隐藏在尺规作正五边形背后的秘密2024-2025学年沪教版(五四制)九年级数学下册

隐藏在尺规作正五边形背后的秘密 九年级下第二十七章圆与正多边形后的阅读材料：怎样用尺规作正五边形。对于如何作有相当的难度，那么给出了做法解释合理性难度就要小很多，尽管这样对于学生来说也是非常大的挑战。由于目前的中考越来越倾向于考查学生的核心素养，只会机械解题的学生失去了竞争力，哪怕是为了应试的考虑，也需要我们教师不断尝试探究性课题的教学，培养学生的探究意识和逻辑推理能力，串联起已经学过的知识，激发新的灵感，架起通往未知领域的桥梁。 2024年闵行区二模考到过这个问题： 沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做A B C D E F .O 正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法， 但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1,展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法． ① 在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧， 在⊙O上截得一点B； ② 以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C； 再如此从点C逐次截得点D、E、F； ③ 顺次联结AB、BC、CD、DE、EF、FA．（第23题图1） （1）根据正多边形的定义，我们只需要证明 ▲ ， ▲ ． （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形． 活动二：如图2,展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法． ① 作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF； ② 取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N； ③ 以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B． 如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次联结AB、BC、CD、DE、EA， 那么五边形ABCDE是正五边形． （2）已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．（第23题图2） A B C D E P M O N Q F (参考数据：,, ,,．) 作业呈现： 任务一：如何作一个正五边形？ 任务二：如何用尺规作正五边形？阅读教材37页上的作法，解释作法的合理性。 若学生无法解决，可以让学生提出阻碍思考途径的症结所在，你觉得可以往哪些角度进行思考？我有没有相关知识的储备？思维碰撞之后提出任务的分解步骤： 1. 你可以尝试计算图中线段长，比如AM、ON、AN； 2. 你可以考虑正五边形中这些角的特殊性，你在哪里遇到过？ 3. 如果你已经联想到黄金三角形了，那么试图回顾黄金三角形中的相关知识点； 4. 我需要说明什么才能证明所作的图形是正五边形呢？ 适用对象：九年级分层A班的学生 设计目的：培养学生的分析和解决问题的能力，面对未知如何调动已有认知打通通道，提升核心素养。 反馈分析：关于作正五边形（有刻度）学生还是容易解决的，联系到课堂上学过的有关知识点，比如利用各边都相等，各内角都等于108°的五边形是正五边形，借助于量角器和刻度尺就能解决；或者通过中心角都等于72°的圆内接五边形是正五边形。但是尺规作图略显困难，不光想不到，连解释作法的合理性都存在很大的困难，基本上在跟着步骤计算出图中的线段长（假设半径为2）后就束手无策了。我引导学生从结果反推，假如作出来的是正五边形，那么有怎样的性质，我需要证明什么，才说证明结束。学生在思考之后能回答出：通过刚才的计算得到的AB长和假定ABCDE为同一个圆O的内接正五边形后得到的AB值相等。最后落到由两半径和正五边形边长构成的等腰三角中，这个等腰三角形的顶角是72°，腰为2，这个等腰三角形可解。途径有两种，一是作底边上的高，需要知道36°的正弦值，联想底角为36°的黄金三角形，如下左图进行分析：，设AB=4，，则AD=，。在如下右图顶角为72°的等腰三角形中，OA=2，求出AB=，这和作图中计算出来的AN的值相同。 二是利用余弦定理：，而顶角为72°的黄金三角形中很容易计算出72°的余弦值，这种方式计算要容易得多，这也证明技多不压身，尽可能地接触更多的方式和知识。 在这个过程中，学生将之前学习过的黄金三角形的知识联系起来，给了特殊角36°或72°三角比的求解方法。 教学建议：需要学生提前进行思考，通过独立思考，在同伴交流，和老师交流的方式打开思路，实在无计可施可以通过查阅相关材料找到灵感，比如有学生通过解决闵行2024年二模的第23题发现解决问题的途径，也有学生有其他解决方式，比如联结BF后，直接在直角三角形ABF中计算更加直接一点。有学生考虑了余弦定理，尽管这是超纲知识点，但对于这个问题的解决显得更为简洁，而余弦定理的推导初中学生也完全可以解决，所以在学生程度较高的A1班也进行了介绍。 在问题的解决过程中，恰巧遇到了命题：各内角都相等的圆内接多边形是否都是正多边形。出现在作业中的这个判断题如果要讲解清楚，只需要举出学生熟知的矩形就可以蒙混过关了，然而只需再往前探寻一小步：那么除了矩形就没有其他反例了吗？换句话说圆内接多边形如果它各内角都相等，除了四边形之外，其它的都是正多边形了吗？这个看上去略显难以回答的问题，留下了很多可供思考的空间，反应快的学生说不一定，受矩形反例的启发，我觉得将正多边形“压扁”，就能造出反例，也就是各内角都相等的圆内接多边形都可以找到反例。听上去很有道理，可以该如何压扁呢，我就请学生回去思考，课上给出解答。 课上学生给出了如下反例，即作以正三角形ABC的各边为边向外作三个正方形，依次联结DI、IH、HG、GF、FE、ED，得到的六边形就满足条件。受此启发，得到八边形、十边形等等所有偶数边形的反例，因而得到各内角都相等的圆内角偶数边形不一定是正多边形。但是奇数边形不能类似构造反例，但是不能构造反例是不是意味着一定就是正确的命题呢，还是需要进行逻辑严格的推理的，接下来引导学生如何给出证明。 要证明结论成立，根据定义只需证明各边都相等即可，我们以五边形为例进行证明： 已知∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，在圆O中这五个角都是圆周角，那么所对的弧都相等，去掉重合的部分可以得到弧AB=弧DC，从而得到间隔一段弧相等，由于是奇数边形，可以得到AB=CD=AE=BC=ED，总是能让这五条边都相等。找到这样的规律就可以发现偶数边形的多边形就存在两组相等的边，这同时也给了构造反例的灵感，以六边形为例：若三角形ABC是正三角形，在弧分别取弧AD=弧CE=弧BF，从而可以得到∠ACD=∠CBE=∠BAF，∠DAC=∠BCE=∠ABF，且弧AC所对的圆周角等于60°，从而∠DAC+∠FAB=60°，则∠FAD=120°，验证了这个六边形的各个内角都相等，但是显然不是正六边形，那么所有的偶数多边形都可以如法炮制，彻底解决了这个问题。 反思：在越来越倡导核心素养的今天，我们数学老师能做什么呢？按部就班地讲题终究会被时代所淘汰，一个旧题能开出新思想来似乎给目前的绝境打开了一道微光，挖掘题目背后的深意，不仅仅为了讲题而讲题。尺规作图做正多边形教材中只要求会做正三角形、正方形、正六边形，正五边形作为阅读材料写进教材，以往遇到这样的材料，我都选择性跳过，以为考试不会考，学生也听不懂，知道2024年二模闵行区就考到了这段阅读材料，虽然铺设了台阶让问题变得更加容易了，学生也不至于束手无策，却也给了我很大的启发，如此优质的教学资源，选择性跳过也就选择忽视核心素养的培养，我也挑战自我，尽管36°或者72°的三角比值通过查阅都能解决，但是我们已经教过有关黄金三角形的内容，让学生调动已有的认知去解决问题，也是我们面临新问题时必须要学会的方法。 通过这个问题的教学，以及后续构造反例和证明命题的尝试，它撕开了一个口子，让我勇敢往前迈进，向着更高的目标前进。 学科网（北京）股份有限公司 $$