析 (2)18 【分析】（1）连接，证明，得出，即，即可得证； （2）解求得，，由计算即可． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形面积、解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 基础巩固通关测 65．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由圆周角定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，掌握这些知识是关键． 66．（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 67．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 68．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，结合已知条件求得是解题的关键．连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 69．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，分别与相切于两点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 70．（2024·广东广州·二模）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 71．（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）如图，已知等腰直角中，，圆心在内部，且经过B、C两点，若，，求的半径． 【答案】5 【分析】连接，延长交于D．根据是等腰直角三角形，，得出，结合，得出直线是线段的垂直平分线，则，且D是的中点，从而得出．则，，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，延长交于D． ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵O是圆心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，且D是的中点， 在中，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 72．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 【答案】(1)5 (2)图见解析， 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴半径的长为5； （2）解：如图， 由（1）得，半径的长为5， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 73．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先证明出，证明出，得到，设，，表示出，然后得到当时，四边形为菱形，进而求解即可； （2）如图所示，过点P作于点G，由切线长定理得到，，由三线合一得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为菱形． 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴当时，四边形为菱形； （2）解：如图所示，过点P作于点G ∵直线，为的外接圆的两条切线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，菱形的判定，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 74．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的直径为； (2)． 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 75．（2022·湖南常德·一模）如图，已知A、B、C分别是上的点，，P是直径的延长线上的一点，且． (1)求证：与相切； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）连接，则，所以，则，由，得，求得，即可证明与相切； （2）由，，得，推导出，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 76．（2024·湖南·模拟预测）如图，是圆O的切线，A为切点，点B，C是圆上与点A不重合的两点． (1)如图1，若是的直径，，求的度数； (2)如图2，当点B在上运动时(不与点A，C重合)，与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，解直角三角形得出，由切线的性质可得，即可得解； （2）连接并延长与交于点，连接，，由圆周角定理并结合等边对等角可得，由圆周角定理可得，推出，由切线的性质可得，从而可得，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆O的切线，A为切点， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ， 如图，连接并延长与交于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是圆O的切线，A为切点， ∴， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 77．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 225 121 【分析】本题考查的是坐标与图象的性质和点与圆的位置关系，确定取最大值时，点P的位置是解题的关键． 表示点P到原点O的距离的平方，点P在圆A上运动，求该距离平方的最值，转化为求圆上点到定点的距离最值问题． 【详解】圆心到原点的距离， 的半径为2，当点P位于线段的延长线上且远离O时， 取得最大值， 故的最大值为； 当点P位于线段上且靠近O时， 取得最小值，故的最小值为． 故答案为225，121． 78．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则弧的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题关键是根据图形求出弧长半径的规律．先观察图形，分别找出的半径，从而得到后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，从而求出的半径，从而找出规律，求出的半径，最后根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意可知： 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为…， ∴后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大， ∴ 的半径为，即， 的半径为，即， 的半径为，即， …， ∴的半径为：， ∴的半径为：， ∴的长为：， 故答案为：． 79．（2024·湖南·模拟预测）如图，以为直径的上有两点E、F，，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果N是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由E是的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明；   （2）由平分得，再由外角性质得到，由此推出； （3）由（2）的证明知，，从而可证明 ，得到，，由，，证得，由相似三角形的性质求出，在中，利用勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：如图： 由（1）知是的切线， ∴（弦切角定理）， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴，∵，∴． ∴的长为6． 80．（2024·湖南·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，． (1)求证：且； (2)在旋转过程中，当线段最短时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识． （1）证明，得到，设，得到，得到； （2）证明，则，推出，由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，根据，计算即可求解． 【详解】（1）∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 设， ∴， ∴. （2）解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图， ∵， ∴当在下方且与相切时，线段最短， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 81．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点C为半圆的中点，点D为弧的中点，连接和相交于点G，作交于点H，垂足为点E，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）如图，连接，求出，得到，然后求出，即可证明； （2）得到，然后求出，得到，然后等量代换得到； （3）根据题意证明出，得到，进而得到． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∵点C是半圆的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中，， ∴ 即， ∴是圆O的切线； （2）证明：∵是圆O的直径， ∴， ∵和所对弧为弧和弧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 82．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知是的外接圆，是的直径，且，延长到E，且有． (1)求证：是的切线； (2)若，，求圆的直径； (3)在（2）的条件下求切线的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】（1）连接，根据已知条件易证，继而得到，根据直径所对的圆周角为直角即可证得结论； （2）连接交于F，根据已知条件易证，根据垂径定理得出，根据三角形中位线定理求出，设的半径为r，则，，在和中，根据勾股定理得出，解方程求出r，即可求解； （3）根据勾股定理求出，根据圆内接四边形的性质可得出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线 （2）解：连接交于F， 由（1）知：， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴圆的直径； （3）解：在中， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，弧、弦的关系，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 83．（2025·湖南·模拟预测）如图，线段为的直径，点C，D为上的两点，点D平分，与相交于点E，连接，，延长至F，连接，使． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)若，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由点D平分可知，得，由，可知，则，即可证得结论； （2）由（1）可知，可知，进而可知，则，即可证得结论； （3）延长交于，连接，先证，得，进而求得，则，，，，则，再证，得，设，则，，列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 又是的半径， ∴为的切线； （3）解：延长交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则，， ∴，， 则， 由圆周角定理可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，平行线的判定，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 84．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，为直径，，P为上一点，过点P的弦，Q为上一动点（点Q与点B不重合），连接，过点A作于点H，连接． (1)当时，求的长； (2)写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)是否存在点P，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆的相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，通过导角证明，根据圆的性质求出的长，进而可求出的长，据此可得答案； （2）连接，可证明，得到．再证明，得到，则可推出，进而得到，即； （3）由（2）可推出，则可证明．当时，是一个定值，且这个定值为9．连接．证明，得到，则，解，可得．则，故当，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值9，此时的度数为． 【详解】（1）解：如图1所示，连接． ， ∴， ∵ ． ， ∴， ． ，且为直径， ， ∴， ； （2）解：，理由如下： 如图2所示，连接， 是直径， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 是直径， ， ， ， 又∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ，即； （3）解：由（2）知，，即， ． 当时，是一个定值，且这个定值为9． 如图3，连接． 为直径， ， ， ∴ ， ∴ 在中，， ． 与对着同一条弧， ， 故当，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值9，此时的度数为．                                 试卷第2页，共92页 2 / 95 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆（复习讲义） 🎯 基础目标：掌握核心概念与定理 此层级对应阶段考基础题、中考选择题与填空题，旨在确保基础分数。 圆的定义与要素：能复述圆的集合定义，并准确指出圆心、半径、弦、直径、弧、圆周角、圆心角等基本要素。 垂径定理及其推论：能独立证明垂径定理，并应用其解决弦长、弦心距、半径之间的计算问题。 圆心角、弧、弦关系：能阐述“在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对弧相等 ⇔ 所对弦相等”这一系列关系，并进行简单转换。 圆周角定理：能证明“圆周角等于其所对圆心角的一半”，并直接应用该定理进行角度计算。 点、直线与圆的位置关系：能根据半径与点到圆心距离（d）的数量关系，快速判断点与圆、直线与圆（相离、相切、相交）的位置关系。 切线的判定与性质：能复述切线的判定定理（连半径，证垂直）与性质定理（切线垂直于过切点的半径），并完成基础证明。 圆的内接四边形：能复述“圆内接四边形对角互补”的性质，并用于求解角度。 🚀 进阶目标：灵活应用与综合推理 此层级对应阶段考中档题、中考解答题前几道，是获得高分的关键。 切线长定理应用：会证明切线长定理，并熟练应用该定理解决从圆外一点引圆的两条切线所形成的线段相等、角度相等问题。 弧长与扇形面积计算：能熟练推导并应用弧长公式（l = nπr/180）与扇形面积公式（S = nπr²/360 或 S = 1/2lr），解决与组合图形相关的计算问题。 圆锥的侧面积与全面积：能理解圆锥侧面展开图与扇形的关系，并推导、应用圆锥侧面积与全面积计算公式解决实际问题。 三角形的“四心”识别：能准确区分并说出三角形的外心（外接圆圆心，三边垂直平分线交点）与内心（内切圆圆心，三条角平分线交点）的定义和性质。 圆的综合证明：能综合运用垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、圆内接四边形性质等，完成涉及多个知识点的几何证明题。 🌟 拓展目标：融会贯通与构造建模 此层级对应阶段考压轴题、中考压轴题，旨在冲刺顶尖分数。 圆与相似三角形综合：能敏锐发现在复杂图形中，由切线、圆周角等条件构成的相似三角形，并利用比例线段进行计算与证明。 锐角三角函数解圆：能灵活构造直角三角形，将圆中的线段、角度问题转化为锐角三角函数的应用问题，建立方程求解。 圆与动点问题：能分析动点在圆上运动时，相关几何量（如线段长度、图形面积）的变化规律或最值，常需结合函数思想。 辅助线的构造：掌握圆中常见辅助线的添设方法，如“见直径，想直角”、“见切线，连半径”、“作弦心距”等，以构造出有用的基本图形。 隐圆模型的识别：能根据条件（如定点定长、对角互补的四边形、定弦定角等）识别出题目中隐藏的圆，并利用圆的性质化难为易。 知识模块 核心要点 关键细节与易错点 1. 圆的基本性质 1. 定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 2. 对称性：轴对称图形（任何直径所在直线），中心对称图形。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 弧、弦、圆心角关系：在同圆或等圆中，一组量相等，其余各组量也相等。 • 易错：忽略垂径定理的推论（平分弦的直径垂直于弦）中“弦非直径”的前提条件。 • 细节：等弧必须是“在同圆或等圆中”能够互相重合的弧，仅长度相等不能称为等弧。 • 细节：计算弦长、弦心距时，常需构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2. 与圆有关的位置关系 点与圆：d>r（外），d=r（上），d<r（内）。 直线与圆：d>r（相离），d=r（相切），d<r（相交）。 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 切线的判定：① 连半径，证垂直；② d=r。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 • 易错：证明切线时，未说明“半径”而直接证垂直，逻辑不完整。 • 细节：切线长定理包含三条信息：切线长相等、圆心与圆外点连线平分两切线的夹角。 • 易错：混淆“切线的性质”与“切线的判定”，性质是已知切线得到垂直，判定是证得垂直来证明切线。 3. 与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角。 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 推论：① 同弧或等弧所对的圆周角相等；② 直径所对的圆周角是直角。 • 易错：运用圆周角定理时，找错其所对的弧或圆心角。 • 细节：在圆中，遇到直径，应立刻联想到“直径所对的圆周角是90°”，从而构造直角三角形。 • 细节：圆内接四边形的外角等于其内对角，这是一个常被忽视但很有用的性质。 4. 圆与多边形 圆的内接多边形：顶点都在同一个圆上的多边形。 圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角。 三角形的外接圆：外心是三边垂直平分线的交点。 三角形的内切圆：内心是三条角平分线的交点。 • 易错：混淆三角形的外心（外接圆圆心）与内心（内切圆圆心）的定义、性质和作图方法。 • 细节：直角三角形的外心是斜边的中点，其外接圆半径等于斜边的一半。 • 细节：求内切圆半径时，常利用“面积法”：S△ = 1/2 * r * (a+b+c)。 5. 弧长与扇形面积 弧长公式：l = (nπr)/180 （n为圆心角度数）。 扇形面积公式：S = (nπr²)/360 或 S = 1/2 lr （l为弧长）。 圆锥的侧面积：S侧 = πrl （l为母线长）。 圆锥的全面积：S全 = πrl + πr²。 • 易错：混淆扇形面积公式中的“n”与“r”，或与弧长公式记混。 • 关键：理解圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，即 2πr（底面） = (nπl)/180。 • 细节：在圆锥问题中，母线l、高h、底面半径r构成直角三角形，满足勾股定理：l² = h² + r²。 6. 正多边形与圆 定义：各边相等，各角也相等的多边形。 关系：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且是同心圆。 中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心。 中心角：正多边形每边所对的外接圆的圆心角。 • 细节：正n边形的中心角α = 360°/n，此角度常用于弧长和扇形面积计算。 • 细节：将正多边形问题转化为直角三角形问题，这个直角三角形由中心、一个顶点和一条边的中点构成。 题型一、判定点与圆的位置关系 一、判定点与圆的位置关系 【例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【变式1-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知矩形的边．若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 题型二 点与圆上一点的距离最值问题 【例2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 题型三 圆心角、弦、弧之间的关系 【例3】（25-26九年级上·西藏拉萨·期中）如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北·期中）如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 题型四 圆周角定理的应用 【例4】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 点、、在上， ， 则的度数是 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，，求证：． 题型五 圆周角定理的推论 【例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【变式5-2】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，BD，CE是锐角的高，连接DE．求证：． 【变式5-3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点D，，． (1)求的长； (2)求的长． 【变式5-4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． (1)求证：点是的中点． (2)若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【变式5-5】（2025九年级·全国·专题练习）已知为等边三角形的外接圆． (1)如图①，若为的直径，连接，求证：． (2)如图②，若为上任意一个点，连接，则结论还成立吗？请证明你的结论． 题型六 圆内接四边形的性质 【例6】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点C，D是以为直径的半圆O上的两点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D，E都在上，连接．若所对圆心角的度数为，则 ． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 题型七 垂径定理的应用 【例7】（20-21九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【变式7-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径． 【变式7-3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型八 三角形的外接圆 【例8】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 题型九 直线与圆的位置关系 【例9】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【变式9-1】（2024·浙江宁波·二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式9-2】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-3】（2023·湖南株洲·一模）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是 ．    题型十 切线的判定 【例10】（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式10-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知 中，为直径，点与点是上的点，分别位于直径两侧，且，，交直径于点，延长至使得，连接，． (1)求证：是 的切线； (2)求证：； (3)若直径，求点到的距离． 【变式10-2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 题型十一 切线的性质 【例11】（2025·湖南·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式11-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，且于点D，过点C作于点E． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 【变式11-3】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接 (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 题型十二 切线长定理的应用 【例12】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式11-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 【变式11-2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 【变式11-3】（2025·湖南株洲·三模）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 【变式11-4】（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 题型十三 三角形的内切圆 【例13】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式13-1】（2023·广西梧州·二模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）    A．1 B． C．1.5 D．2 【变式13-2】（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 【变式13-3】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的内心在x轴上，则直线的函数表达式为 ． 【变式13-4】（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，如图所示，则O到的三边距离之和是 ． 题型十四 正多边形与圆 【例14】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式14-1】（24-25九年级上·江苏·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式14-3】（2025·湖南·模拟预测）如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（   ） A． B． C． D．12 【变式14-4】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为 （结果保留）． 【变式14-5】（22-23九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 题型十五 弧长与扇形面积 【例15】（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2024·湖南·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【变式15-2】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知四边形是菱形，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式15-3】（2024·湖南·模拟预测）2023年9月23日晚8点，2022年第19届亚运会于杭州盛大开幕．会徽以“潮涌”为主题，寓意了活力与创新，体现了水乡特色．如图是会徽的几何图形，若，几何图形面积为，扇形面积为，则 ． 【变式15-4】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【变式15-5】（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交于点E，F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求阴影部分的面积． 基础巩固通关测 65．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 66．（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 67．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为 ． 68．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 69．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，分别与相切于两点，，则 ． 70．（2024·广东广州·二模）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 71．（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）如图，已知等腰直角中，，圆心在内部，且经过B、C两点，若，，求的半径． 72．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 73．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 74．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 75．（2022·湖南常德·一模）如图，已知A、B、C分别是上的点，，P是直径的延长线上的一点，且． (1)求证：与相切； (2)如果，求的长． 76．（2024·湖南·模拟预测）如图，是圆O的切线，A为切点，点B，C是圆上与点A不重合的两点． (1)如图1，若是的直径，，求的度数； (2)如图2，当点B在上运动时(不与点A，C重合)，与有怎样的数量关系？请说明理由． 能力提升进阶练 77．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 78．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则弧的长是 ． 79．（2024·湖南·模拟预测）如图，以为直径的上有两点E、F，，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果N是的中点，且，求的长． 80．（2024·湖南·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，． (1)求证：且； (2)在旋转过程中，当线段最短时，求的面积． 81．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点C为半圆的中点，点D为弧的中点，连接和相交于点G，作交于点H，垂足为点E，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 82．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知是的外接圆，是的直径，且，延长到E，且有． (1)求证：是的切线； (2)若，，求圆的直径； (3)在（2）的条件下求切线的长． 83．（2025·湖南·模拟预测）如图，线段为的直径，点C，D为上的两点，点D平分，与相交于点E，连接，，延长至F，连接，使． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)若，且，求线段的长． 84．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，为直径，，P为上一点，过点P的弦，Q为上一动点（点Q与点B不重合），连接，过点A作于点H，连接． (1)当时，求的长； (2)写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)是否存在点P，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共92页 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $