精品解析：浙江省宁波市鄞州区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛一枚骰子朝上的数字是3 B. 打开电视正在播放广告 C. 400名学生中至少有两人生日同一天 D. 早晨太阳从西边升起 4. 将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为( ) A. y＝2﹣2 B. y＝2﹣2 C. y＝2﹣1 D. y＝2+1 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 12. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 075 0.83 0.78 0.81 079 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是______．（结果精确到0.01） 13. 已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为_______． 14. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为_______． 15. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为_______． 16. 已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为_____． 三、解答题（本题共8题，17—21每题8分，22—23每题10分，24题12分，满分72分） 17. 二次函数（，为常数）的图像经过点，． （1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）求当时，的范围． 18. 某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是立定跳远（）、引体向上（）、50米跑（），每个男生要在三个项目中随机抽取一项进行测试． （1）若张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是________； （2）若张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试，用列表或画树状图的方法求他们抽中同一个项目的概率． 19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请解答下列问题： （1）在坐标系中画出绕点逆时针旋转后的并直接写出点的对应点的坐标________； （2）求旋转过程中线段扫过部分的面积． 20. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 21. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若＝，＝，求的长． 22. 某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 24. 如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． （1）求证：； （2）如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题． 【详解】∵ ∴抛物线的开口向下． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为， ， ， 点P在圆内， 故选：A． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛一枚骰子朝上的数字是3 B. 打开电视正在播放广告 C. 400名学生中至少有两人生日同一天 D. 早晨太阳从西边升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可． 【详解】解：A．抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意； B．打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意； C．400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意； D．早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 4. 将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为( ) A. y＝2﹣2 B. y＝2﹣2 C. y＝2﹣1 D. y＝2+1 【答案】B 【解析】 【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，﹣2)，根据抛物线的顶点式求解析式. 【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，﹣2)， ∴平移后抛物线解析式为y＝2(x﹣1)2﹣2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的变形与比例求解，运用代数变形思想，解题关键是对已知分式等式准确变形，易错点是移项或符号处理失误；解题思路是通过交叉相乘、移项推导的值． 【详解】解： ， ， 即 ， ， 故选 D． 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：由圆周角定理得到， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小关系，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故选B． 8. 如图，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 9. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线为，从而，则，，故可判断B；结合抛物线与轴的交点在轴上方，可得，则，故可判断A；当时，，可判断C；根据抛物线与x轴有两个交点，可判断D． 【详解】解：抛物线顶点为， 可设抛物线为． ． 又抛物线为， ，， 即，， 即， ∴，故B不正确； 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ， ∴， ∴，故A不正确； ∵抛物线的顶点为， 当时，，故C不正确． ∵抛物线的顶点为，抛物线开口向上， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， ，故D正确． 故选：D． 10. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可. 【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°， 故答案为135. 12. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是______．（结果精确到0.01） 【答案】0.80 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80． 【详解】解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80． 故答案为：0.80． 13. 已知二次函数中x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 通过观察表格中y值相同的点，确定二次函数的对称轴，再利用对称性求m的值． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，y的值均为， ∴二次函数对称轴为直线． ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，，即． 故答案为：． 14. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，运用代数求解思想，解题关键是牢记黄金分割的比例公式，易错点是比例关系的对应或分母有理化失误；解题思路是根据黄金分割的比例关系建立方程求解线段长度． 【详解】解：∵ 点 是线段 的黄金分割点，且 ， ∴ ． 已知 ， ∴ ， ∴ ； 有理化分母： ； 故答案： ． 15. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理实际应用，勾股定理的应用； 如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 16. 已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，画出图形，数形结合确定最大值和最小值，进行求解即可． 【详解】解：画出，的图象如下： 令，解得或， 当时，； 当时，； 当时，， 由图可知：当时，有最小值为； 当时，有最大值为； ∴y的最小值与最大值的和为； 故答案为：3． 三、解答题（本题共8题，17—21每题8分，22—23每题10分，24题12分，满分72分） 17. 二次函数（，为常数）的图像经过点，． （1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）求当时，的范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求顶点坐标，以及利用二次函数的性质解不等式． （1）将，代入求出解析式，化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出与x轴的交点横坐标，然后结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（，为常数）的图像经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 18. 某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是立定跳远（）、引体向上（）、50米跑（），每个男生要在三个项目中随机抽取一项进行测试． （1）若张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是________； （2）若张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试，用列表或画树状图的方法求他们抽中同一个项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率． （1）直接利用概率公式可得； （2）利用表格展示所有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，根据概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用列表法分析如下： A B  C  A     B   C     张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试的情况共有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果， 所以他们抽中同一个项目的概率为． 19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请解答下列问题： （1）在坐标系中画出绕点逆时针旋转后的并直接写出点的对应点的坐标________； （2）求旋转过程中线段扫过部分的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形以及求图形旋转后扫过的面积，确定图形经过旋转变换后的对称点是作图关键； （1）确定绕点逆时针旋转后的对称点即可； （2）求出，即可进一步求出扇形的面积； 【小问1详解】 解：如图所示： 由图可知：点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可知：， ∴线段扫过部分的面积为： 20. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】（1）的度数为； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【小问1详解】 解：， ∴的度数为． 【小问2详解】 解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 21. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若＝，＝，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； 【小问2详解】 解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 22. 某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为46元时，每天获得的利润最大，最大利润是3840元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，正确列出每天利润关于销售单价的二次函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天获取的利润为W，根据利润（销售单价进价）销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天获取的利润为W， 由题意得， ， ∵规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的最大值与最小值之差为9． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． 【小问1详解】 解：因为对称轴为直线， 所以设， 因为图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：因为点到轴距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； 【小问3详解】 解：二次函数图象的对称轴为直线， ①若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ②若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 24. 如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． （1）求证：； （2）如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答； （2）①连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立； ②作于点M，作于点N，根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $