精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025~2026齐市普高联谊校高二期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章~第十章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 2. 一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 3. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 4. 工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（ ） A. 0.70 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.20 5. 某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 越小，越小 6. 某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 8. 已知且，则的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B. 用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） A. 6维“立方体”的顶点有36个 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则__________. 13. 某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为______. 14. 已知随机事件A，B满足，且，则_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 16. 某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表： 单价（元/杯） 10 10.5 11 11.5 12 销售量（杯/店） 30 28 25 22 20 通过分析，发现该新品的销售量（杯/店）与单价（元/杯）具有线性相关关系. （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归直线方程； （2）已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量. 附：在回归直线方程中，. 17. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取局胜制，已知在甲､乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立. （1）求前局中，甲､乙各获胜局的概率； （2）求第局乙获胜且第局甲获胜的概率； （3）求甲､乙比赛结束时所用局数不大于的概率. 19. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026齐市普高联谊校高二期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章~第十章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：C 2. 一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】因为， 所以这组数据的第60百分位数是. 故选：B. 3. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合公式列方程求参数. 【详解】由题意知，且，解得． 故选：C 4. 工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（ ） A. 0.70 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.20 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 5. 某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 越小，越小 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性可判断ABC选项；利用为定值可判断D选项. 【详解】由正态曲线关于直线对称，可得，故A正确； ，故B正确； ，，故，故C正确； 而为定值，D错误． 故选：D. 6. 某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】用事件表示一个人患此种疾病，用事件表示检测结果为阳性， 则，， 所以 ． 故选：B. 7. 在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】利用插空法可求不同的排列方法总数. 【详解】先排列3幅书法作品有种排法， 再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有种排法， 所以不同排列方法有种． 故选：A． 8. 已知且，则的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式中含的项的系数可确定展开式含项的系数，根据组合数的运算可推导得到，结合组合数的运算性质可推导得到结果. 【详解】展开式中含的项是， 的展开式中含的项的系数为， ， . 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B. 用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐项求解即可. 【详解】对于A，第一步，千位可以为，有5种排法， 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个可重复数字的四位数，故A正确； 对于B，第一步，千位可以为，有5种排法； 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位数，故B正确； 对于C，第一步，个位可以为，有3种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位奇数，故C正确； 对于D，第一种情况：当个位为0时，千､百､十位有种排法， 第二种情况：第一步，个位可以为2，4，有2种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法，共有种排法， 综上所述，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误. 故选：ABC. 11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） A. 6维“立方体”的顶点有36个 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可. 【详解】对于6维坐标，其中， 即有2种选择，故共有种选择， 即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个满足， 有3个满足， 所以满足的顶点有组，，故B正确； 满足的顶点有组，所以， 即， ， 所以，故C正确； 而 ，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的概率求法即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为______. 【答案】1.92 【解析】 【分析】先求出总体平均数，然后代入分层抽样方差公式计算即可. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质， 可得总体的方差为：. 故答案为：1.92 14. 已知随机事件A，B满足，且，则_____________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】首先根据概率运算法则将原等式化简，求出的值，然后根据已知条件求出的值，最后即可求出条件概率的值. 【详解】因为，所以， 整理得，因为， 所以，所以， 所以． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，根据组合数的求法，列式计算，即可得答案. （2）由（1）得，进而可得的通项公式，即可求出，分析可得当时，，当时，，根据古典概型概率公式，列式计算，即可得答案. 【小问1详解】 第3项与第项的二项式系数之和为， 即，解得或， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则的通项公式为， 所以， 所以当时，，当时，， 所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为. 16. 某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表： 单价（元/杯） 10 10.5 11 11.5 12 销售量（杯/店） 30 28 25 22 20 通过分析，发现该新品的销售量（杯/店）与单价（元/杯）具有线性相关关系. （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归直线方程； （2）已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量. 附：在回归直线方程中，. 【答案】（1） （2）杯 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得和，利用公式求得的值，进而求得回归直线方程； （2）由（1）中的回归方程，当时，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意，可得， 且， 所以，， 所以关于的回归直线方程是. 【小问2详解】 解：由（1）知当时，可得， 所以估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量是（杯）. 17. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 有关联； （2）分布列： 0 1 2 3 4 5 数学期望. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）根据已知的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 18. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取局胜制，已知在甲､乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立. （1）求前局中，甲､乙各获胜局的概率； （2）求第局乙获胜且第局甲获胜的概率； （3）求甲､乙比赛结束时所用局数不大于的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）列举出甲、乙各获胜局的情况，根据独立事件概率公式计算即可； （2）列举出第局乙获胜且第局甲获胜的情况，根据独立事件概率公式计算即可； （3）为甲、乙比赛结束时，只进行局比赛的概率，根据独立事件概率公式分别计算得到，加和即可求得结果. 【小问1详解】 由题意知：每局比赛乙获胜的概率为； 记事件“第局比赛甲获胜”，事件“第局比赛乙获胜”，事件“前局中，甲、乙各获胜局”，则， . 【小问2详解】 记事件“第局乙获胜且第局甲获胜”，则， . 【小问3详解】 记为甲、乙比赛结束时，只进行局比赛的概率， 只进行三局比赛的结果为，， ； 只进行四局比赛且甲获胜的结果为：，，， 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：，，， ； 甲､乙比赛结束时所用局数不大于的概率为. 19. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场苏超联赛的人数，用频率估计概率即可； （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； （3）利用全概率公式计算，代入求值即可. 【小问1详解】 由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. 【小问2详解】 因为， 所以. 因为， 所以. 所以. 【小问3详解】 由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $