2024年中考数学二轮复习：二次函数与图形变换专题 讲义

二次函数与图形变换专题 一、二次函数与图形的平移问题 1.直接平移 例1.（2024.黄浦区一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． （1）当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； （2）若，且、、中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 2.推理平移过程 例2.（2024.松江区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像经过原点O（0, 0）、点A（1，3a），此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． （1）求抛物线的对称轴； （2）如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且∠ADC的正切值为2，求a的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结PA，如果点P在y轴上，PA∥x轴，且∠EPA=∠CBO，求新抛物线的表达式．(第24题图) y x O 例3.（2024.奉贤区二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点，点坐标为． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； （3）设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 例4.（2024.金山区二模）已知：抛物线经过点A（3，0）、B（0，-3），顶点为P． （1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧． ①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 例5.（2024.松江区二模）如图8,在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）、点B（0，2），抛物线经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）． （1）求b、c的值； （2）将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点P处,新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，联结PD，交x轴于点E． ①如果m=2,求 △ODP的面积； ②如果EC=EP, 求的值. (图8) 1 1 O x y A B 二、二次函数与图形的轴对称变换（图形翻折）问题 1.抛物线沿直线x=m翻折 例1.（2024.奉贤区一模）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x=m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x=m的镜像抛物线. （1） 如图11，已知抛物线y=x2-2x，顶点为A. ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线x=m的镜像抛物线的顶点为B，如果tan∠OBA=（∠OBA是锐角），求m的值. （2） 已知抛物线（b>0）的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为E（2，1）.如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式. A O O xx y 图11 2.几何图形翻折 例1.（2024.崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； （3）将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线AB翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 3.抛物线沿x轴翻折 例1.（2023.宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于轴上方的部分沿轴翻折，得到的新图象记为“图象”，“图象”与轴交于点． （1）写出“图像U”对应的函数解析式及定义域； （2）求的正切值； （3）点在轴正半轴上，过点作轴的平行线，交直线于点，交“图象”于点，如果与相似，求点的坐标． 三、二次函数与图形的旋转问题 例1.（2023•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图6），已知直线与y轴交于点A，抛物线的顶点为B. （1）若抛物线经过点A，求抛物线解析式； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°，点O落在点C处，如果点C在抛物线上，求点C的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点D，且点D位于x轴上方，如果，求t的值. 1 2 3 x 1 3 y O -1 -1 2 A （图6）   例2.（2024.宝山二模）在平面直角坐标系xOy中（如图11），已知开口向下的抛物线经过点 P（0，4），顶点为A． （1）求直线PA的表达式； （2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式； （3）将（2）中得到的抛物线沿射