专题01 求锐角三角函数的四种常见方法（高效培优专项训练）数学沪科版九年级上册

专题01 求锐角三角函数的四种常见方法 题型一：等角转化法 题型二：构造直角三角形法 题型三：巧设参数法 题型四：网格中求锐角三角函数的值 题型一：等角转化法 1．如图，矩形的顶点均在直线，，，上，，且间隔相等．若，，则（　　） A． B． C． D． 2.如图，直线直线l，，若，则 ． 3.已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 4.如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，则 ． 5.如图，在中，，，，于点，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，垂足为点，，则 ． 7.如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则 . 8.如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 题型二：构造直角三角形法 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在矩形中，，，是上一点，且，则 ． 11.足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ． 12．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，于点，，求的值． 13.如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，求∠EBC的正切值， 14.已知一次函数与反比例函数的图像交于第一象限内的，两点，与x轴交于A点． (1)分别求出、、、的值； (2)求的正弦值． 15．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 题型三：巧设参数法 16.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且， ． 17.如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为 ． 18．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，是的角平分线，过点作的垂线交边于点，垂足为点，当为边上的中线，则 ，当时，则 ． 19.我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 20．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 题型四：网格中求锐角三角函数的值 21．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 29．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 30．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 31．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 32.如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 33.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点A，，都在格点上，则的值为 . 34．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为 ． 35．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，是延长线上一点，则的值是 ． 36．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则的值是 ． 37．如图，在网格中，每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，是网格中的格点三角形，点为格点． (1)将绕点顺时针旋转得到，请作出 (2)以点为位似中心，把放大2倍，得到，请作出； (3)求的值是______． 38．在边长为1的小正方形构成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系．三个顶点的坐标分别为．仅用无刻度的直尺借助于网格画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）画出以为斜边的等腰（D在下方）； （2）连接交于点E，则的度数为_______； （3）在直线下方找一个格点F，连接，使，直接写出F点坐标为________； （4）根据上述作图，直接写出的值为________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01 求锐角三角函数的四种常见方法 题型归纳 题型一：等角转化法 题型二：构造直角三角形法 题型三：巧设参数法 题型四：网格中求锐角三角函数的值 题型专练 题型一：等角转化法 1.如图，矩形ABCD的顶点均在直线a,b,C,d上，a11b/1c/d,且间隔相等.若AB=4,AD=6, 则tan∠1=( ) d A.10 B.5 2 c.3 D. 2-3 【答案】C 【详解】解：如图，设AB交直线b于点P, B d KC :四边形ABCD是矩形， ∠A=90°，AD11BC, :a/1b11c/1d且间隔相等， 1 :AP=-AB=2, 2 :∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2=∠3， ∠1=∠4， tan∠I=tan∠4=AP-21 AD63' 故选：C. 2.如图，直线BC∥直线1，AB=AC,若∠BAC=120°，则cosa= 1/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C A 【答案】 2 【详解】解：：AB=AC,∠BAC=120°， ∠ABC=∠ACB=30°， 又：直线BC∥直线1， ∠ACB=a=30°， .c0sa=cos30°= 6 2 故答案为： 3 2 3.已知直线l∥1∥（∥1，，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线 上，放置方式如图所示，AB=4,BC=6,则tana=一 D 人 B (答案】) 【详解】解：如下图，设BC与马的交点为E, :4∥l2∥4∥14，相邻的两条平行直线间的距离均为h, BE=EC,LAEB=∠a, :AB=4,BC=6,矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上， .BE=。BC=3, 2 在RtaABE中，tanLAEB=AB_4 BE3' 则tana=3' 4 2/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C12 E B 4 故答案为： 3 4.如图，已知直线4‖12‖lI14,相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四 条直线上，则tana= A D B 14 【答案】2 1 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠A=90°， :4I12川，‖L4,相邻两条平行直线间的距离都是1， :AE=BE=AB,∠a=LADE, 2 AE=IAD, AE 1 AD2' tan LADE=AE1 AD 2' AE .tan a AD' tand=2 1 12 73 故答案为： 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,CD⊥AB于点D,则cos∠ACD的值为 3/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答1号 【详解】解：在Rt△ABC中， :LACB=90°，AC=5,BC=12, .AB=√AC2+BC2=13, :LACB=90°，CD⊥AB, ∠ACD+∠A=90°，∠A+∠B=90°， ∠ACD=∠B, cos∠ACD=cosB=BC=12 AB 13 12 故答案为： 13 6.(24-25九年级上安微合肥阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D, 1 sinB=3’则ZACD=— D 【答案】 4 【详解】解：：在Rt△ABC,sinB=4C-} AB3 六设AC=k,AB=3k, BC=AB2-AC2=(3k)2-k2=22k tan B=4C=_k BC 22k 4 :∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， :CD⊥AB, 4/35 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CDA=90°， LA+LACD=90°， ∠ACD=∠B, ta∠ACD=tanB=2 4 故答案为： √2 4 7如图，菱形ABCD的对角线交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接EO.若AC=6,BD=8,则 COsZAEO= A D E 【路米】 【详解】：四边形ABCD是菱形，且AC=6,BD=8, .AC L BD,OB=OD=4,0A=0C=3, BC=VOB2+OC2=V42+32=5, :AE⊥BC,OA=0C, .0E=0A=0C, .∠AEO=∠EAO, :AE⊥BC,AC⊥BD, .ZOBC+ZBCO ZEAC +ZBCO .∠OBC=∠EAC, .∠AE0=∠OBC, cos∠AEO=cos∠OBC= OB 4 BC-51 故答案为：5 4 如图，已知在ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，BC=AD=20,cosB=求 5/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)线段BD的长； (2)∠EDC的正切值. 【详解】(1)解：：AD是边BC上的高，cosB=3 BD 3 .:cos B= AB 5' ·设BD=3x,AB=5x, :AD=AB2 -BD2 =4x, 4x=20, 解得：x=5, BD=3x5=15: (2)解：”E是边AC的中点，AD是边BC上的高， :DE =CE=AC, ∠DCE=∠EDC, :BC=AD=20, :CD=BC-BD=5, :tan∠EDC=tan∠DCE=AD=20 题型二：构造直角三角形法 9.（24-25九年级上安徽合肥期中)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍 长三角形”，若等腰ABC是"倍长三角形”，则底角的正切值为() B.15 c.√5 4 【答案】C 【详解】解：：等腰ABC是“倍长三角形”，设AB=AC, 当BC=2AB时，AB+AC=BC,不能组成三角形： 当2BC=AB时，能组成三角形， 过点A作AD⊥BC于点D, 6/35 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BC=2BD, :AB=4BD. 在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD2=√5BD, ÷tan∠B=AD=i5BD 5 BD BD 故选：C A B 10.如图，在矩形ABCD中，BC=4a,CD=a,E是AD上一点，且BE⊥EC,则∠ECB= 【答案】15° 【详解】解：如图，过E作EF⊥BC于F,取BC的中点G,连接EG,则LEFC=90°， E A D B G :四边形ABCD是矩形， .∠BCD=∠D=90°， :四边形EFCD是矩形， :EF CD=a, :BE⊥EC,G是BC中点， 1 1 .EG=CG=÷BC=×4a=2a, 2 2 ∴LGCE=∠GEC, :LEFC=90°，EF=a,EG=2a, EF a 1 ∴sin∠EGF= EG 7135 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EGF=30°， :∠EGF=LGCE+LGEC, 30°=2∠GCE, ·∠GCE=15°， 即∠ECB=I5°. 11.足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时， 我们称该射点为最佳射门点，通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q, 使得LCQA=LABQ(此时也有LDQB=∠QAB)时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以 称点Q为直线CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB 于点D,AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.tn∠4QB=一 D 0 M A B A BD 图1 图2 【答案】3 【详解】解：由题意，∠BQD=∠QAD, :∠BDQ=∠QDA, .△BDQ∽△QDA, BD OD OD DA' 六QD2=DB·DA, AB=6,BD=2, DA=8, .QD=4, 如图，过点B作BH⊥AQ于点H. 8/35 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 之 A BD :CD⊥AD, .∠ADQ=90°， :AD=8.DQ=4, AQ=VAD2+DQ2=V82+42=45, 1x6x4=1x45×BH, 2 ÷BH=65 5 :BQ=VBD2+D02=V22+42=25, H0-VB02-BF=2w5-5_85 6V5 tan∠AQB= BH 5 3 HO 8V549 5 3 故答案为：4 12.(24-25九年级上安微宣城阶段练习)如图，在▣ABCD中，AB=5,BC=8,AE1BC于点E, cos B= 5,求tan CDE的值. 3 D E 【答案】 【详解】解：过D作DF⊥BC交BC的延长线于F, 9135 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 四边形ABCD是平行四边形， B F E :AB=CD=5, AD∥BC, :AE⊥BC, :AE=DF, 在Rt△AEB中， BE=AB·cOSB 55 3 =3, :CE BC-BE =5, AE=√AB2-BE =V52-32 =4, DF=4, CE=CD, :∠CDE=∠DEF, CF=CD2-DF2 =V52-49 =3, :EF=CE+CF=8, 在Rt△DFE中， DE tan∠DEF= EF 41 Γ82 tocoE 13.如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,连接BE,求∠EBC的正切值， 10/35