2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件围绕平均变化率与瞬时变化率，通过高台跳水高度变化、吹气球半径增速等情境问题导入，搭建从实际现象到数学概念的学习支架，衔接后续导数知识的理解。 其亮点在于以情境导学培养数学抽象素养，通过运动方程瞬时速度求解等实例强化数学运算能力，结合“反思领悟”总结步骤与课堂小结明确变化率意义。学生能提升抽象与运算能力，教师可借助分层练习和清晰流程提高教学效率。

第二章　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 学习任务 核心素养 1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念．(重点) 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法．(难点) 1．通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求函数平均变化率、瞬时变化率，培养数学运算素养． 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 问题1：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？ 问题2：很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢，那么如何描述这种现象呢？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　略 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 1．平均变化率 函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义：＝． (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的____． 快慢 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 2．瞬时变化率 函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率 (1)定义：当Δx趋于0时，平均变化率＝趋于某个值，这个值就是f (x)在点x0的瞬时变化率． (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的____． 快慢 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 思考　函数f (x)在区间[x1，x2]上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x)在[x1，x2]上一定为常数？ [提示]　函数f (x)在区间[x1，x2]上的平均变化率可以等于0，这时 f (x1)＝f (x2)；平均变化率等于0，不能说明f (x)在区间[x1，x2]上一定为常数，例如f (x)＝x2在区间[－1，1]上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0． (　　) (2)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率与Δx值的正、负无关． (　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值的变化快慢的量． (　　) (4)平均变化率越大，函数值变化得越快． (　　) × √ √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 √ 2．如图，函数y＝f (x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－2 B　[＝＝＝－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 3．函数f (x)＝在x＝1处的瞬时变化率为________． －1　[＝＝＝－，当Δx趋于0时，趋于－1． 故函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率为－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 4．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0的值为________． 1　[因为Δs＝＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2， 当Δt趋于0时，趋于14t0－13，所以14t0－13＝1， 所以t0＝1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 关键能力·合作探究释疑难 类型1　求函数的平均变化率 【例1】　求函数y＝f (x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 [解]　函数y＝f (x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝ ＝6x0＋3Δx． 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3． 反思领悟　求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1． (2)求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)． (3)求平均变化率＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 [跟进训练] 1．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________． 　[因为Δy＝π×23－π×13＝，所以＝＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 类型2　求瞬时变化率 【例2】　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)． (1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 [解]　(1)质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝(－6－3Δt)(m/s)． (2)由(1)知＝－6－3Δt． 当Δt趋近于0时，趋近于－6， 所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s． 反思领悟　求运动物体瞬时速度的步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 [跟进训练] 2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．求此物体在t＝2时的瞬时速度． [解]　取一时间段[2，2＋Δt]， Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2， ＝＝－1－Δt， 所以当Δt趋近于0时，趋近于－1， 所以当t＝2时，物体的瞬时速度为－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 类型3　平均变化率与瞬时变化率的应用 【例3】　已知函数f (x)＝2x，g(x)＝log2x． (1)当x从1变为4时，分别求函数f (x)和g(x)的平均变化率； (2)当x从1变为4时，比较函数f (x)和g(x)的函数值变化的快慢． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 [解]　(1)当x从1变为4时， 在函数y＝f (x)中，Δx＝4－1＝3，Δy＝f (4)－f (1)＝24－21＝14，则函数f (x)的平均变化率＝； 在函数y＝g(x)中，Δx＝4－1＝3，Δy＝g(4)－g(1)＝log24－log21＝2－0＝2，则函数g(x)的平均变化率＝． (2)因为＞，所以当x从1变为4时，函数f (x)的函数值比函数g(x)的函数值变化得快． 反思领悟　1．平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，绝对值越大，函数值变化得越快． 2．瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢，绝对值越大，函数值变化得越快． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 [跟进训练] 3．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度大小为8 m/s，则常数a为________． 2　[因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，当t＝2时，当Δt趋于0时，瞬时速度趋于4a，可得4a＝8，所以a＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．设函数f (x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　) A．2.1　 　　B．1.1　 　　C．2　　 　D．0 A　[＝＝＝2.1．] 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 √ 2．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为(　　) A．Δx＋＋2　 B．Δx－－2 C．2＋Δx 　 D．2＋Δx－ C　[∵x1＝1，x2＝1＋Δx，即Δx＝x2－x1， ∴Δy＝＋1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为(　　) A．2 B．1 C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 C　[因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝， 所以＝Δt， 当Δt无限趋近于0时，Δt无限趋近于， 因此t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为，故选C．] 4．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝______________． (Δx)2＋6Δx＋12　[因为Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，所以＝(Δx)2＋6Δx＋12．] (Δx)2＋6Δx＋12 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 5．(教材P56习题2－1A组T2改编)已知函数f (x)＝2x2＋3x－5． (1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数值的改变量Δy和平均变化率； (2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数值的改变量Δy和平均变化率． [解]　∵f (x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f (x1＋Δx)－f (x1) ＝＋3×x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 (1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴＝＝21． (2)当x1＝4，Δx＝0.1时， Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴＝＝19.2． 1．利用平均变化率可以刻画函数值平均变化的趋势和快慢程度． 2．当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十一)　平均变化率与瞬时变化率 一、选择题 1．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于(　　) A．4　　　　　　　　　 B．4＋2Δx C．4＋Δx　　 D．4Δx＋(Δx)2 31 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[＝＝＝2Δx＋4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　) A．＝＝ B．＝ C．＝ D．＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．函数f (x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) A．3　　　　 B．2 C．1　　　　 D．4 B　[由已知得，＝3， ∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为(　　) A．Δx－6 B．6－Δx C．Δx－3 D．3－Δx A　[当自变量从－2变化到－2＋Δx时， 函数的平均变化率为＝ ＝Δx－6．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　) A． m/s　　 B． m/s C．8 m/s D． m/s 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为＝ ＝＝Δt＋8－， 所以当Δt趋近于0时，趋近于．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．一质点运动的方程为s＝5－2t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－2Δt－4，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________． －4　[由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt趋于0时，趋于 －4．] －4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．如图所示，函数y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． [x3，x4] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 40 [x3，x4]　[由平均变化率的定义可知，函数y＝f (x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，结合图象可以发现函数y＝f (x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．函数f (x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________． 5　[因为函数f (x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2， 所以＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．] 5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移s的单位：cm，时间t的单位：s) (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求； (2)当t＝2，Δt＝0.001时，求； (3)求质点M在t＝2时的瞬时速度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　＝＝＝4t＋2Δt． (1)当t＝2，Δt＝0.01时， ＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)． (2)当t＝2，Δt＝0.001时， ＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)． (3)因为当Δt趋近于0时，趋近于4t，所以当t＝2时，瞬时速度v＝4×2＝8(cm/s)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知某一运动物体在x(单位：s)时离出发点的距离(单位：m)为f (x)，且满足f (x)＝x3＋x2＋2x． (1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在第1 s末的瞬时速度； (3)经过多长时间该物体的速度达到14 m/s? 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)物体在第1 s内的平均速度(即平均变化率)为＝(m/s)． (2)＝ ＝6＋3Δx＋(Δx)2． 当Δx→0时，6＋3Δx＋(Δx)2→6， 所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 (3)令y＝f (x)＝x3＋x2＋2x，则＝ ＝ ＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx． 当Δx→0时，→2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍去)， 即经过2 s该物体的速度达到14 m/s． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10，则瞬时速度为0 m/s的时刻是(　　) A． s　　　B． s　　　C． s　　　D． s 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[设t＝t0时刻的瞬时速度为0 m/s， 则Δh＝h(t0＋Δt)－h(t0)＝－9.8t0·Δt＋6.5Δt－4.9(Δt)2， 所以＝－9.8t0＋6.5－4.9Δt， 则当Δt趋近于0时，趋近于－9.8t0＋6.5， 令－9.8t0＋6.5＝0，解得t0＝ s．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2　　 B．1 C．－1　　 D．6 B　[由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)已知某物体的运动函数为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．当t＝1到t＝3时该物体的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 51 ABD　[该物体在t＝1到t＝3时的平均速度是＝＝28，故A正确； 物体在t＝4时的瞬时速度是当Δt趋于0时，＝56＋7Δt趋于56，故B正确； 物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错误； 物体在t＝5时的瞬时速度是当Δt趋于0时，＝70＋7Δt趋于70，故D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是________；在t＝2.5时的瞬时速度是________． 15 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15　15　[在2≤t≤3这段时间内，Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15．∴＝＝15． ∵＝＝15＋3Δt， ∴当Δt趋于0时，趋于15．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)： s＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体在t＝1时的瞬时速度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)∵物体在t∈[3，5]内的时间改变量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]内的位移改变量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48， ∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12，当Δt趋于0时，趋于－12， ∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 $