第2章 圆（单元测试·基础卷）数学湘教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章 圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，三角形的外心，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．根据圆的定义、垂径定理、圆心角与弧的关系、三角形的外心性质及等弧的定义逐一判断． 【详解】解：①圆的定义为同一平面内到定点距离等于定长的所有点的集合，故本选项符合题意； ②弦的垂直平分线必过圆心，符合垂径定理的推论，故本选项符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意； ④三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到顶点的距离相等，但到边的距离不一定相等，而到三角形三条边的距离相等的点是三角形的内心，故本选项不符合题意； ⑤等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，则其所对的弦长度相等，故本选项符合题意； 综上，正确的有①、②、⑤，共3个， 故选：C． 2．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 3．如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论． 【详解】解：∵的半径是2，圆心O到直线l的距离是，， ∴直线与相交． 故选：B． 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米．半径长为米，若点为运行轨道的最低点．则点到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：连接，交于D， 由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 5．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 6．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求． 【详解】解： 连接，如图所示： 设此圆的半径为R， ∵在正方形中， , 则内接正方形的边长， ∵在正六边形中， ， 为等边三角形， 则内接正六边形的边长， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为， ∴正方形与正六边形的周长之比． 故选：A． 7．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 8．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据正方形与圆的对称性质可知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去扇形的面积． 【详解】解：根据图形可知，正方形的面积为， 扇形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：． 9．如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转（    ）度时与相切． A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是切线的定义、由特殊角的三角函数值求角度，解题关键是熟练掌握切线定义． 分别作、与相切于点、点，结合特殊角的三角函数值求出、的度数即可． 【详解】解：分别作、与相切于点、点， ，， 依题意得：半径为， ， 即， ， ， ，， 即当射线绕点按顺时针方向旋转或时与相切． 故选：． 10．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆位置关系，解题的关键在于正确计算的长度．要判断点与⊙O的位置关系，需计算点到圆心的距离，并与圆的半径比较．点是的中点，已知为，因此可求出的长度，进而比较与半径的大小关系． 【详解】解：，且是的中点， , ⊙O的半径为，而， 则， 点到圆心的距离小于半径，说明点在圆内． 故答案为：圆内． 12．如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 【答案】120 【分析】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由，易得点，，，共圆，然后由圆周角定理，求得点在量角器上对应的读数． 【详解】解：连接， ∵，为半圆的直径， ∴，，，四点共圆， ， ， 即第20秒点在量角器上对应的读数是， 故答案为：120． 13．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：运动路径如图： 故答案为：． 15．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 16．如图，为外一点，分别切于点切于点，分别交于点． （1）若，则的周长为 ； （2）若，连接，则 °． 【答案】 12 60 【分析】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型． （1）根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长等于； （2）连接、、根据切线性质，，再根据全等三角形可知，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵分别切于点切于点， ∴，，， ∴的周长为：， 即的周长为． （2）如图，连接，，， ∵分别切于点， ∴， ∵四边形内角和为，且， ∴， 在和中， ∴， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 19．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，据此可证明结论； （2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 21．（9分）数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟．小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图像如图1．请根据图1中信息回答： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)摩天轮最高点距地面________米，摩天轮最低点距地面________米； (3)如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】(1)t和h (2)108和3 (3) 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据这个变化过程中变化的量可得答案； （2）根据图象读取信息求解即可； （3）根据用圆的周长除以20分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以4分钟即可求解． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是t， 因变量是h； 故答案为：t，h； （2）根据图形可知，摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108，3； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 22．（9分）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【详解】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，．     (2)①是．     与相切于点 P， ，． 的周长为 ．                  ②， ． 即 ， 解得 23．（10分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． (1)求证：； (2)若测得，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用等知识，是一个综合性较强的题目，熟练运用定理进行推理和计算是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由得到即可得到结论， （2）根据，求出，结合（1）的结论，证明，列式，得，在中，设，则，运用勾股定理列方程计算，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，， ， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 又， ， ，即， ， 在中，设，则， 又， ， 解得：（负值已舍去）． 的长为． 24．（10分）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）选择：①连接，根据圆周角定理求得，再根据垂径定理得，即可证明． （2）先证明，再根据相似三角形的性质得到，即可解答． 【详解】（1）我选择的条件是第①个； 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 或（1）我选择的条件是第②个； 方法1：证明：连接BD，OE， 是直径， ，即， ， ， ∴， 又， 是的中位线， ， ， 是的切线． 方法2：证明：连接， ， 垂直平分线段， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）由（1）可知， ， ， ， ， ，即． 解得：． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质． 试卷第2页，共24页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 9 10 2 B D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.圆内 12.120 13.2CD>AB. 14.5元r2 15.4v6 3 16.12 60 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】证明：：AD=BC, ·AD+CD=BC+CD,(4分) .AC=BD,(6分) .AC=BD.(8分) 18.(8分) 【详解】(I)证明：如图：连接BC, B AB是直径， D ∠ACB=90° 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC⊥AD, 又AC=CD, .BA=BD .∠A=∠D, ∠A=∠E, .∠E=∠D;(4分) (2)解：连接OE,(5分) B ○ D AE的度数为104°， :∠A0E=104° :∠ACE=52°， :∠ACE=∠CED+∠D且∠CED=LD, 六∠E=2ECA=26°.(8分) 19.(8分) 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，OD⊥BC, BD=CD 即点D为BC的中点；(3分) (2)解：：AB是⊙O的直径，OD⊥BC, .BE =EC=4, .BC=BE+CE=8, :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， AC=6, AB=AC2+BC2=10, .0D=0B=5, 2/8 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0E=V0B2-BE2=3, .DE=0D-0E=5-3=2.(8分) 20.(8分) 【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形，理由如下： 如图，连接0A,OB,0C,0D,则0A=0B=0C=0D, D B 由题意可知，AB=CB=DC=AD, :AB=BC=CD=AD,∠A0B=∠BOC=∠C0D=∠DOA=360°=90°， 4 ∠0AB=∠0AD=45°， .∠BAD=90°， :四边形ABCD是正方形；(4分) (2)解：在Rt△A0B中，0A=0B,AB=20cm, :0A=0B=5AB=102em, 2 ∴.S阴影都分=(S-S正方形ABcD)×2 =π×10w22-20x20k2 =(400π-800)平方厘米. 答：阴影部分面积为400π-800)平方厘米.(8分) 21.(9分) 【详解】(1)解：在这个变化过程中，自变量是t,因变量是h: 故答案为：t,h;(2分) (2)根据图形可知，摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108,3；(4分) (3):摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， 3/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.摩天轮的直径是105米， .105π÷20×4=21π（米） 答：所走的路径的长度是21π米.(9分) 22.(9分) 【详解】(I)设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x· 由BD+CD=BC, 可得9-x+13-x=14. 解得x=4. AF=4,BD=5,CE=9.(3分) (2)①是. (4分) :MN与⊙O相切于点P, :MP=ME,NP=ND ACMW的周长为 CM+CN+MN =CM+CN+MP+NP=CM+CN+ME+ND=CE+CD=9+9=18.(6) ②.MNI‖AB, ∴.△CMN∽△CAB. △CMN的周长_MN即。I8。=MN △CAB的周长AB 9+14+139, 海w .(9分) 23.(10分) 【详解】(1)证明：连接OD, :CD是⊙O的切线， .∠0DC=90°， :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠0DB+∠BDC=∠0DB+∠AD0=90°， .∠BDC=∠ADO, 4/8 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0A=0D, .∠A=LAD0, .∠A=∠BDC;(4分) (2)解：由(1)可知∠0DC=90°， 在Ri△0DC中，an∠C=OD-OD-V2 DC224 0D=1, C D .AB=20D=2, 在Rt△ODC中，由勾股定理得： 0C=0D+DC-V2+(22=3, .CA=1+3=4, 又：∠A=∠BDC,∠C=∠C, △ACD∽△DCB, =2, C-6-C,即4D-4C47 DB DC2√2 AD=√2DB, 在Rt△ABD中，设BD=x,则AD=√2x, 又：AB=2, +(2x=22, 解得：x=2 (负值已舍去). 3 BD的长为2 3 ,(6分) 24.(10分) 【详解】(1)我选择的条件是第①个；(1分) 证明：连接OD,0E, 5/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F BE=DE B G ∠1=∠2， :0A=0D, :∠1+∠2=LA+∠3， .∠1=∠2=∠A=∠3， OE∥AC, :EF⊥AC, EF⊥OE, EF是⊙O的切线.(4分) 或(1)我选择的条件是第②个， 方法1：证明：连接BD,OE, :AB是直径， ∠ADB=909 :EF⊥AC,即LADB=LAFE=90°， :BD EF CF=DF, .CE=BE 又：0A=0B, OE是ABC的中位线， OE∥AC, .∠0EG=∠AFE=90°， EF是⊙O的切线 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 方法2：证明：连接DE,OE, CF=DF,EF⊥AC, .EF垂直平分线段CD, .CE=DE “四边形ADEB为圆内接四边形， ∠CDE=∠I, 0B=0E, .∠1=∠2， ∠C=∠2， OE∥AC, .∠0EG=∠AFE=90°， .EF是⊙O的切线. 2 B G (2)由(1)可知0E∥AC, ∴.∠OEG=∠AFE=90°，∠GOE=∠GAF, △G0Em△GAF, :AB=6, .0A=0B=0E=3, 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :0E0G 4B=云，即二=3十BG 46+BG 解得：BG=6.(10分) 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章 圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米．半径长为米，若点为运行轨道的最低点．则点到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 5．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 6．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转（    ）度时与相切． A． B．或 C．或 D． 10．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 12．如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 13．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 14．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 15．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 16．如图，为外一点，分别切于点切于点，分别交于点． （1）若，则的周长为 ； （2）若，连接，则 °． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，点、、、都在上，若，求证：． 18．（8分）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 19．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 20．（8分）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 21．（9分）数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟．小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图像如图1．请根据图1中信息回答： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)摩天轮最高点距地面________米，摩天轮最低点距地面________米； (3)如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留） 22．（9分）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 23．（10分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． (1)求证：； (2)若测得，求的长． 24．（10分）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章 圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米．半径长为米，若点为运行轨道的最低点．则点到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 5．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 6．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转（    ）度时与相切． A． B．或 C．或 D． 10．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 12．如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 13．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 14．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 15．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 16．如图，为外一点，分别切于点切于点，分别交于点． （1）若，则的周长为 ； （2）若，连接，则 °． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，点、、、都在上，若，求证：． 18．（8分）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 19．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 20．（8分）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 21．（9分）数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟．小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图像如图1．请根据图1中信息回答： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)摩天轮最高点距地面________米，摩天轮最低点距地面________米； (3)如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留） 22．（9分）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 23．（10分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． (1)求证：； (2)若测得，求的长． 24．（10分）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 试卷第2页，共24页 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $