第2章 圆（单元测试·提升卷）数学湘教版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章圆·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 9 10 B D B B D A D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.18 12.九 13.5 14.4π-6V5 15.y=36 x 16.-8+2V31 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：连接CD, :∠A=35°，∠C=90°， ∠B=55°， CB=CD, .∠B=∠CDB=55°， .∠BCD=180°-∠B-∠CDB=70°， .∠DCE=∠ACB-∠BCD=20°， ·.DE的度数为20°；(4分) (2)解：过点C作CH⊥BD于点H,则BH=DH, 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H D a E 在Rt△ABC中，BC=6,AC=8, AB=VBC2+AC2=V62+82=10, :CH.AB=BC.AC, :CH=6×824 105 在C中，BH=Bc-Ch-6-(学- BD=281-的8分) 18.(8分) 【详解】(1)证明：如图，连接0A、0B, D O C GO :四边形ABCD是正方形， .∠AD0=∠BC0=90°，AD=BC=DC, :0A=0B, RIAAOD≌RtABOC (HL), :0C=0D;(4分) (2)解：如图，连接0F, A B E D 设0C=OD=x,则BC=2x, :正方形CEFG的面积=16， 2/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .FG=CG=4, ∴.0G=x+4, :OB2=OC2+BC2,0F2=0G2+FG2,0B=0F, x2+(2x)2=（x+4)2+42, 解得x=4(舍去负值)， .0C=4,BC=8, 0B=V42+82=4V5, :⊙0半径长是45.(8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：所作⊙O的切线Q(或PQ)如下图所示：(1分) (6分) E (2)解：AB为⊙O的直径， ∠BQA=90°， :A0=2,BQ=4, ∴AB=VAQ+BQ2=2V5, 0A=0B=0Q=V5, .∠OQB=∠OBQ, 同理可得∠OQP=90°=∠BQA, ∠OQB=∠AQP=90°-∠OQA, ∴.∠AQP=∠OBQ, 3/11 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 作AF上PQ于点F, .sin∠AQP=sin∠OBQ, AF AO AF 2 0B,即225 你=25 :∠AFP=90°=∠OQP, .AF∥OQ, .△AFPAOOP, AP AF 2W5 0p0g' 即AP 5 AP+5√5 .AP 2 sin∠OPe=sin∠APp=AF=3 故答案为：号(8分) 20.(8分) 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径， LAEB=90°， ∠BEC=180°-∠AEB=90°， .LAEB=∠BEC=90°， :∠EAF=∠DBF, .△BCE∽△AFE;(5分) (2)解：：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .AB=AC, 8D=DC=58C=5, 在RtABEC中，CE=6,BC=2CD=10, BE=VBC2-CE2=V102-62=8, :∠ADB=∠BEC=90°，∠FBD=∠CBE, .△BFDABCE, 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BF BD BC-BE 25 .BF= 4 EF=BE-BF=8-25_7 44 :△BCE∽△AFE, BC CE AF EF 106 .AF 7, .AF 2·(4分) 21.(9分) 【详解】(1)解：连接OE, D :⊙O的半径为R,六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形. ∠E0F-360°=60,0E=0F,EF=FG, 6 △OEF是等边三角形， ..OF=EF=FG, .△OFG是等腰三角形， :∠EFG=90°，∠0FE=60°， .∠0FG=150°， ∠06fl80-150=15.4分) (2)解：过O作OM⊥EF于M,设正六边形的边长为a. 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D :∠FOE为正六边形的中心角， ∠F0E=60. :E0=F0=a, .△EOF是边长为a的等边三角形， EF=a,∠EoM=) ∠EOF=30°， 正方形EFGH的面积为d,ME=OE=。 2 0M=voE-ME= 20, 非六边形的面积为6×a:34=3)y3a2 2. 20s 正六边形与正方形的面积比为)2Q:a2=33:2.(8分) 22.(9分) 【详解】(1)证明：连接OD, D D :PD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， :.OD⊥PD(切线垂直于过切点的半径)， .∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDF=90°.① .CE⊥AB, ∠BEF=90°，即∠OBD+∠BFE=90°.又∠BFE=∠DFP, ∠0BD+∠DFP=90°. 由OB=OD得，∠OBD=∠ODB, 6/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠0DB+∠DFP=90°.② 联立①、②知∠PDF=∠DFP, PF=PD(等角对等边).(4分) (2)证明：延长PD至点Q, ◇ E :点C是BD的中点，即CD=BC, ∠CAD=LBAC, :PD∥AC, .∠CAD=∠ADQ, :∠BAC=∠ADQ,③ :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°，即∠ABD+∠BAD=90°， 由OA=OD得，∠BAD=∠AD0, ∠ABD+∠ADO=90°， 由DQ是切线，0D是半径知，∠OD9=90°，即∠AD0+∠ADQ=90°， LABD=LADQ,④ 由③与④知，∠BAC=∠ABD, 由AB是⊙O直径知：∠ACB=∠BDA=90°，又AB=AB, △ABC≌△BAD(AAS, .AD=BC.(9分) 23.(10分) 【详解】(1)解：连接MD, :∠BAC=40°，∠A0B=90°， .∠ABD=90°-∠BAC=90°-40°=50°， .∠AMD=2∠ABD=100°， 7/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：MA=MD, :∠M4D=180°-∠4MD_180-10°=40°， 2 G C (2)①证明：延长AM交⊙M于点E,连接BE, 则∠BCA=∠E,AE是⊙M的直径， .LABE=90°， 又：BCI AE, .ZBCA=ZCAE, .ZE ZCAE, :∠E+∠BAE=∠CAE+∠AGB=90°， ∠BAE=LAGB, .BA=BG 0水 E 解：设A0=3x,则0B=4x, AB=AO2+OB2 =5x, ..0G=BG-BO=AB-BO=5x-4x=x, 又：∠ABD=∠ACD, :tan∠DcA=OD OC tan∠ABD=3 :0C=40D=48+, 3 3 又：BCI‖AE, 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OG OA 3x OB OC 即8+ 解得x=1, 点A的坐标为0,3)，B0=4,0C=12, :BC=VB02+0C2=V42+122=4V10.(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：连接0C,与半圆O交于点B, M D 在Rt4DC中，sin∠DAC=DC AC DC=AC.sin37°=10×0.6=6. 在R1△0DC中，an∠0CD=OD_23-5 CD 6 3 .∠0CD=30°. :0C=V0D2+CD2=4V5, BC=0C-0B=45-25=2V5, .点C到半圆O的最短距离为2√5， 故答案为：30,2√3：(2分) (2)解：过点O作OH⊥EF于点H,连接OF,如图， D 则H=FAF=32. :∠AH0=∠ADC=90°，∠A=∠A, .△AOH∽△ACD, 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AO OH AC DC' :8-0D0H 10 6, 3 0H=号8-0D :OH2+HF2=0F2, (-on) 2 3.22=0D2, 解得：0D=4或0D=-13(不合题意，舍去)， .0M=0A=0D=4, “A,M,E三点重合， ∠E0F=180°-2x37°=106°. :扇形E0F的面积=106mx4_212,(6分) 360 45 (3)解：如图， 02 M C 当⊙O与AC边相切于点M,时，O,M,⊥AC, 此时，⊙O与ABC有一个公共点， 由(2)知：OM1=3; 当⊙O,与BC边相切于点M2时，O,M2⊥BC, 此时，⊙O,与ABC有三个公共点， .02M2=CD=6. :当圆心O在O与O2之间时，半圆O与ABC有两个公共点， 3<0D<6; 当⊙O的圆心O在O,与点A之间时，此时⊙O与ABC有两个或三个公共点， 当⊙O经过点B时，⊙O与ABC有三个公共点， 10/11 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章 圆·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 2．如图，为的直径，为的两条弦，交于点C，若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形的外角，等边对等角，连接，易得，三角形的外角，结合等边对等角求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系求出的度数，对顶角相等，得到的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 3．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． 4．如图，已知在纸上有一点O，按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，，下列结论不正确的是（    ）    A．四边形是菱形 B．四边形的面积为 C． D．E是的中点 【答案】B 【分析】连接、，设交于点H，根据已知条件可证、为等边三角形，结合菱形的判定即可得证；在中，可求出的长，进而求得四边形的面积；根据菱形的性质可得；由可得即可求解． 【详解】解：连接、，设交于点H， 由题意可得，为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由尺规作图可得，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故A不符合题意； 在中，， ∴， ∴四边形的面积为，故B符合题意； 由菱形的性质得，，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴E是的中点，故D不符合题意； 故选：B．    【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、圆心角和弧、弦的关系，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 6．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 7．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在中，，，则的最小覆盖圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】连接、，连接并延长交于点F，由题意得，三角形的最小覆盖圆是的外接圆，证明，得，根据等腰三角形的性质得，，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接、，连接并延长交于点F， 由题意得，三角形的最小覆盖圆是的外接圆，如图， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、求三角形外接圆的半径、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案． 【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令BC=2a，则BD=a， 在等边三角形ABC中 AD⊥BC，OB平分∠ABC， ∴∠OBD=∠ABC=30°， 由勾股定理，得AD=， 在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质以及圆的性质，解题的关键是利用轴对称性质确定点的运动轨迹，再根据几何关系求出最小时点的坐标． 根据轴对称性质确定点的轨迹，再结合几何知识求出最小时点的坐标． 【详解】解：因为四边形是正方形，，所以， 因为点关于的对称点为，所以， 即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 要求最小，如图，根据点到圆上一点的距离，当在连线上时，最小， ， ， 过作交于，又， ， ， ， 点的坐标， 故选：D． 10．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，交于点，连接，求得的长度即可求得的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， ， 在中，， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 若线段与有2个交点，则， 即， ， x的值可能是， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 12．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 13．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 14．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式，连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，求出的长为，结合题意可得，作于，则，求出，由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、、， ， 由题意可得：，，， ∴、均为等边三角形，， ∴的长为， ∵“玫瑰三叶形”的周长为， ∴， ∴， 作于，则， ∴， 由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成， ∴“玫瑰三叶形”的面积为， 故答案为：． 15．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 16．如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H．求出，根据，可得结论． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H． ∵， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴劣弧所对的圆心角：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴BP的最小值为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 18．（8分）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，即可证明； （2）设，则，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵正方形的面积， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， ∴， ∴半径长是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆的性质等知识点，关键是由勾股定理求出的长． 19．（8分）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为直径作圆，根据直径所对的圆周角等于90度，即可得到（或）为的切线； （2）根据题意作出图形，利用勾股定理得到，进而得到，作于点，结合解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作的切线（或）如下图所示： （2）解：为的直径， ⸫， ，， ， ， ， 同理可得， ⸫， ， 作于点， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了复杂作图，作垂直平分线，直径所对的圆周角等于90度，切线判定定理，勾股定理，等腰三角形性质，解直角三角形，相似三角形性质和判定，解题的关键在于正确作出图形． 20．（8分）如图，已知中，，以为直径的交于点，交于点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而在中，利用勾股定理可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键． 21．（9分）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 22．（9分）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的切线性质、弧与圆周角的关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直径所对圆周角为直角及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的核心性质（切线垂直于过切点的半径、弧中点对应圆周角相等、直径所对圆周角为直角）建立角的等量关系，再结合等腰三角形判定或全等三角形判定证明线段相等． （1）连接，利用切线性质得，由得；根据推出，结合对顶角，联立直角三角形的角互余关系，证得，再由“等角对等边”得； （2）延长至Q，由C是中点得；利用得，进而；根据直径性质得得，结合切线推出；从而，再用证，最终得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴，即．① ∵， ∴，即．又， ∴． 由得，， ∴．② 联立①、②知， ∴（等角对等边）． （2）证明：延长至点Q， ∵点C是的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴，③ ∵是的直径， ∴即 由得，， ∴ 由是切线，是半径知，即 ∴，④ 由③与④知，， 由是直径知：又， ∴， ∴ 23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，交x轴于B，D两点，交y轴于A、C两点，连结交x轴于点G． (1)当时，求的度数； (2)如图2，若． ①求证：； ②若，，求点A的坐标及的长度． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ②； 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理和解直角三角形，平行线分线段长比例，作辅助线构造直径所对的圆周角是直角是解题的关键． （1）连接，先求出，即可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可； （2）①延长交于点E，连接，得到，然后根据同角的余角相等得到，即可得到结论； ②设，则，即可求出，，根据正切的定义得到，再根据，得到求出x值即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）①证明：延长交于点E，连接， 则，是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即∴， 解得， ∴点A的坐标为，，， ∴． 24．（10分）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 【答案】(1)30； (2) (3)或 【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，利用锐角三角函数和勾股定理解答即可； （2）过点O作于点H，连接，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得的值，得到A，M，E三点重合，利用扇形的面积公式解答即可； （3）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，与半圆O交于点B， 在中， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴点C到半圆O的最短距离为， 故答案为：30，； （2）解：过点O作于点H，连接，如图， 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴A，M，E三点重合， ∴． ∴扇形的面积； （3）解：如图， 当与边相切于点时，， 此时，与有一个公共点， 由（2）知：； 当与边相切于点时，， 此时，与有三个公共点， ∴． ∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点， ∴； 当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点， 当经过点B时，与有三个公共点， ∵，，， ∴， 解得：． ∴当时，与有三个公共点， ∴当时，与有两个公共点， 综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆的有关计算，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质等知识，连接经过切点的半径和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线． 试卷第4页，共32页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章 圆·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 2．如图，为的直径，为的两条弦，交于点C，若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 4．如图，已知在纸上有一点O，按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，，下列结论不正确的是（    ）    A．四边形是菱形 B．四边形的面积为 C． D．E是的中点 5．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 6．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 7．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在中，，，则的最小覆盖圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 8．如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 12．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 13．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 14．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为 ． 15．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 16．如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 18．（8分）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 19．（8分）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． 20．（8分）如图，已知中，，以为直径的交于点，交于点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（9分）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 22．（9分）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，交x轴于B，D两点，交y轴于A、C两点，连结交x轴于点G． (1)当时，求的度数； (2)如图2，若． ①求证：； ②若，，求点A的坐标及的长度． 24．（10分）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 试卷第4页，共32页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第2章 圆·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 2．如图，为的直径，为的两条弦，交于点C，若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 4．如图，已知在纸上有一点O，按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，，下列结论不正确的是（    ）    A．四边形是菱形 B．四边形的面积为 C． D．E是的中点 5．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 6．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 7．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在中，，，则的最小覆盖圆的半径是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 8．如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 12．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 13．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 14．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为 ． 15．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 16．如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 18．（8分）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 19．（8分）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． 20．（8分）如图，已知中，，以为直径的交于点，交于点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（9分）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 22．（9分）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，交x轴于B，D两点，交y轴于A、C两点，连结交x轴于点G． (1)当时，求的度数； (2)如图2，若． ①求证：； ②若，，求点A的坐标及的长度． 24．（10分）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $