专题03 与圆有关的计算9大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

专题03 与圆有关的计算 题型一、弧长的计算 1．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）已知扇形的半径为 ，圆心角为，则扇形的弧长为（       ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，弧为等边三角形的外接圆上的一段优弧，若，则优弧的长度为 ． 3．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 4．（2025·湖南·模拟预测）汽车的圆形轮毂（）半径为，装饰贴纸贴在轮毂边缘，其中一段贴纸对应的圆心角是，那么这段贴纸的长度是 ．（结果保留） 5．（24-25九年级下·江西赣州·期中）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则弧的长是 ． 7．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 题型二、扇形半径的计算 8．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 9．（2024九年级下·天津河西·学业考试）如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 11．（24-25九年级下·重庆·开学考试）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是 ． 12．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 题型三、圆心角的计算 13．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 17．（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 18．（2025·山西晋中·二模）如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 题型四、图形旋转的弧长计算 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 21．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 22．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在单位长度为1的正方形网格中，将绕顶点B 逆时针旋转至的位置，已知，则旋转过程中点A所经过的路径长为（    ）． A．2π B．4π C． D． 23．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为 ． 24．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 25．（2025九年级·全国·专题练习）如图，扇形从①处无滑动绕着点旋转到②处（），再从②处紧贴直线运动到③处．已知，（结果保留）． (1)求点运动的路径长． (2)求点走过的路径与直线围成的面积． 26．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“”形的每个顶点均为网格线交点，将“”形绕点顺时针旋转，顶点A，B的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“”形旋转后所得到的图形； (2)__________°； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为__________． 题型五、扇形面积的计算 27．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，为的中点，，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，在中，，，则扇形的面积为 ． 29．（2024·湖南·模拟预测）2023年9月23日晚8点，2022年第19届亚运会于杭州盛大开幕．会徽以“潮涌”为主题，寓意了活力与创新，体现了水乡特色．如图是会徽的几何图形，若，几何图形面积为，扇形面积为，则 ． 30．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，半圆的直径，、为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ． 31．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 32．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 题型六、图形扫过的面积计算 33．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 35．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 36．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 37．（2024·湖南怀化·一模）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么在点B运动到点的过程中，线段所“扫过”的面积为 ．（结果用含的式子表示）    38．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 39．（2024·湖北·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点． (1)画出关于直线l对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转的，并求出线段扫过的面积． 40．（25-26九年级上·广西柳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 题型七、弓形面积的计算 41．（20-21九年级下·云南昭通·期中）如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为 ． 42．（2025·湖南·模拟预测）如图，是的内接三角形，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积．（结果保留准确值） 43．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 44．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图所示，的顶点A，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接，，已知． (1)求证：直线是的切线． (2)若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求弓形阴影部分的面积． 45．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在半径为5的中，为直径，，弦与交于点F，在的延长线上有点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求： ①的长； ②由弦与弧围成的阴影部分面积． 46．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求 ①的半径 ②弓形的面积（图中阴影部分） 47．（2025·江苏泰州·三模）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积． 题型八、不规则图形面积的计算 48．（2025·河南新乡·二模）如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 49．（2025·广东东莞·二模）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 50．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 51．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 52．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，正方形的边长为，图中4个弓形（阴影部分）面积之和是多少？取 53．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，点D是上一点，过点A的切线与弦的延长线交于点C，过点D的直线交线段于点E，且． (1)求证：直线与相切； (2)已知的半径是4，，求阴影部分的面积． 54．（22-23九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且；试求阴影部分的面积． 题型九、正多边形和圆 55．（2025·湖南怀化·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，若的半径为6，则图中阴影部分（弓形）的面积为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，是正五边形的外接圆．若的半径为6，则半径与围成的扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 58．（2024·贵州贵阳·二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 60．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是 ．（π取） 61．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为 ． 62．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 63．（22-23九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 64．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 65．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 66．（2024·山东聊城·三模）如图，正方形的边长为1，以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，，围成阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，与围成阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设，，围成阴影部分面积为，则 ． 67．（2025九年级·全国·专题练习）（1）如图①，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心．求阴影部分的面积． （2）如图②，是两条互相垂直的直径，分别是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆，若的半径是2，求阴影部分的面积． 68．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，A为x轴上一点，以为半径作交y轴于B，点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦的距离． (1)求弦下方圆内阴影部分的面积； (2)如图1所示，若圆心O到弦的距离，求C点的坐标； (3)如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得，四边形的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 69．（2024·山东济宁·三模）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作．求证：是的切线； （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点E是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点M． ①与的位置关系为_________________； ②若，求阴影部分面积． 70．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q． (1)当点P位于中点时，则_______． (2)①如图1，当时，求点P到的距离； ②如图2，当时，求的长度； (3)记的面积为，的面积为； ①求证：为定值； ②当时，求的长． 71．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． (1)如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积； (2)如图2，当时，求点到的距离； (3)如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 72．（24-25九年级下·湖南·阶段练习）综合与实践 【问题背景】古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”有相关研究．某校实践小组类比书中的记载，以“正六边形园艺馆的测量”为主题开展实践活动． 【实践过程】 信息采集 如图，该园艺馆的俯视图是正六边形，边长为20米，，分别为园艺馆的北门和南门，馆外南侧有一条东西走向的道路，且（门宽及门与道路间距离忽略不计），馆外东侧有一条南北走向的道路，处为一座以湖南芙蓉龙为造型的园艺作品． 测量绘制 在点处测得园艺作品在北偏东方向上，在点处测得园艺作品在北偏东方向上．绘制出示意图，连接，，过点作于点；连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点． 数据信息 ，，． 【解决问题】 (1)______，______； (2)求点到道路的距离；（结果精确到1米） (3)若小组成员乐乐从处沿道路向西行走去往南门，求她最多走多少米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了（即的长）？（结果精确到1米） 73．（24-25九年级下·湖南·阶段练习）【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？ 【思路梳理】 （1）如图②，将小正方形绕圆心旋转，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【初步探究】 （2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边，，，之间存在某种数量关系．若按图③所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系：______； 【探究应用】 （3）如图⑤，在四边形中，对角线，若，，求的最小值． 74．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 75．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）四边形为正方形，以点为旋转中心，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，． (1)如图，当旋转角时，的度数为___________度； (2)如图，当旋转角由小变大时，的度数___________（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； (3)如图，延长，过点作的延长线于点，连接．求线段与的数量关系，并证明你的结论； (4)如图，正方形的边长为，在（）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出点所经过的路程． 试卷第2页，共91页 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与圆有关的计算 题型一、弧长的计算 1．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）已知扇形的半径为 ，圆心角为，则扇形的弧长为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形的弧长，正确理解扇形弧长公式是解题的关键．根据扇形的弧长公式计算，即得答案． 【详解】解：，圆心角为， ． 故选：A． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，弧为等边三角形的外接圆上的一段优弧，若，则优弧的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的性质和弧长公式应用，求出圆的半径和圆心角的度数，再运用弧长公式可求解． 【详解】解：连接，并延长，交于点，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，, ∴， 解得，即， 所以，优弧的长度， 故答案为：． 3．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 4．（2025·湖南·模拟预测）汽车的圆形轮毂（）半径为，装饰贴纸贴在轮毂边缘，其中一段贴纸对应的圆心角是，那么这段贴纸的长度是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 根据题意将已知数据代入公式，即可求解． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·江西赣州·期中）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则弧的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题关键是根据图形求出弧长半径的规律．先观察图形，分别找出的半径，从而得到后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，从而求出的半径，从而找出规律，求出的半径，最后根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意可知： 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为…， ∴后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大， ∴ 的半径为，即， 的半径为，即， 的半径为，即， …， ∴的半径为：， ∴的半径为：， ∴的长为：， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 题型二、扇形半径的计算 8．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 9．（2024九年级下·天津河西·学业考试）如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是关键．设扇形的半径为R，则扇形的弧长为，可表示扇形的面积，根据二次函数的性质即可判定选项C满足题意． 【详解】解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为，则扇形的面积为： S， ， 由二次函数的图象与性质可知，当时，扇形面积取到最大值， ． 故选：C． 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的半径为， 故答案为：6 ． 11．（24-25九年级下·重庆·开学考试）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键． 根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：设这个扇形的半径是r， 根据扇形面积公式，得， 解得（负值舍去）． 所以扇形的半径是3． 故答案为：3 12．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 【详解】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 题型三、圆心角的计算 13．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是， 故选：B． 15．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求扇形圆心角度数，设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆心角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：D． 16．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 17．（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．（2025·山西晋中·二模）如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算是关键． 根据弧长公式（是弧长所对的圆心角）代入计算即可． 【详解】解：半径米，圆心角为的弧形观景步道即， ∴（米）， ∵将弧形步道的弧长减少米， ∴调整后的弧长为（米）， 设此时的圆心角的度数为， ∴， 解得，， 故选：C ． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 题型四、图形旋转的弧长计算 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可． 【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长， ， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加， ∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故选：A． 21．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：A． 22．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在单位长度为1的正方形网格中，将绕顶点B 逆时针旋转至的位置，已知，则旋转过程中点A所经过的路径长为（    ）． A．2π B．4π C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的旋转变换，解题的关键是理解A所经过的路径是扇形，扇形弧长公式． 由题知，A所经过的路径是扇形，结合扇形弧长公式． 【详解】解：根据题意，A所经过的路径是扇形，半径， 圆心角， 所以． 故选：D． 23．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点．根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点E旋转的度数为， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴点经过的路径长为． 故答案为：． 24．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 25．（2025九年级·全国·专题练习）如图，扇形从①处无滑动绕着点旋转到②处（），再从②处紧贴直线运动到③处．已知，（结果保留）． (1)求点运动的路径长． (2)求点走过的路径与直线围成的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的运动路径分为三段，分别计算每段的弧长，再求和得到总路径长； （2）将围成的面积分为三部分，分别计算扇形面积和矩形面积，再求和得到总面积． 【详解】（1）解：第一段路径的长为， 第二段路径的长为， 第三段路径的长为， 点运动的路径长为． （2）解：围成的面积分成三部分：，，． 故点走过的路径与直线围成的面积． 【点睛】本题考查扇形的弧长与面积计算，掌握分段分析点的运动路径，结合弧长公式和扇形面积公式求解是解题的关键． 26．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“”形的每个顶点均为网格线交点，将“”形绕点顺时针旋转，顶点A，B的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“”形旋转后所得到的图形； (2)__________°； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3)π 【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式． （1）利用旋转变换的性质分别作出对应点即可； （2）根据旋转角的定义判断即可； （3）利用弧长公式求解． 【详解】（1）解：图形如图所示； ； （2）解：旋转角为． 故答案为：90； （3）解：点C所经过的路径长为； 故答案为：π； 题型五、扇形面积的计算 27．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，为的中点，，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握勾股定理和扇形的面积公式是解题的关键． 根据已知条件求出，再由勾股定理求，发现，所以，同理可得，进而求出，最后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：， ． 为的中点， ． 四边形为矩形， ， ， ∴， ． 同理，， ， ． 故选：B． 28．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，在中，，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形的面积，由圆周角定理得，再根据扇形的面积公式计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（2024·湖南·模拟预测）2023年9月23日晚8点，2022年第19届亚运会于杭州盛大开幕．会徽以“潮涌”为主题，寓意了活力与创新，体现了水乡特色．如图是会徽的几何图形，若，几何图形面积为，扇形面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积． 设，，可得，，从而可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，半圆的直径，、为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，不规则图形面积的计算方法．根据题意，可求出的度数，且与等底等高，所以阴影部分的面积为扇形的面积，由此即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点为半圆的三等分点， ∴，， ∴， ∵半圆的直径， ∴， ∵， ∴与等底等高， ∴阴影部分的面积为扇形的面积， ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 31．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了扇形的面积，先求出总的面积，再减去空白部分半圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：整个图形的面积为， ∴阴影部分的面积（平方厘米）， 答：图中阴影部分的面积是平方厘米． 32．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：，， ， 在中，，， ∴， ； （2）解：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 题型六、图形扫过的面积计算 33．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 【详解】解：已知为半圆的直径，， ∴半圆的半径为1， ∵是等腰直角三角形，且为高， ∴，， 将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果， 当点C在半圆上从A运动到B时： 点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积， 即、各扫过的面积是一个半圆的面积， 即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即． 故答案为：． 35．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和解直角三角形，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为：． 36．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 37．（2024·湖南怀化·一模）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么在点B运动到点的过程中，线段所“扫过”的面积为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】/ 【分析】本题主要考查了求图形扫过的扇形面积，解直角三角形，先解直角三角形得到，则，进而求出，则，再根据线段所“扫过”的面积即为扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上， ∴， ∴线段所“扫过”的面积为， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；由旋转的性质可知阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵与有一个公共部分， ∴； 故答案为． 39．（2024·湖北·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点． (1)画出关于直线l对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转的，并求出线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形，根据线段扫过的面积，由此计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ∵，， ∴线段扫过的面积． 40．（25-26九年级上·广西柳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析，的坐标为 (2) 【分析】本题考查旋转的性质和扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转确定点和点的坐标，连接旋转后新的三个顶点得到即可； 观察发现线段所扫过的面积为以原点为圆心，弧所形成的扇形，根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：点旋转后得到，点的坐标为， 点旋转后得到，点的坐标为， 如图所示： （2）根据题意可知，从到，线段到，所扫过的图形为扇形，已知， 则， 因此线段所扫过的扇形面积为：． 答：线段所扫过的扇形面积为． 题型七、弓形面积的计算 41．（20-21九年级下·云南昭通·期中）如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，过点O作OD⊥BC，根据垂径定理与含30°的直角三角形及勾股定理求出BC，OD，再根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， 过点O作OD⊥BC， ∴∠BOD=60° ∴∠OBD=30° ∴OD= ∴BC=2BD= ∴阴影部分的面积＝S扇形BOC−S△BOC== 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 42．（2025·湖南·模拟预测）如图，是的内接三角形，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积．（结果保留准确值） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质以及弓形面积的计算，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）过点作，垂足为点，根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作，垂足为点 ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 答：图中阴影部分的面积为． 43．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和扇形的面积公式是解题关键． （1）连接，先证出，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，其中交于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的切线． （2）解：如图，连接，，其中交于点， ∵，， ∴， ∵圆的半径是， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 44．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图所示，的顶点A，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接，，已知． (1)求证：直线是的切线． (2)若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求弓形阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理，可得，根据平行线的性质即可求解； （2）①是等腰直角三角形，根据相似三角形的判定即可求证；②根据相似三角形的性质，可得，根据是等腰直角三角形，得，根据扇形面积与三角形面积可得弓形阴影的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴直线是的切线． （2）解：①证明： 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合．熟练掌握圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 45．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在半径为5的中，为直径，，弦与交于点F，在的延长线上有点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求： ①的长； ②由弦与弧围成的阴影部分面积． 【答案】(1)见解析； (2)①5；②． 【分析】（1）连接，根据同圆的半径相等得到，根据得到，根据得到，结合对顶角相等推出，即可得证； （2）①先根据勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数的特殊值得到，从而得出是等边三角形，即可求出的长； ②根据扇形面积公式求出扇形的面积，再根据等边三角形的面积公式求出等边的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：①∵， 设， ∴， 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴； ②∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，扇形的面积公式，勾股定理的应用，等边三角形的面积计算公式等知识，熟练掌握：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 46．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求 ①的半径 ②弓形的面积（图中阴影部分） 【答案】(1)证明见解析 (2)①4；② 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，扇形面积公式，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质； （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）①根据垂直可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，据此计算即可求解半径； ②先解中，求出，则，再由弓形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①设的半径为， ∵， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为4； ②连接, ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弓形的面积，， ∴弓形的面积 47．（2025·江苏泰州·三模）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）过P做的垂线交大圆于A，B，根据垂径定理可得． （2）利用圆环面积等于大圆面积减去小圆面积及勾股定理计算即可． （3）根据大圆中弦与所围成的图形面积求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过P做的垂线交大圆于A，B， ， ， 则线段即为所求； （2）， ， 两个同心圆围成的圆环面积． 故答案为：； （3）， ， 设，则有    ， ， ， ， ，， ， 大圆中弦与所围成的图形面积 【点睛】本题考查垂径定理，圆环面积，弓形面积，切线的性质，锐角三角函数，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型八、不规则图形面积的计算 48．（2025·河南新乡·二模）如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，交于H，由“直径所对的圆周角等于”可得，即 F点是、的交点．由菱形的性质可得，， ，．再证，则可得，进而可得，则可得，求得，则可得，由即可得解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及扇形的面积．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交于H． ∵ 是的直径， ， ∴F点是、的交点， ∵菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B 49．（2025·广东东莞·二模）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 50．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】结合已知条件求出的长度，然后根据E，利用平行四边形的性质及各图形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及扇形的面积公式，结合已知条件列得是解题的关键． 51．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 52．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，正方形的边长为，图中4个弓形（阴影部分）面积之和是多少？取 【答案】4个弓形（阴影部分）面积之和是． 【分析】本题考查了正方形的性质和扇形面积计算．分别用四个扇形的面积减去四个等腰直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 答：4个弓形（阴影部分）面积之和是． 53．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，点D是上一点，过点A的切线与弦的延长线交于点C，过点D的直线交线段于点E，且． (1)求证：直线与相切； (2)已知的半径是4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，与相切于点A，得，推导出，∠ODA=∠OAD，进而推导出，即可证明直线与相切； （2）先证明，再根据的半径是4，，求得，，，则是等边三角形，所以，，求得，，则，由，求得，进而求得，，则，而，则 ． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵是的直径，与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线与相切． （2）解：∵，， ∴， ∵的半径是4，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 54．（22-23九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且；试求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定和求不规则图形的面积，勾股定理，垂径定了，全等三角形的性质和判定，熟练掌握切线的判定定理和扇形面积公式是关键． （1）连接，证明，由是的半径即可证明结论成立； （2）求出，勾股定理得到，根据阴影部分的面积的面积扇形的面积即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设交于， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 题型九、正多边形和圆 55．（2025·湖南怀化·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，若的半径为6，则图中阴影部分（弓形）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积，正多边形的内角问题，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识点，求出正多边形的内角是解题的关键． 过点作于点，先求出的度数，然后解求出，再计算扇形面积以及面积，最后由即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 56．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，是正五边形的外接圆．若的半径为6，则半径与围成的扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．先求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外接圆，且的半径为6， ∴， ∴与围成的扇形的面积是， 故选：C． 57．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵的面积等于， ∴设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 58．（2024·贵州贵阳·二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C． 59．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 60．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是 ．（π取） 【答案】157 【分析】本题主要考查了弧长计算，正多边形的内角，解题的关键是熟练掌握弧长公式．先求出正十二边形每个内角度数为：，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：正十二边形每个内角度数为： ， 这个“太阳”轮廓的总长度是： ． 故答案为：157． 61．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为 ． 【答案】 【分析】设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，根据 ，，推出和都是等边三角形，推出四边形是菱形，得到，，根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，如图所示： ∵，， ∴ 是等边三角形， ∴； 同理，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形，正三角形，菱形．添加辅助线，熟练掌握正六边形性质，正三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正弦定义，等腰三角形性质，是解此题的关键． 62．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据定义可求得；在取E，使，可得，进而得出，从而，进一步得出结论； （2）可求得，设OH=FH=1，则设，则可求得，设，则，根据，得，求得，进一步得出结果； （3）可将的圆心角10等分即可． 【详解】（1）解：由黄金三角形尺规作图知，． 如图1，在上取点，使， 是的黄金分割点， ，即， 又 ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：；． （2）证明：在（1）的条件下， ． 如图2，过点作于点． ． 如图3，连结，过点作于点． 设，则 ． 设，则， 由，得， ， ∴五边形（所作图形）即为正五边形． （3）解：以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形，如图4． 63．（22-23九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【详解】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， ， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接， 为 中点，为中点， ， ，， ， ， 即， 故选：A ． 64．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、求扇形面积等知识点，弄清图形间的面积关系是解题的关键． 根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴的半径为：， ∵过点O， ∴根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即， ∴阴影部分面积为： ． 故选：A． 65．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，弧长和扇形面积计算，取中点，根据得到点H在以为直径，为半径的圆上运动，据此判断各个选项即可． 【详解】解：取中点，连接，，， ∵矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点H在以为直径，为半径的圆上运动， ∵， ∴当A，H，在同一直线上时，最短， 此时， 即的最小值为，故①正确； 如图所示，当运动到时， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点H的运动路线（轨迹）长为，故③正确； 在运动过程中，扫过的面积， 扫过的面积， ∴扫过的面积不等于扫过的面积，故②错误； 综上所述，正确①③， 故选：B． 66．（2024·山东聊城·三模）如图，正方形的边长为1，以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，，围成阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，与围成阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设，，围成阴影部分面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，解直角三角形，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 正方形的边长为1，则，以为圆心，为半径作扇形，得到；以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，得到，依此类推得到，于是得到结论． 【详解】解：正方形的边长为1， ∴，， 以为圆心，为半径作扇形， 得到； 以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形， 则， 得到； 依此类推得到， 得到， 故， 故． 故答案为：． 67．（2025九年级·全国·专题练习）（1）如图①，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心．求阴影部分的面积． （2）如图②，是两条互相垂直的直径，分别是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆，若的半径是2，求阴影部分的面积． 【答案】（1）（2）8 【分析】（1）根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答； （2）顺次连接易知四边形是正方形．将阴影弓形平移到中间空白处，阴影部分的面积恰好是正方形的面积． 【详解】解：（1）如图①，连接， 则是边长为1的正三角形， ∴图中三个阴影部分的面积之和．      （2）如图②，顺次连接易知四边形是正方形． 将阴影弓形平移到中间空白处，阴影部分的面积恰好是正方形的面积． 又的半径是2， ， ． 【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键． 68．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，A为x轴上一点，以为半径作交y轴于B，点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦的距离． (1)求弦下方圆内阴影部分的面积； (2)如图1所示，若圆心O到弦的距离，求C点的坐标； (3)如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得，四边形的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，面积最大值为， 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质，求出,根据弦下方圆内阴影部分的面积即可求解； （2）设C为，由，求得，再利用两点之间的距离公式列方程求解即可； （3）分点P在上和点P在与等半径同弦的上，利用四边形的面积公式以及相似三角形的判定和性质即可求解， 本题考查了坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵经过圆心O点，D是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴弦下方圆内阴影部分的面积； （2）解：∵， ∴E是的中点， ∴，设C为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵C在第三象限， ∴； （3）解：∵， ①当P点在上，此时不构成四边形，不符合题意， ②P点在如图所示的上（与是等圆）， 当点P在的延长线上时，四边形面积最大，此时，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积最大值为， 综上所述四边形面积最大值为， 过点P作轴于点G， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 69．（2024·山东济宁·三模）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作．求证：是的切线； （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点E是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点M． ①与的位置关系为_________________； ②若，求阴影部分面积． 【答案】（1）详见解析 （2）①相切；② 【分析】（1）过点作于点，根据可得，结合正方形的性质可推出，由，，可得，即可证明； （2）①过点作于点，连接，同（1）可得，据此可得结论；②过点作于点，由，可得，设，，结合，在中，根据勾股定理求出，得到，，根据等面积法求出圆的半径，最后利用即可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 又为的半径， ∴点K在上， 是的切线； （2）①如图2，过点作于点，连接， 与相切于点， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 又，， ， ∴与相切， 故答案为：相切； ②如图2，过点作于点， 在中，， ， 设，， ∴， 由菱形的性质可得， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或负值舍去， ，， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角函数，角平分线的性质，圆的相关性质，等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 70．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q． (1)当点P位于中点时，则_______． (2)①如图1，当时，求点P到的距离； ②如图2，当时，求的长度； (3)记的面积为，的面积为； ①求证：为定值； ②当时，求的长． 【答案】(1) (2)①；② (3)①见解析；②或 【分析】（1）连接，由垂线的定义可得，由弧与圆心角之间的关系可得，则由圆周角定理可得； （2）①过点P作于E，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长即可得到答案；②可证明点P是的中点，则由直角三角形的性质得到，进而可证明是等边三角形，得到，则可求出，再利用弧长公式求解即可； （3）①当点P在点A下方时，过点P作于H，连接，可证明是的直径，则可证明，得到；求出，，则，由勾股定理可得，则，即为定值；同理可证明当点P在点A上方时，即为定值； ②当点P在点A下方时，过点P作于H，连接，根据，可推出；由勾股定理可得，则，，证明，推出，，则，再由勾股定理可得答案；当点P在点A上方时，过点P作于H，于T，则四边形是矩形，同理可得，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵直径互相垂直， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点P作于E， ∵直径互相垂直，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P到的距离为； ②∵， ∴点P是的中点， ∵直径互相垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：①如图，当点P在点A下方时， 过点P作于H，连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴为定值； 如图，当点P在点A上方时，过点P作于H，连接， 同理可证明， ∴； 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴为定值； 综上所述，为定值； ②如图，当点P在点A下方时，过点P作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 同理可证明， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点A上方时，过点P作于H，于T，则四边形是矩形， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 71．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． (1)如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积； (2)如图2，当时，求点到的距离； (3)如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点到的距离为3 (3) 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，求出等边三角形的面积结合扇形面积公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵的半径为4，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， 则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为3； （3）解：如图3，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大大，考查了勾股定理的应用，扇形面积，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 72．（24-25九年级下·湖南·阶段练习）综合与实践 【问题背景】古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”有相关研究．某校实践小组类比书中的记载，以“正六边形园艺馆的测量”为主题开展实践活动． 【实践过程】 信息采集 如图，该园艺馆的俯视图是正六边形，边长为20米，，分别为园艺馆的北门和南门，馆外南侧有一条东西走向的道路，且（门宽及门与道路间距离忽略不计），馆外东侧有一条南北走向的道路，处为一座以湖南芙蓉龙为造型的园艺作品． 测量绘制 在点处测得园艺作品在北偏东方向上，在点处测得园艺作品在北偏东方向上．绘制出示意图，连接，，过点作于点；连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点． 数据信息 ，，． 【解决问题】 (1)______，______； (2)求点到道路的距离；（结果精确到1米） (3)若小组成员乐乐从处沿道路向西行走去往南门，求她最多走多少米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了（即的长）？（结果精确到1米） 【答案】(1)90， (2)米； (3)她最多走18米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了． 【分析】（1）利用正六边的性质结合平角的性质即可求解； （2）在中，利用正切函数的定义求得的长，在中，利用直角三角形的性质即可求解； （3）在中，求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵正六边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：90，； （2）解：在中，，，， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴点到道路的距离米； （3）解：在中，，， ∴， ∴米， 在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 答：她最多走18米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 73．（24-25九年级下·湖南·阶段练习）【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？ 【思路梳理】 （1）如图②，将小正方形绕圆心旋转，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【初步探究】 （2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边，，，之间存在某种数量关系．若按图③所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系：______； 【探究应用】 （3）如图⑤，在四边形中，对角线，若，，求的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（3）的最小值为10． 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将沿方向平移至，使点与点重合，四边形是矩形，求得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． 故答案为：2； （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； 故答案为：； （3）如图，将沿方向平移至，使点与点重合， 由平移的性质知：，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 74．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线上，得到，由及，即可得到答案； （3）先证明四边形为正方形，结合题意，所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积，最后利用扇形的面积公式即可求得． 【详解】（1）如图， 过点作于点， 四边形为正方形， ， ． ， 等于的半径， 与相切． （2）如图， 连接， 四边形为正方形，， ． ，，分别与相切于点，，， ， ， ， 垂直平分． ， 点在的垂直平分线上， 三点在同一条直线上． ， ， ． （3）如图， 设与正方形的边切于点，与切于点， ． 且， 四边形为正方形． ． 半径为的在边长为的正方形内任意移动， 所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积， 所移动过的最大区域面积． 故答案为：． 75．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）四边形为正方形，以点为旋转中心，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，． (1)如图，当旋转角时，的度数为___________度； (2)如图，当旋转角由小变大时，的度数___________（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； (3)如图，延长，过点作的延长线于点，连接．求线段与的数量关系，并证明你的结论； (4)如图，正方形的边长为，在（）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出点所经过的路程． 【答案】(1) (2)不变 (3)，证明见解析 (4) 【分析】（）由旋转的性质得，，即得，由正方形的性质得，， 进而得到，，即得到是等边三角形， 得到，再根据角的和差关系即可求解； （）同理（）解答即可求解； （）连接，取的中点为点，由正方形的性质和勾股定理得，再证明即可求解； （）连接，取的中点为点，连接，由（）已知，点在以点为圆心、长为直径的圆上，当旋转角从旋转到，点从点沿运动到点，点所经过的路程即为的长，利用弧长公式求出的长即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：的度数不变，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数不变， 故答案为：不变； （3）解：，证明如下： 如图，连接，取的中点为点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴点在以点为圆心、长为直径的圆上， ∵， ∴点在上， 由圆周角定理得，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，取的中点为点，连接， 由（）已知，点在以点为圆心、长为直径的圆上，当旋转角从旋转到，点从点沿运动到点， ∴点所经过的路程即为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点所经过的路程为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第2页，共91页 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $