隐藏在尺规作正五边形背后的秘密2024-2025学年沪教版(五四制)九年级数学下册

隐藏在尺规作正五边形背后的秘密

九年级下第二十七章圆与正多边形后的阅读材料：怎样用尺规作正五边形。对于如何作有相当的难度，那么给出了做法解释合理性难度就要小很多，尽管这样对于学生来说也是非常大的挑战。由于目前的中考越来越倾向于考查学生的核心素养，只会机械解题的学生失去了竞争力，哪怕是为了应试的考虑，也需要我们教师不断尝试探究性课题的教学，培养学生的探究意识和逻辑推理能力，串联起已经学过的知识，激发新的灵感，架起通往未知领域的桥梁。

2024年闵行区二模考到过这个问题：

沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做

正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，

但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．

活动一：如图1,展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法．

① 在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧，

在⊙O上截得一点B；

② 以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C；

再如此从点C逐次截得点D、E、F；

③ 顺次联结AB、BC、CD、DE、EF、FA．

（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明         ▲         ，         ▲         ．

（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．

活动二：如图2,展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法．

① 作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；

② 取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；

③ 以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B．

如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次联结AB、BC、CD、DE、EA，

那么五边形ABCDE是正五边形．

（2）已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．

(参考数据：,,

,,．)

 

作业呈现：

任务一：如何作一个正五边形？

任务二：如何用尺规作正五边形？阅读教材37页上的作法，解释作法的合理性。

若学生无法解决，可以让学生提出阻碍思考途径的症结所在，你觉得可以往哪些角度进行思考？我有没有相关知识的储备？思维碰撞之后提出任务的分解步骤：

1.   你可以尝试计算图中线段长，比如AM、ON、AN；
2.   你可以考虑正五边形中这些角的特殊性，你在哪里遇到过？
3.   如果你已经联想到黄金三角形了，那么试图回顾黄金三角形中的相关知识点；
4.   我需要说明什么才能证明所作的图形是正五边形呢？

适用对象：九年级分层A班的学生

设计目的：培养学生的分析和解决问题的能力，面对未知如何调动已有认知打通通道，提升核心素养。

反馈分析：关于作正五边形（有刻度）学生还是容易解决的，联系到课堂上学过的有关知识点，比如利用各边都相等，各内角都等于108°的五边形是正五边形，借助于量角器和刻度尺就能解决；或者通过中心角都等于72°的圆内接五边形是正五边形。但是尺规作图略显困难，不光想不到，连解释作法的合理性都存在很大的困难，基本上在跟着步骤计算出图中的线段长（假设半径为2）后就束手无策了。我引导学生从结果反推，假如作出来的是正五边形，那么有怎样的性质，我需要证明什么，才说证明结束。学生在思考之后能回答出：通过刚才的计算得到的AB长和假定ABCDE为同一个圆O的内接正五边形后得到的AB值相等。最后落到由两半径和正五边形边长构成的等腰三角中，这个等腰三角形的顶角是72°，腰为2，这个等腰三角形可解。途径有两种，一是作底边上的高，需要知道36°的正弦值，联想底角为36°的黄金三角形，如下左图进行分析：，设AB=4，，则AD=，。在如下右图顶角为72°的等腰三角形中，OA=2，求出AB=，这和作图中计算出来的AN的值相同。

二是利用余弦定理：，而顶角为72°的黄金三角形中很容易计算出72°的余弦值，这种方式计算要容易得多，这也证明技多不压身，尽可能地接触更多的方式和知识。

在这个过程中，学生将之前学习过的黄金三角形的知识联系起来，给了特殊角36°或72°三