精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

北京市第八十中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 2025年11月 班级___________姓名___________考号___________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程化为一般式即可. 【详解】直线斜率，点斜式为，一般式为， 故选：B. 2. 已知直线，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直的充要条件求解即可． 【详解】直线，， 若，则，解得． 故选：D． 3. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】根据题意将化为标准方程可得， 即圆心，半径； 由可知圆心，半径； 此时圆心距为，； 显然，即两圆相交. 故选：C 4. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，由圆与直线相切得到圆的半径，然后写出直线方程. 【详解】点到直线的距离， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：B 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间位置关系的向量法判断，再根据向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，即，解得：. 故选：A 6. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ） A. 在外 B. 的长轴长为 C. 在内 D. 的焦距为 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 7. “”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案. 【详解】椭圆的离心率为，当时，，得； 当时，，得． 即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件． 故选：A. 8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示： 则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D． 9. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离， 所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 椭圆的长轴长为__________，焦点坐标分别为__________. 【答案】 ①. ②. 和 【解析】 【分析】直接根据椭圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由椭圆，可知其焦点在轴上且，，. 即：，. 因此可得：椭圆的长轴长为；其焦点坐标为和. 故答案为：；和 12. 两条直线与之间的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查两条平行线间的距离公式，先将两条直线方程中，的系数化统一，再代入公式计算即可. 【详解】直线可化为， 所以两条平行线间的距离为. 故答案为：. 13. 已知圆与圆关于直线对称，则__________，直线的方程为__________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据两圆半径相等可求得；求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意两圆半径相等，圆，整理得， 圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由题意可知，所以， 的中点坐标为，，由对称性可知得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：4； 14. 曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为__________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以,解得：,则的一个取值为； 故答案为：(答案不唯一) 15. 已知直线与圆相交于，两点.若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由四边形为菱形，得到到的距离等于1，由点到直线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】如图：    因为圆上存在一点，使得四边形为菱形， 所以到的距离等于,即，解得：. 故答案为： 16. 如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②动点的轨迹长度为； ③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点； ④三棱锥的体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用三角函数的定义得到，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解. 【详解】由长方体性质可知：都与平面垂直， 而在平面内，所以， 由，可知，即，故， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为点是侧面上的动点，故设， 故所求点满足，化简得， 则动点的轨迹为此圆在矩形内的部分，是一段圆弧，故①正确； 记圆心为，当时，由，得， 显然动点的轨迹与线段没有公共点，故③错误； 当时，由，得或（舍去）， 当时，由，得或（舍去）， 则，， 易得，又，则， 所以动点的轨迹长度为，故②正确； 显然，动点到平面的最大距离为点到平面的距离，即， 所以三棱锥的体积的最大值为，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间向量法求得动点的轨迹，从而得解. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为，分别为，的中点，所以． 在三棱柱中，， 所以，四点共面． 因为，，、分别为、的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形． 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，依题意可得，从而得到，再说明，，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设平面，平面，所以，， 因为，所以两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 则，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，于是， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，． （1）求证：； （2）已知，，，是线段上一点，当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取AC中点，连接DM、BM， 由，，故、， 又DM、平面DBM，， 则平面DBM，又平面DBM，故． （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由侧面底面ABC，且，平面DBM， 平面平面ABC，故平面DAC， 又平面DAC，故， 即有BM、DM、AC两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由，，，，， 则，， 即、、、、， 、、， 令，则， 由，故，解得， 故， 令平面FAC的法向量为，则，， 也即，令，则有， 由轴平面ABC，故平面ABC的法向量可为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线过点且与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组求解即可； （2）设出直线方程，联立椭圆方程消去，结合弦长公式求解可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，直线被椭圆所截得的弦为椭圆长轴，长为4，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为， 联立消去整理得， ，， 因为， 所以， 即，整理得， 解得（负值已舍去），所以， 所以，直线的方程为或. 20. 已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率 （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质与平面向量的坐标运算进行计算即可； （2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，再结合向量的坐标运算化简即可. 【小问1详解】 因为椭圆的短轴长为，所以. 由，，得，, 因为，所以，又，所以， 则， 所以椭圆的方程为，离心率. 【小问2详解】 由（1）知， 根据题意易知直线斜率必然存在，设为. 由，得， 则，即， 设，，则，， 所以. 因为， 所以，解得，符合， 所以直线的方程为. 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. （1）判断集合和是否为集合，说明理由； （2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； （3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 【答案】（1）是集合，不是集合； （2）中大于1的元素的可能个数为. （3）假设集合中全为正实数. 若中至少两个正实数大于，设，则， 取，则， 而，从而，矛盾； 因此中至多有1个正实数大于. 当时，设， 若， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， 所以. 因为， 所以 ，矛盾. 因此当时，. 当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于， 设， 因为是有限集，设，其中. 又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于， 所以，且存在，且使互不相同， 则， 当时，， 当时，， 于是， 与矛盾. 因此，中元素不能全为正实数. 【解析】 【分析】（1）由集合的定义即可得出答案； （2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案； （3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明. 【小问1详解】 集合是集合， 当时，； 当时，； 当时，； 集合不是集合， 取，则，不满足题中性质. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 不妨设， ①若，因为，从而，与矛盾； ②若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； ③若，因为，所以与矛盾； ④若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； 综上：中大于1的元素的可能个数为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 2025年11月 班级___________姓名___________考号___________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 4. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ） A. 在外 B. 的长轴长为 C. 在内 D. 的焦距为 7. “”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 椭圆的长轴长为__________，焦点坐标分别为__________. 12. 两条直线与之间的距离是__________. 13. 已知圆与圆关于直线对称，则__________，直线的方程为__________. 14. 曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为__________. 15. 已知直线与圆相交于，两点.若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是__________. 16. 如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②动点的轨迹长度为； ③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点； ④三棱锥的体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，． （1）求证：； （2）已知，，，是线段上一点，当时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线过点且与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 20. 已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. （1）判断集合和是否为集合，说明理由； （2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； （3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $