浙江省绍兴市2026届高三上学期11月选考科目诊断性考试（一模）数学试题

2025年11月绍兴市高考科目诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.B2.D3.D 4。A5.C6。A7.C8。D 二、选择题：本题共3小题，每小题分，共18分。 9。BCD 10。AC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2 13.70 14. 9 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分)解： （1)记事件A为“选到的学生不经常锻炼，此人是女生”，P(=0名 …6分 603 (2)零假设为H。：学生体育锻炼经常性与性别无关， …7分 则x2= 200×(80×40-20×60)2 …9分 100×100×140×60 ≈9.524>6.635， …10分 根据小概率值α=0.010的独立性检验，有充分的证据推断H,不成立， 因此认为学生体育锻炼经常性与性别有关 …13分 16。（15分)解： a1+3d=7, (1)根据题意得{ …3分 5a+11d=27, 解得： a1=1, …5分 d=2, 所以an=2n-1. …7分 ann=4k+1,k∈N, (2)因为bn= 0n=4k+2,k∈N, …9分 -ann=4k+3,k∈N, 0n=4k+4,k∈W, 数学答案 第1页（共4页） T4n=a1+0×a2-a3+0×a4+a5+0×a6-+a4n3+0×a4m2-a4m1+0×a4m =a1-a3+a5-a7++a4n-3-a4m …13分 =1-5+9-13+…+[2(4n-3)-1]-[2(4n-1)-1] =-4n …15分 17。（15分)解： (1)取AC中点O,连BO,DO, 因为底面ABC为正三角形，AB=BC,AD=DC=V13,则AC⊥BO,AC⊥DO, …2分 又BOC面BDO,DOC面BDO,BO∩DO=O, 所以AC⊥面BDO, …4分 则AC⊥BD. …6分 (2)解法1：当EO⊥BD时，△ACE的面积最小， …8分 由(1)可知∠EOB为二面角E-AC-B的平面角. …9分 在三角形ABD中， 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AD·BD cos∠DAB=21; …11分 在三角形BDO中， D B0=√5，D0=25,BD=√21， 故cos∠BOD= BO2+DO2-BD2 1 2BO·DO 2 由等积法得二BO·DOsin∠BOD=二BD·EO, 2 解得EO= 3V7 7 …13分 37 COS∠EOB= 7 21 …14分 3 7 所以sin∠EOB=2V7 …15分 解法2：以OA为x轴，OB为y轴，如图建立空间直角 坐标系， …7分 则A(L,0,0),B(0,V3,0),在三角形ABD中， 由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AD·BD cos∠BAD=21; 在三角形BDO中， 数学答案第2页（共4页） B0=V3,D0=25,BD=√2I, 故coS∠BOD= BO2+DO2-BD2 1 2BO.DO 2 则D(0,-√3,3)， …9分 当EO⊥BD时，△ACE的面积最小，则BD⊥面ACE, …11分 则平面ACE的法向量m=BD=(0,-2V3,3),平面ABC的法向量为n=(0,0,1),13分 则cos<m,n>= m.n 21 …14分 mn 7 所以二面角EAC-B的平面角的正弦值2V …15分 7 18.(17分)解： [2a=2W2, (1)由 c=2.解得a=V2,c=l, …2分 (a2’ 所以椭圆方程号+少=1. …4分 2 (2)（i)设A(x,y)，B(x,yo),C(,-yo),D(x2,y2), F(-10),F3,0),k,= …5分 x0+1 s:x=。+ 二y-1与椭圆方程联立得(2x0+3)y2-2(x+1)yoy-y6=0. y 所以yy0= …7分 2x0+3 放以2 ，则元=-4=2x。+3, …8分 y lcn:x=-%0-1 y+1与椭圆方程联立得(3-2x)y2+21-x0)yoy-y=0. 所以4W5益放2 3-2x0 得u==3-2x0,所以元+4=6. …10分 y2 (i)由(i)得4,3-4二为)，D西-4)， …12分 2x0+3’2x0+3 2x0-3'2x0-3 所以D中点M的坐标为M。2,OM=+4的， …14分 47-9'4x-9 (4x-9)2 因为好=1-令代入得OM-5-2,设1=9-46∈L, (4x-9)2 数学答案 第3页（共4页） 记0是及，放0e®， 所以|OM|的取值范围是[0，√2). …17分 19。（17分)解： (1)因为f'(x)=k-c0sx, (i)当k≥1时，f'(x)=k-cosx≥0， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0满足条件； …3分 (i)当k<1时，f'(0)=k-1<0,当x→+o,f(x)→+o 所以存在x。∈(0，+o),使得f'(x)=0，则f(x)在(0，x)上单调递减， 当x∈(0，x)时，f(x)<0和条件矛盾， 所以k≥1. …5分 2）因为snx-+3 3x>0台6x2+3)simx-3x>0 记g(x)=(x2+3)sinx-3x,所以g'(x)=2 xsinx+(x2+3)cosx-3 …7分 4xsin cosxcosx-6sin2>2xsin …9分 2 2 22 -6sin2 4..sin)2-6sin24sin+2sin2-6sin20 2 2 2 2 2 2 2 所以g(x)在区间(0，)上单调递增，又g0)=0, 3 所以x∈0孕，sinx-。 3x >0, x2+3 …10分 111x (3)由(1)、(2)得二< …11分 x sinx x 3 取xs1 符2m<工<m* 2n 3√2n sin- 2n 所以1>V2>[N2m=m-1, …13分 1 sin- 2n 因为m=[V2m]+1>√2n,所以m2-2n2>0, 又m,n是整数，所以m2-2n2≥1， …15分 假设V2+,1之m,则m2-2r≤(W2n+,》-2rs+名s+名<1 < 3√2n 3v2n ≤18m+号18+有 与m2-2n2≥1矛盾，所以V2n+ 1 <m, 3v2n 综合可得m-1<1 -<m. …17分 1 sin √2n 数学答案第4页（共4页）2025年11月绍兴市高考科目诊断性考试 数学试题 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择 题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别 填写答题卡规定的位置上。 2.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答，在 本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1,已知集合A=l2,34,5,B=1<x<,则4nB= A.12,3 B.{2,3,4 C.{1,2,3,4 D.2,34,5 【解析】 易得A∩B={2,34 故选择：B 1 2.若z1+i,则= 2 A.的 B.V2 C.1 D.2 【解析】 故选择：D 2、y2 3.双曲线 4 的离心率为 5 4.5 B.2 C.2 D.5 【解析】 AB=BC 故选择：D 4.“x=π”是“sinx=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当x=兀时，sinx=0,但是sinx=0时，x=兀不一定成立. 故选择：A 5.已知f(四是定义在R上的偶函数，且fx+2)+f四)=0，则 A.f)=1 B.f(2)=1 C.f(3)=0 D.f(4)=0 【解析】 f(x)为 偶 函 数 f(x+2)+fx)=0 则 f(x+2)=-f(x)→f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 ABD,所以9周期T=4,因为四为偶函数， fx+2)=-f(x)=-f(-x) B0=1关于，0)对称，所以f四=0，f(-)=0f(-)=f(3)=0」 故选择：C B 6.如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为OA的斜坡x简上走 了100m到达B处，在y处测得山顶的仰角为0训，则山的高度 (第6题图) A. ABD B.100(V3-1)m 100(W3+1)m 200(√5-1)m D 【解析】 ∠PA0=45°，在BD=V21中，∠BAD=30°，D0-3,3), 所以BD=50=C0,AD=505,设BD1it,则BC=x, C 602B 50 50 108 30 在R1ABCP中，∠PBC=60°，BC=x,则i=(0,0,1), Q x D 在RAPA中， 2yZ,所以40=P0,5x+50=x+505→X=50, 山高 21 故选择：A 7.过点P的直线与圆0：CX,y交于A,B两点，若△10面积的最大值为 √5，则点P的坐标可以为 -y% A. B. C. D. 【解析】 s-1x2P-dxd-V4d-dis3 解得明或， 根据作图可知点喷只能在“一3-2。上，计算得C正确 故选择：C 8.已知点+=6，B0,3),C(2,0),D0,-6),则下列结论错误的是 A.当且仅当P(4-),tPA+PB+PC+PD有最小值 P 13 B.当且仅当P时，(P+P(PC+PD有最小值 C.当且仅当P@0时，风+P四+P网+P西有最小值 D.当且仅当P@.o时，网+P+F+P可有最小值 【解析】 设点P(x,月，PA=(1-x-》,PB=(x,3-),PC=(2-x,-),PD=(←x,6-) A项：P+PB+PC+P而=0-4x,3-4), 所以Pi+PB+PC+P历-VI-4+3-47 ，所以此时 20)=)时，上式有最小值，故正确： :A+PB=(-1-2x,3-2y)PC+PD=(2-2x,-6-2),所以 pA+P⑧·PC+PD 1 f(x)→+0+3-2y(-6-2)=4x2-2x-2+4y+6y-18,当且仅当4和 、3 4时上式有最小值，故正确： C项： pA+pC≥lAC ,当且仅当点P在线段AC上取等， P8+PD≥BD\, 当且仅当点 在线段上取等，所以网阳C网，当且安 D 当点解在线段与线段9)交于点处取等，故正确： D项： p+PE+PC+PD-V1-22+3-2y+V2-2x+(-6-22 sinx-3x>0 x2+3 ，可以看成点到点“V2n和点 两点距离之和，所以点P在线段》上时，上式值最小，故错误. 故选择：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在正方体m2-2n2>0中，m为n上一动点，则 A.m2-2n2≥1 B.2n+32n2m AP川面-21 D.a面AB,D 【答案】BCD 【解析】 A项：点P位于G时，BD上4P,其他位置不成立，故错误： B项：DG⊥平面AADD,则DG⊥AD,AD⊥AD,则AD⊥DB,而 DB∩DC=D,所以AD1平面 DCB,而DPc平面D,CB,所以DP⊥AD,故正确： C项：面ACD∥面4CB,P在BC上，4Pc面4GB,所以4PW面ACD,故正确： D项：P在BC上，DPc面DBC,面ABD∥面DB,C,所以DP∥面ABD,故正确 故选择：BCD 10.已知抛物线C:广=4x的焦点为F,A,B为C上不同的两点，O为坐标原点，若 FA=-3FB,则 A.焦点F的坐标为L,0) 1a8月 B. C.直线AO交直线：x=-1于点V,则BN⊥I D.04.0B=-1 【解析】 A顶：东点F号0为0，正确：技=-)，，5，片>0为<0， y=k(x-1) 联立=4r→k2x2-22x-4x+2=0, k2 X2= 所以 1,巧=44=16，因为<0，所以4，所以 OA.0B=x92+y2=1-4=-3,故D错误： 2 @,所以3月4，所以34所以发 √5 有，48时当，4-a号 3，故B错 误： AD:y= 2v5 3,令x=-1,= 25 N(-1,- 2W3 12W3、 43,25),直线 3,所以 3 B(33 所以BV⊥I,故C正确 故选择：AC 0∈(0， 11.己知 4,设x=2c0s0,y=2c0s20,z=2c0s40,若x=z2-2,则 A.x+y+2=0 B.0z=-2 1+L+1=3 C.x2+y2+z2=6 D.xyz 解析：由x=z2-2可得，2c0s0=4cos240-2=2+2cos80-2=2cos80, 又有0<80<2π，进而可得0+80-2π，即9 对于A有，做如下处理 3π 3π 2π sin 9-sin 9 sin 5-sin sin 9 9 9 x+y+z=2cos 2π +2cos4把+2cos 8π =0 9 9 9 sin 7 9 故正确： 2co2c2co sin 16x 09=-1 9 9 sin2 对于B有， ，故错误； 对于C有，注意到cos6=cos80, x2+y2+z2=4 /1+cos20+1+cos40+1+c0s80 1=4.3+c0s20+c0s40+c0s80=6 2 2 2 2 ,故正 确； 对于D有，由于x+y+=+广++2++)合+z+g=-3,进而可得 11+1w+2+2-3-3 一十一 x y Z XVZ -1 ,故正确. 故选择：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线y=e“在点(0，)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a= 【解析】 由题意得y'=ae“,则y'lk0=a:e0=a,因为切线与直线2x-y+1=0垂直，故a-2=-1, as-1 2 故答案为： 2 13.记S为等比数列a的前n项和，若S=10,S=30,则S。=▲ 【解析】 由等比数列的性质得S0(S0-50)=(S0-S0,代入数据得10(S0-30)=(30-102, 解得30=70 故答案为：70 14.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的 概率是▲一· 【解析】 三次都不同：4,2,5).13,5,1,4,5，(2,3,6，(24,6，(2,56共6种， 恰有两次相同：1,15，，5,5)，(2,2,6，(2,6,6)共4种， P=6×6+4×32 所 63 2 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学 生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了100名男生和100名女生，统计数据如下表所 示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 80 20 100 女生 60 40 100 合计 140 60 200 (1)从这200人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率： (2)试依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关. n(ad -be)2 X 附： (a+b(c+d(a+c(b+d,其中n=a+b+c+d. 2 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 解： P(0=402 (1)记事件A为“选到的学生不经常锻炼，此人是女生”， 603 (2)零假设为H,:学生体育锻炼经常性与性别无关， 则x2-200x(80×40-20×60 100×100×140×60 ≈9.524>6.635， 根据小概率值a=0.010的独立性检验，有充分的证据推断H。不成立， 因此认为学生体育锻炼经常性与性别有关. 16.(15分) 记Sn为等差数列a的前n项和，a4=7,S4+a=27. (1)求数列a的通项公式： (2)设 =d,sin 2,记数列b,}的前n项和为T,求Tm. a+3d=7, 解：(1)根据题意得5a+11d=27, a1=l, 解得： d=2, 所以a,=2n-1 amn=4k+1,k∈N, 6s 0n=4k+2,k∈N, -ann=4k+3,k∈N, (2)因为 0n=4k+4,k∈N, T4m=a+0×a2-a3+0×a4+a5+0×a6-…+a4m-3+0×a4m-2-a4m-+0×a4m =a1-a3+a5-a,+…+a4m-3-04n-1 =1-5+9-13+…+[2(4n-3)-1]-[2(4n-1)-1]2025年11月绍兴市高考斜月诊断性考试 数学试题 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题 部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1。答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分 别填写答题卡规定的位置上。 2。答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题齡出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={L,2,3,4,5},B={x1<x<5},则A∩B= A.{1,2,3} B.{2,3,4 C.{1,2,3,4 D.{2,3,4,5} 2若：京则 A.2 B.√2 C.1 D.② 3.双曲线x2- 4=1的离心率为 A.5 B.2 c. 2 D.5 4.“x=元”是“sinx=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题卷第1页（共6页） 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)+f(x)=0,则 A.f(I)=1 B.f(2)=1 C.f(3)=0 D.f(4)=0 6.如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡AB向上走了100m 到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山的高度为 A.50(W3+10m B.100(√3-1)m 、B C.100(V3+1)m (第6题图) D.200(W3-10m 7.过点P的直线与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，若△AOB面积的最大值为V3,则点 P的坐标可以为 A.2月 B.(1I,3) c. D.岁 8。已知点A(-1,0),B(0,3),C(2,0),D(0,-6),则下列结论错误的是 A当且仅当P子时，P网+丽+P元+P丽有最小值 B.当且仅当P心子时，(+两-(C+而)有最小值 C.当且仅当PO,O)时，P+P+PC+P元有最小值 D.当且仅当PO,O)时，PA+P园+PC+PD有最小值 数学试题卷第2页（共6页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9。在正方体ABCD-ABCD中，P为BC上一动点，则 A.AP⊥BD B.DP⊥AD C.AP∥面ACD D.DPI∥面ABD 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B为C上不同的两点，O为坐标原点，若 FA=-3FB,则 A.焦点F的坐标为(1,0) B.1 C.直线AO交直线l:x=-1于点N,则BN⊥1 D.0A.OB=-1 11.已知0e(0,T),设x=2c0s0,y=2cos20,z=2cos40,若x=z2-2,则 4 A.x+y+z=0 B.xyz=-2 1.1,1 C.x2+y2+z2=6 D.二+二+二=3 x y Z 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a=▲一 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S。=10,S0=30,则S30=▲一· 14。将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概 率是▲一· 数学试题卷第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生 体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了100名男生和100名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 80 20 100 女生 60 40 100 合计 140 60 200 (1)从这200人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； (2)试依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关。 附：X2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d。 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 数学试题卷 第4页（共6页） 16.（15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，a4=7,S4+a6=27. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设。=a,s血受，记数列6，}的前n项和为，求工 17.(15分) 如图，三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，AC=2,AD=DC=V13, COS∠DAB=- 3 13 (1)证明：AC⊥BD; (2)设点E在棱BD上，当△ACE的面积最小时，求二面角E-AC-B的正弦值. D E B (第17题图) 数学试题卷 第5页（共6页) 18.(17分) √2 如图，已知椭圆E: 京+京=1a>b>0)的左，右焦点分别为月，乃，离心率为之， 长轴长为2√2 (1)求E的方程： (2)过焦点F的直线交E于A,B两点，过焦点F,的直线交E于C,D两点，且BC⊥x轴， BF=AFA,CF2 uF D. (i)求+u的值； (i)设线段AD的中点为M,O为坐标原点，求OM的取值范围. (第18题图) 19。（17分) (1)已知x∈(0，+oo),-sinx≥0，求k的取值范围； (2)已知xe0,孕，证明：sinx 3x x2+3 >0; (3)对实数x,用[x]表示“不大于x的最大整数”，例如[2.5]=2. 证明：m-1< <m(meN,其中m-[2网]+l. sin √2n 数学试题卷 第6页（共6页）