专题27.6 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

专题27.6 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 2 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 3 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 3 【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】 4 【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】 5 【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】 6 【题型7 切线性质的应用】 7 【题型8 切线的判定和性质的综合应用】 8 【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 10 【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 11 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点2 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【变式1-2】在中，，，，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是 ． 【变式1-3】如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 【例2】在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【变式2-1】已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（　　） A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　） A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0 【变式3-1】圆的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心到该直线的距离可能是（   ） A．2.5 B． C．5 D．6 【变式3-2】如图，已知直线y=x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C (0，2) 为圆心，半径为1的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是 ． 【变式3-3】在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】 【例4】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【变式4-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【变式4-3】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】 【例5】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【变式5-1】（2025·山东临沂·一模）如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 【变式5-2】（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【变式5-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接．求证：为的切线． 【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】 【例6】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M， （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径． 【变式6-1】如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：是的切线 【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【变式6-3】如图1，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底交于点，． （1）求证：是的切线； （2）如图2，连接，交于点，点是弧的中点，若，，求的半径． 【题型7 切线性质的应用】 【例7】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，与的边相切，切点为B． 将绕点 B 按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则 °． 【变式7-1】（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式7-2】（2025·重庆·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 【题型8 切线的判定和性质的综合应用】 【例8】（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中作的切线（切点不与重合）． 【变式8-1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G． (1)求证：FG与⊙O相切； (2)连接EF，若AF＝2，求EF的长． 【变式8-2】已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的半径． 【变式8-3】如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若， ①若，则________． ②作关于直线对称的，连接，，当四边形是菱形时，求的长． 【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例9】如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【变式9-1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式9-2】如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．    【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例10】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【变式10-1】如图，⊙O的半径为4 cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移 cm时与⊙O相切． 【变式10-2】如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.6 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 2 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 4 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 8 【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】 11 【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】 15 【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】 20 【题型7 切线性质的应用】 25 【题型8 切线的判定和性质的综合应用】 29 【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 36 【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 41 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点2 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 【变式1-2】在中，，，，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了直线和园的位置关系，过C作于D，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，和的半径比较即可． 【详解】解：过C作于D， 在中，由勾股定理得：，   由三角形面积公式得：， ∴， ∴C到的距离等于的半径长， ∴和的位置关系是相切， 故答案为：相切． 【变式1-3】如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作于H，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 【详解】解：过A点作于H，如图， ， ， 在中， ， ， ∴B点在外，所以A选项不符合题意； ， ∴C点在外，所以C选项不符合题意； ， ∴直线与相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 【例2】在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】本题需要分两种情况进行讨论：圆与斜边相切时， 点在圆内部、点在圆上或圆外时．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆与斜边的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨论．其中，圆与斜边相切时的半径的长可利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：如图，在中， 根据勾股定理，， 分两种情况： 圆与斜边相切时， 连接圆心与切点， 根据切线的性质可知：， ， ， 即； 点在圆内部、点在圆上或圆外时， 此时， 即， ， 此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式2-1】已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d， 和直线相交， ， ， 只有选项D符合条件， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离． 【变式2-2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（　　） A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC 【答案】B 【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论． 【详解】作DE⊥BC于E，如图所示： 则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2， ∴CE＝4＝DE， 当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4； 当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A， 设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2， 解得：x＝； ∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤； 故选B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．分两种情况讨论：①当与相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；②当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，圆的半径大于． 【详解】解：①如图，当与相切时，与射线有1个公共点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即圆的半径是4； ②如图，当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，与射线有1个公共点， 点在内， 半径， 综上可知，与射线有1个公共点，则r的取值范围是或， 故答案为：或． 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　） A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0 【答案】D 【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点， ∴当P′C与圆相切时，切点为C， ∴OC⊥P′C， CO＝3，∠P′OC＝45°， OP′＝3， ∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3， 同理可得： 过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3≤x＜0， 综上所述：﹣3≤x≤3，且x≠0． 故选D． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键． 【变式3-1】圆的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心到该直线的距离可能是（   ） A．2.5 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】当直线与圆相离时，可知圆心到直线的距离大于半径，于是有； 【详解】∵直线与圆相离，且圆的半径为5， ∴， 即 四个选项中只有D选项符合. 故选:D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为直线l和相交直线l和相切直线l和相离． 【变式3-2】如图，已知直线y=x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C (0，2) 为圆心，半径为1的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，-3）， 即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5 过C作CM⊥AB于M，连接AC， 则由三角形面积公式得： 即：， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴△PAB面积的最大值是； 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离． 【变式3-3】在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】 【例4】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【变式4-1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 【变式4-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式4-3】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】 【例5】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 【变式5-1】（2025·山东临沂·一模）如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，掌握切线的判定是关键． （1）证明 ，得到，即可求解； （2）连接并延长交于点，可得，，，所以，结合切线的判定即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又，， ， ， ； （2）证明：连接并延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ∵， ∴， 由（1）知 ∴， ， 又， ， ， ， ， 是的切线． 【变式5-2】（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线. 【变式5-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接．求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆的切线的判定，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．连接，根据矩形性质和圆半径相等，推出，进而得到，然后根据，可以推出，最后通过证明即可求解． 【详解】证明：如图：连接交于点P， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． 【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】 【例6】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M， （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）过作于 由正方形ABCD，可得 证明 再证明 从而可得结论； （2）正方形ABCD，可得 求解 再证明 求解 利用 列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）过作于 正方形ABCD， 是的切线， 为的半径， BC与⊙O相切； （2） 正方形ABCD， 设的半径为 【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，二次根式的运算，掌握以上知识是解题的关键． 【变式6-1】如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：是的切线 【答案】证明：过点作，垂足为点，如图， ， 由作图知，是的切线，且， ， 是的角平分线， ， 是的切线 【分析】本题考查的是角平分线的性质，切线的判定有关知识. 过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理可得，从而可知为的切线作垂直证相等. 【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，根据切线的性质可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根据角平分线的性质可得DE=DF，从而证得结论； （2）根据已知DE=DC和（1）的结论可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半径DB=DF，得证Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），进而得证EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8． 【详解】解：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与圆D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB=FC． ∵AB=AF， ∴AB+EB=AF+FC， 即AB+EB=AC， ∴AC=5+3=8． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，直角三角形全等的判定与性质． 【变式6-3】如图1，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底交于点，． （1）求证：是的切线； （2）如图2，连接，交于点，点是弧的中点，若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为2.5． 【分析】（1）连接，，过作于点，根据三线合一可得，然后根据角平分线的性质可得，然后根据切线的判定定理即可证出结论； （2）连接，过作于点，根据平行线的判定证出，证出，根据角平分线的性质可得，然后利用HL证出，从而得出，设的半径为，根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，，过作于点． ∵，是底边的中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∴是的切线； （2）解：如图2，连接，过作于点． ∵点是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴ 设的半径为 由勾股定理得：DK2＋OK2=OD2 即， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键． 【题型7 切线性质的应用】 【例7】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，与的边相切，切点为B． 将绕点 B 按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则 °． 【答案】85 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．根据切线的性质得到，连接，如图，再根据旋转的性质得，，，则判断为等边三角形得到，所以，然后利用三角形外角性质计算． 【详解】解：∵与的边相切， ∴， ∴， 连接，如图， ∵绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 【变式7-1】（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（2025·重庆·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角．利用切线的性质求得，求得，利用等边对等角求得，利用三角形内角和定理求得，利用圆周角定理求得，再利用等边对等角和圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式7-3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分； （2）证明，推出，即可证明． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【题型8 切线的判定和性质的综合应用】 【例8】（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中作的切线（切点不与重合）． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）如图所示，设与交于点，连接，根据等边对等角，平行线的性质即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证，得到，由切线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴即为所求作作图； （2）解：如图所示，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴，且是半径，点是半径外端点， ∴是的切线，即是所求作图形． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形的定义，平行线的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式8-1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G． (1)求证：FG与⊙O相切； (2)连接EF，若AF＝2，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证； （2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4， ．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接OC，AC． ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=DE，AD=AC． ∵DC=AD， ∴DC=AD=AC． ∴△ACD为等边三角形． ∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°． ∴∠AOC=30°， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠OAC=30°． ∵FG∥DA， ∴∠ACF=∠DAC=60°． ∴∠OCF=90°． ∴OC⊥FG． ∵OC为半径， ∴FG与⊙O相切． （2）解∶∵AD∥FG， ∴∠AGF=∠DAE=30°． ∵AF为⊙O的切线， ∴∠FAG=90°， ∴FG=2AF=4， ∴． 在△ADE和△GCE中， ∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE， ∴△ADE≌△GCE． ∴AE=GE=． ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式8-2】已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，可得是的直径，根据圆周角定理可得，再根据，可得，可证，由此即可求证； （2）如图所示，连接，过作于，可得四边形是矩形，可求出的长，设，可用含的式子表示，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴，即 ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵与相切于点，即是的切线， ∴，且（圆的半径相等）， 过作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，即分别是的中点， ∴， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与正方形的综合，掌握正方形的性质，切线的证明和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 【变式8-3】如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若， ①若，则________． ②作关于直线对称的，连接，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）先由切线的性质得到，由角平分线的定义得到，再由圆周角定理得到，，则，证明得到，即可证明结论； （2）①先证明，则由垂径定理可得，则，进而求出，即可得到； ②如图所示，由菱形的性质可得，，进而证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵是上一点， ∴为的切线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，菱形的性质，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例9】如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式9-2】如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 【变式9-3】如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．    【答案】或． 【分析】作出⊙P运动过程中恰好与菱形有交点时的图形，求出P1，P2，P3与P点的距离，可得出运动时间，从而得出无交点时的时间范围． 【详解】如图所示，⊙P运动过程中恰好与与菱形有交点时有三个位置：P1，P2，P3，    连接BD，与AC交于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60° ∴BD⊥AC，AH=HC，∠DAC=30° 在Rt△ADH中，AD=6cm ∴cm ∴AC=2AH=cm ①当P运动到P1时，圆与AD相切与点E，连接P1E， ∴P1E⊥AD 在Rt△AP1E中，P1E=PA=1cm，∠P1AE=30° ∴P1A=2 P1E=2cm， ∴P1P= P1A+PA=3cm ∴P运动到P1位置时，时间t1= ②当P运动到P2时，圆与CD相切与点F，连接P2F， ∴P2F⊥CD 同①可得P2C=2cm， 此时P2A=AC-P2C=cm，P2P=P2A+PA=cm ∴P运动到P2位置时，时间t2= ③当P运动到P3时，点C在圆上且圆心在点C的右侧， 此时P3P=P3C+AC+PA=1++1=cm ∴P运动到P3位置时，时间t3= 由图可知，当圆P运动到P1P2之间（不含P1、P2），或者运动到P3右侧时，与菱形的边无交点， ∴动点P运动时间或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握切线的性质，作出临界点的图形进行分析是解题的关键． 【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例10】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【变式10-1】如图，⊙O的半径为4 cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】直线l与 ⊙O相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径，因而直线l沿射线OA方向平移4cm时与 ⊙O相切． 【详解】∵直线到圆心的距离等于圆的半径，直线l与⊙O相切， ∴直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切. 故答案为4. 【点睛】本题考查切线的性质. 【变式10-2】如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 【变式10-3】如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【答案】B 【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断． 【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确； B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误； C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确； D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $