专题01 圆的基本性质9大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

专题01 圆的基本性质 题型一、圆的基本概念辨析 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）任意三点可以确定一个圆 （4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线 （5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm 3．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在中，，，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（      ） A．5 B． C． D．6 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 6．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 题型二、点与圆的位置关系 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知的半径为，当时，点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 8．（24-25八年级上·广西柳州·期中）在同一平面内，已知的半径为，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 9．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 11．（20-21九年级上·安徽六安·期末）在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 题型三、弧、圆心角、弦的关系应用 12．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 17．如图，在中，，则 ． 18．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 题型四、与圆有关的最值模型 19．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，半径为10的内有一点点P在上，当最大时，等于（   ）    A．34 B．36 C．24 D．48 20．（2024·湖南·一模）如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 21．（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 22．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 题型五、圆周角定理 23．（2024·湖南·模拟预测）如图，A、B、C为上的点，，D在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（2025九年级·湖南·学业考试）如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，已知，则度数是（     ） A． B． C． D． 25．（16-17九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，弦，点是圆上一点，且，则的半径是（   ） A．2 B．4 C． D． 26．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为 ． 28．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图所示，点B是圆O的劣弧上一点，连接，交于点D，若，，则的度数为 29．（2021·湖南株洲·三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 30．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 题型六、圆周角定理的推论 31．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的原理是（    ）    A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦 C．圆周角所对的弦是直径 D．圆上各点到圆心的距离相等 32．（2025·湖南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 34．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 35．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 36．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 37．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，E为的中点，上有一点F，若，则的面积等于 ． 题型七、圆内接四边形的性质 38．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（   ） A．55度 B．45度 C．35度 D．25度 39．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 40．（2024·湖南·二模）如图，四边形内接于，点为弧上任意一点（点不与点D，C重合），连接交于点．若，则的度数可能为（　　） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法：；三角形是等边三角形；的半径为；；四边形最大面积是，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 43．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ． 44．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，为的直径，点B，D是上两点，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，的半径为5，求的值． 题型八、垂径定理及其推论 45．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列命题为真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．垂直于弦的直径平分弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形的对角相等 46．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 49．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 50．（2024·湖南·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格，小正方形的顶点叫做格点，经过A，，三个格点，用无刻度的直尺，在上找一点，使点平分（保留画图痕迹）． 51．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 52．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，弦与交于点，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 53．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，内接于，为直径，于点D，延长交于点E，连结交于点F，连结． (1)求证： (2)若，求的值． 题型九、垂径定理的实际应用 54．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 55．（24-25九年级下·四川·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 56．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为80米，拱高20米，当洪水泛滥到跨度只有60米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有8米，即米时是否要采取紧急措施?    58．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 59．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，，是上一点． (1)连接，求证：平分； (2)请你只用无刻度的直尺画出图②中的平分线：并说明理由． 60．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 61．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 62．（16-17九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 63．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为的直径，弦交于点H，点F为弧上一点，连接交于点E，交于点G，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长． 64．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 65．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点P到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段在上，此时，线段是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答） 66．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点． (1)若点为的中点，求的值； (2)连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由； ②若，，求矩形的边的长； (3)假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围． 67．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程： 证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 68．（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题． 任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____． 任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． 69．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，抛物线（，a、b、c为常数）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，经过A、B、C三点的交y轴正半轴于点D． (1)当时，求a的值． (2)若抛物线的解析式为，求圆心T的坐标． (3)若的半径为2，，求线段长度的取值范围． 70．（2025·广东·一模）综合与实践 【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地． 【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）． 【设想】 （1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想； 【讨论】 （2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积； 【探究】 （3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值； ②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）． 71．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则______°； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） （4）根据号和号轿厢的测量数据，则号轿厢的测量数据x的值为______．（结果保留根号） 试卷第2页，共87页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的基本性质 题型一、圆的基本概念辨析 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）任意三点可以确定一个圆 （4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线 （5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．熟练掌握圆的性质是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆判断（3），根据对称轴的定义对（4）（5）进行判断． 【详解】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以（1）错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以（2）错误； 任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以（3）错误； 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以（4）正确； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心，所以（5）正确； 故正确的个数是2个， 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是3cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm， 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可． 【详解】解：由图可知，过圆心为直径， ∴最长， 故选：C． 4．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在中，，，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（      ） A．5 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，同圆半径相等．连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即得出． 【详解】解：如图，连接． ∵，长为半径的圆恰好经过的中点， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定和性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把转化为是解题的关键．． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴为矩形， ∴， ∴长不变，始终等于2， 故选D．    6．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键． 连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二、点与圆的位置关系 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知的半径为，当时，点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断。 【详解】解：∵的半径为，O， ∴点到圆心的距离小于圆的半径， 因此点在内． 故选：A． 8．（24-25八年级上·广西柳州·期中）在同一平面内，已知的半径为，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴点在外， 故选：C． 9．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 10．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 【答案】D 【分析】本题考查了含有角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系．由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】在中，，则， ∵， ∴． ∴． 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， ， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选：D． 11．（20-21九年级上·安徽六安·期末）在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，且， ∴点P与的位置关系是点P在圆外， 故答案为：圆外． 题型三、弧、圆心角、弦的关系应用 12．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，圆的周长和面积，连接，过点作于点，于点，由点到直线与点到直线的距离相等得，再判断，求出，进一步可得出该圆的周长与面积之比． 【详解】解：连接，过点作于点，于点，如图， ， ∵， ∴， ∴, ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的周长与面积之比为， 故选：A． 15．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 16．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用等腰三角形性质和平行线性质得到，再结合弧、弦、圆心角之间的关系求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：相等． 17．如图，在中，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等得出． 根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等解答即可． 【详解】解：在中，， ， 故答案为：3 18．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四、与圆有关的最值模型 19．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，半径为10的内有一点点P在上，当最大时，等于（   ）    A．34 B．36 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当时，最大”这一隐含条件． 当时，取得最大值，在直角三角形中利用勾股定理求的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：作于，   ， ∵、是定值，， ， ∵是锐角，当最大时，最大，此时最大， ∴当与重合时，即时，最大， 在直角三角形中， ， ， 故选：C．    20．（2024·湖南·一模）如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标和图形，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，三角形的中位线定理等知识．先得到点在半径为1的上，取，连接，可知为射线与圆B的交点时，最大，即最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为1， 取，连接， 为线段的中点，， 是的中位线， ， 当最长时，即最长， ∵ ∴，，三点共线时，最长，此时为射线与圆B的交点， ，， ， ， ， 即的最大值为， 故选：A． 21．（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，根据同圆的半径相等可知：在上，且半径为，通过画图可知，当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为坐标平面内一点，， ∴在上，且半径为， 在轴上取，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大， ∵，， ∴， ∴，且， ∴，即的最大值为， ∵是的中点，则， 故答案为：． 22．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 题型五、圆周角定理 23．（2024·湖南·模拟预测）如图，A、B、C为上的点，，D在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理得到，然后根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：∵A、B、C为上的点，，， ∴， ∴， 故选：C． 24．（2025九年级·湖南·学业考试）如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，已知，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，推出即可求解． 【详解】解：是直径，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 25．（16-17九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，弦，点是圆上一点，且，则的半径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质． 同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得出，利用等腰直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ， ， ， ． 故选：D． 26．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角定理，熟悉掌握圆心角与圆周角的关系是解题的关键． 在优弧上取一点，连接，，利用角的等量代换求出的度数，即可用圆周角定理求解． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图所示： ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 28．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图所示，点B是圆O的劣弧上一点，连接，交于点D，若，，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质．由圆周角定理求出，由三角形的外角性质求出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵， ∴； 故答案为：． 29．（2021·湖南株洲·三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆周角定理，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，，利用勾股定理求解的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 题型六、圆周角定理的推论 31．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的原理是（    ）    A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦 C．圆周角所对的弦是直径 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【分析】由圆周角定理：圆周角所对的弦是直径，即可判定半圆形的工件是否合格． 【详解】直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是：圆周角所对的弦是直径． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径定理的应用是解此题的关键． 32．（2025·湖南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角以及同弧所对的圆周角相等成为解题的关键． 由直径所对的圆周角可得，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 33．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 34．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 35．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 36．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定， 先连接作，可得，进而得，然后根据勾股定理求出，可得，再根据勾股定理求出即可得，最后根据得出答案. 【详解】解：连接过点C作，交延长线于点D， ∵点C是的中点， ∴. ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴. 在中，， 即， 解得， 则. 在中，， 即， 解得， ∴. 根据勾股定理，得. 在中，， ， 解得. 故答案为：. 37．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，E为的中点，上有一点F，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，根据等腰直角三角形性质得，，则，进而得，是外接圆的直径，再根据得点F在外接圆上，则，由此得是等腰直角三角形，设，，据此得，则，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，如图所示： 在等腰中，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， 是外接圆的直径， 又， 根据圆周角定理得：点F在外接圆上， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 点E是的中点， ， ， 解得：， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 题型七、圆内接四边形的性质 38．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（   ） A．55度 B．45度 C．35度 D．25度 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键． 由圆内接四边形对角互补求出的度数即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， 故选：B． 39．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：D． 40．（2024·湖南·二模）如图，四边形内接于，点为弧上任意一点（点不与点D，C重合），连接交于点．若，则的度数可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．由圆内接四边形的性质得，再由为的外角求解． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 为的外角， ，只有D选项满足题意； 故选：D． 41．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法：；三角形是等边三角形；的半径为；；四边形最大面积是，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，，利用勾股定理即可求出，即的半径为；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是. 【详解】解：平分， ， ， ， 故正确； 四边形是的内接四边形， ， ， ， 又， 是等边三角形， 故正确； 如下图所示，连接、，过点作， 则， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 的半径是， 故正确； 如下图所示，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ， 故正确； 如下图所示，设M为的中点，过点作， 是等边三角形， ，， ， ， 在中， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是， 故错误； 综上所述，正确的是． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 42．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，同角的补角相等，由四边形是圆内接四边形，则有，由，，所以，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．在优弧上取点D，连结，设，则，利用四边形内角和为列方程计算即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连结，设， 则， ∵，且四边形内角和为 解得：， ． 故答案为：． 44．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，为的直径，点B，D是上两点，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，的半径为5，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）等弦对等弧，得到，圆周角定理，得到，根据圆内接四边形的对角互补，同角的补角相等，即可得证； （2）根据，得到，列出比例式，求出的长，再根据圆周角定理得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵为的直径，点B，D是上两点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵的半径为5，为的直径， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 题型八、垂径定理及其推论 45．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列命题为真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．垂直于弦的直径平分弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形的对角相等 【答案】B 【分析】本题考查了等弧，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系及圆内接四边形的性质，根据以上知识点逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、长度相等的弧其弧度不一定相等，所以不能称等弧，该选项命题不是真命题； 、垂直于弦的直径平分弦，选项命题是真命题； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项命题不是真命题； 、圆内接四边形的对角互补，该选项命题不是真命题； 故选：． 46．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理可得：，，，，无法得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的直径，为弦，于点E， ，，， ∴，， B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，不符合题意， ∵无法判断， D选项结论不成立，不符合题意， 故选：B． 47．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 48．（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 49．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 【答案】14或2 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．作于E，延长交于F，连接、，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：14或2． 50．（2024·湖南·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格，小正方形的顶点叫做格点，经过A，，三个格点，用无刻度的直尺，在上找一点，使点平分（保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，作线段的垂直平分线等知识点，掌握垂径定理的做法是解题的关键． 如图，取点E，画直线与相交，则交点D即为所求． 【详解】解：如图，取点E，画直线与相交，则交点为所找的点D． 有题意可知：E为中点，则, 由垂径定理推论可知，直线平分弧． 51．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理； （1）由同弧或等弧所对的圆周角相等得所对的圆周角，再由得，等量代换得出. （2）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，可得，设圆的半径为，先求出，在中利用勾股定理建立方程可求出半径，最后在中利用勾股定理求出. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，都是所对的圆周角， ∴， ∴. （2）解：∵是的直径，，， ∴，， 又∵， ∴， 设的半径为，则 在中， 即 解得 ∴， ∴， ∴在中，. 52．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，弦与交于点，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，含的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）过点作于点，连接，先求出，从而得出，即可求出，，再根据勾股定理求出的长度，最后根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）过点作于点，连接， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ，， ， ， ． 53．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，内接于，为直径，于点D，延长交于点E，连结交于点F，连结． (1)求证： (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，求正切值，熟练运用垂径定理，证明是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，进而得到，结合，证明，得到，即可得出结论； （2）连接，由（1）可得，根据圆周角定理可得，根据已知，设，则，利用（1）中，求出，由正切的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵于点D，为的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵由（1）知， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， 设，则， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九、垂径定理的实际应用 54．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 55．（24-25九年级下·四川·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 56．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 57．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为80米，拱高20米，当洪水泛滥到跨度只有60米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有8米，即米时是否要采取紧急措施?    【答案】需要采取紧急措施，理由见详解 【分析】本题考查了圆的相关知识，特别是垂径定理和勾股定理．先根据已知的拱桥跨度和拱高，利用垂径定理和勾股定理构建直角三角形，求出圆弧所在圆的半径，然后根据新的水面高度，再次利用勾股定理求出此时的水面宽度，最后将计算出的水面宽度与船的宽度进行比较，以判断是否需要采取紧急措施． 【详解】解：需要采取紧急措施， 理由：如图，设O为所在圆的圆心，由圆的对称性可知点P，N，O共线，连接，，，设交于点M，其半径为r，    由题意得，米，米， 在中，由勾股定理得：，解得：， 当米时，（米）， ∴在中，由勾股定理得：（米）， 则（米）， ∵， ∴需要采取紧急措施． 58．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【详解】（1）解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． （2）解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 59．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，，是上一点． (1)连接，求证：平分； (2)请你只用无刻度的直尺画出图②中的平分线：并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；理由见解析 【分析】本题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系、垂径定理等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出结论是解题关键． （1）利用圆心角、弧、弦的关系得出，得出，进而得出答案． （2）连接并延长交于点，连接，则平分 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接并延长交于点，连接，如图， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴ 所以平分． 60．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 61．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 62．（16-17九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 63．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为的直径，弦交于点H，点F为弧上一点，连接交于点E，交于点G，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到，则 ，利用垂径定理的推论解答即可得出结论； （）利用圆周角定理与已知条件得到，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理得到，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用三角形的面积公式求得，利用垂径定理得到，再根据面积可得，将数值代入运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴； （2）解：∵为的直径，； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G到和的距离相等 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 64．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，理解题意并学会运用是解题的关键． 65．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点P到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段在上，此时，线段是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答） 【答案】（1）的最小值为；（2）这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【分析】（1）作于点，于点，可证≌，得，所以是等边三角形；当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可； （2）设交于，圆心为，连接，，，过作于，根据垂径定理可得，，进而勾股定理建立方程，即可求得圆弧型拱桥所在圆的半径；根据题意得出，勾股定理求得的长，进而可得；当整个水面都被灯光照到时，分两种情况讨论；①与重合，与重合，当与重合，与重合时分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：作于点，于点，则，   ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∵，，， ∴，， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，设交于，圆心为，连接，，，过作于， 点是拱桥的中点，， ，，共线，， 设半径为，则， 在中，， ， 解得， 圆弧型拱桥所在圆的半径为米； 如图所示，设交于，圆心为，连接，，，过作于，则四边形是矩形， ，且， ， ， ， ， ， 即照明灯距离水面的高度为米； 当整个水面都被灯光照到时， ①与重合，与重合，如图所示， 由（2）可得， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ，即， ， 同理可得，即， ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②当与重合，与重合时，如图： ， ， ， ， ， ， 根据对称性可得， ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 66．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点． (1)若点为的中点，求的值； (2)连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由； ②若，，求矩形的边的长； (3)假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)； 【分析】（1）连接，由点是半圆弧的中点，得出，由点A为的中点，得出，再在中，即可得出； （2）①连接，利用圆周角定理得出，利用圆内接四边形得出，结合，可得； ②过点作于点，连接，证明，得出，即，即可求出，则，在中，，列式求出，则，再利用勾股定理求解即可； （3）延长交的延长线于点，由四边形是矩形，得出，，可知，得出，则，证明，得出，则，，同（2）②可得，即，求出，在中，，列式即可得出，由当时，随的增大而减小，可得随着的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点是半圆弧的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （2）解：①的度数不会发生变化， 如图，连接， ∵点是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍），， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 同（2）②可得， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 化简得：， ∵当时，随的增大而减小， ∴随着的增大而增大，且当时，当时， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角函数，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，矩形的性质，二次函数的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 67．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程： 证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 【答案】（1）4π；（2） 【分析】（1）在上取点Q，使，连接，当点在直线外时，利用相似三角形的性质得到，当点在线段上和当点P在延长线上时，利用线段的和差关系得到，进而得到点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆，然后求解即可； （2）首先得到，点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，然后得到，点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，得到，当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接． ，当点在直线外时， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在延长线上时， 同理可得，， 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． ∴点的运动路径长为； 故答案为：； （2）∵点的坐标为， ∴， ∵将线段绕着点逆时针旋转， ∴， ∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动， 连接，取中点Q， ∵点N是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动， ∴， ∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值， ∵，，点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了坐标与图形，相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是判断出动点的轨迹． 68．（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题． 任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____． 任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆柱体体积． 任务一：根据勾股定理求出的长即可求解； 任务二：作于点N，交于点M，连接，，由垂径定理得，根据求出的值，进而可求出半径； 任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论； 任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论． 【详解】解：任务一：∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径． ∵，， ∴， ∴该圆的半径为． 故答案为：； 任务二：如图3，作于点N，交于点M，连接，， 则四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：圆的半径为； 任务三：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∴ 任务四：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∵， ∴ ∴， 故绕旋转得到的圆柱体积更大 69．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，抛物线（，a、b、c为常数）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，经过A、B、C三点的交y轴正半轴于点D． (1)当时，求a的值． (2)若抛物线的解析式为，求圆心T的坐标． (3)若的半径为2，，求线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，抛物线与x轴交点为，交y轴于点C，则，由可得，即；再说明，即可求得a的值； （2）先求得A、B、C三点的坐标，再根据圆的性质可得圆心T在的垂直平分线上，，易得得中点横坐标为，设，再根据两点间距离公式以及列方程求得T的值即可解答； （3）如图：过T作轴，过T作轴，连接，设，，根据的半径为2，，得出，则；根据垂径定理可得、，则；由，则，，再根据二次函数的性质求得的取值范围，进而求得的取值范围，最后求得的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设，抛物线与x轴交点为，交y轴于点C，则， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，解：． （2）解：当时，即，解得：， ∴， 当时，即，即， ∵经过A、B、C三点， ∴圆心T在的垂直平分线上，， ∵， ∴得中点横坐标为， 设，则，， ∵， ∴，解得：． ∴． （3）解：如图：过T作轴，过T作轴，连接，设，，，则， ∵若的半径为2，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同理可得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 当时，；当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系、垂径定理、勾股定理、利用二次函数求最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 70．（2025·广东·一模）综合与实践 【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地． 【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）． 【设想】 （1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想； 【讨论】 （2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积； 【探究】 （3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值； ②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）． 【答案】（1）见解析（2）最小值为，此时菜地面积为（3）①；②当点位于轴下方时 ；当点位于轴上方时 【分析】（1）如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ，证明，推出，即可得到点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，进而证明结论； （2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为，如图所示，记与交于点，求出，过点作，则有，求出，    过点作，垂足为，连接，证明为正三角形，求出，，即可解答； （3）①连接，记交轴于点，作于点，证明为中位线 ，根据，即可求解；②分点位于轴下方和上方两种情况讨论，利用三角形中位线的性质求出，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ， ∵四边形是矩形         ∴     ∵                     ∴ 在与中              ∴ ∴     ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，即小彬设想成立 ； （2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为， 如图所示，记与交于点     ∵，为上的点     ∴为的直径 ，， 过点作，则有      ∴ ∴         ∴ 由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知 ∴     过点作，垂足为，连接 ∵         ∴为正三角形 ∴为边上的中线，且平分         ∴， ∴     ∴      ∴        ∴菜地面积； （3）①如图所示，连接，记交轴于点，作于点， ∵         ∴为中点 ∵为中点             ∴为中位线   ∴     ∵ ∴     ∴； ②第一种情况，当点位于轴下方时，如图： ∴， ；     第二种情况，当点位于轴上方时，如图： 同理得：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，函数解析式，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 71．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则______°； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） （4）根据号和号轿厢的测量数据，则号轿厢的测量数据x的值为______．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）米；（3）写字楼的实际高度约为米；（4） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，圆周角定理，将实际问题转化为数学模型是解题的关键． （1）由题可知，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，因此； （2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为米，半径为米，因此点高度为68米，根据，，可得，即可； （3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，即可求解； （4）过点作于点，根据号和号轿厢的测量数据，得出，根据题意可得，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）连接、，如下图所示： “海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢， ， 故答案为：． （2）过点作于点， 点此时的高度为最高为米，半径为米， 点高度为米， ，， ， 点的高度为米， 答：点的高度为米． （3）连接，，， 由素材1，素材3可得，， 则，过点作于点， 令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：， ∴，， ，即， 点的高度为：（米）， 答：写字楼的实际高度约为米． （4）如图，过点作于点， ∵点此时的高度为最高为米， ∴ 由（3）可得到的距离为 ∴，即 解得： 1号轿厢的测量数据x的值为：． 试卷第2页，共87页 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $